Linguagens Livre de Contexto

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Linguagens Livre de Contexto

• ltstmtgtltif-stmtgtltwhile-stmtgt
• ltbegin-stmtgtltassg-stmtgt
• ltif-stmtgtif ltbool-exprgt then ltstmtgt
• else ltstmtgt
• ltwhile-stmtgtwhile ltbool-exprgt
• do ltstmtgt
• ltbegin-stmtgtbegin ltstmt-listgt end
• ltstmt-listgtltstmtgtltstmt-listgtltstmtgt
• ltassg_stmtgtltvargtltarith-exprgt

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• ltbool-exprgt
• ltarith-exprgtltcomp-opgtltarith-exprgt
• ltcomp.-opgtltgt?
• ltarith-exprgtltvargtltconstgt
• (ltarith-exprgtltarith-opgtltarith-exprgt)
• ltarith-opgt - /
• ltconstgt0123456789
• ltvargtabcxyz
• BNF (Backus-Naur form)dando a definição formal de
  uma linguagem de programação.

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Mais Exemplos

• L anbnn?0 é livre de contexto.
• Se em L substituirmos a por ( e b por ),
  cadeias de parênte-ses tais como ( ( ) ) e ( ( (
  ) ) ) estarão em L.
• L descreve uma estrutura aninhada comum em
  linguagens de progra-mação.

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Gramáticas Livre De Contexto

• As produções numa gramática regu-lar são
  restritas de duas formas
• o lado esquerdo deve conter uma única variável,
• enquanto o lado direito tem uma forma especial.
• Para criar uma gramática mais poderosa, devemos
  relaxar algumas dessas condições .

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• Mantemos a restrição sobre o lado esquerdo, mas
  permitimos qualquer coisa no lado direito.
• Definição Uma gramática GltV,T,S,Pgt é livre de
  contexto se todas as produções em P tem a forma
  A?x, onde A?V e x?(V?T).

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• A linguagem L é livre de contexto sss existe uma
  gramática livre de contexto G tal que L L(G).
• Obs Toda linguagem regular é livre de contexto.

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Exemplos

• GltS,a,b,S,Pgt, com produ-ções S?aSa S?bSb,
  S??
• Uma derivação típica nessa gramática é
  S?aSa?aaSaa?aabSbaaa?aabbaa
• Isto torna claro que L(G)WWRW?a, b

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Mais Exemplos

• A gramática
• GltS, A, B, a, b, S, Pgt,
• onde P é
• S?abB A?aaBb B?bbAa A??
• L(G)ab (bbaa)n bba (ba)n n?0

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Derivação Mais à Esquerda e Mais à Direita

• GltA,B,S,a,b,S,Pgt com produções
• 1. S?AB
• 2. A?aaA
• 3. A??
• 4. B?Bb
• 5. B??.

• L(G)a2nbmn?0, m?0
• S?1AB?2aaAB?3aaB?4aaBb?5aab
• S?1AB?4ABb
• ?2aaABb?5aaAb
• ?3aab

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• Definição
• Uma derivação diz-se mais à esquerda se em cada
  etapa a variável mais a esquerda é trocada na
  forma sentencial.
• Se em cada etapa a variável mais a direita é
  trocada, dizemos que a derivação é mais à direita.

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Exemplos

• Considere a gramática com produ-ções S?aAB,
  A?bBb, B?A?
• uma derivação mais à esquerda da cadeia abbbb
• S?aAB?abBbB?abAbB?abbBbbB?abbbB?abbbb
• uma derivação mais à direita
• S?aAB?aA??abBb?abAb?abbBbb?abbbb.

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Árvores de Derivação

• Mostra derivações independente da ordem em que as
  produções são usadas.
• Uma árvore de derivação é uma árvore ordenada
  onde
• os nodos são rotulados com os lados esquerdos das
  produções e
• o filho de cada nodo representa seus
  correspondentes lados direitos.

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Exemplo

• A?a b A B c

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Definição

• Seja GltV, T, S, Pgt uma gramática livre de
  contexto. Uma árvore ordenada é uma árvore de
  derivação para G se e somente se ela tem as
  seguintes propriedades
• 1. A raiz tem rótulo S
• 2. Toda folha tem rótulo de T??
• 3. Todo vértice interior tem um rótulo de V.

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• 4. Se um vértice tem rótulo A ? V, e seus filhos
  são rotulados(da es-querda para direita) a1, a2,
  ,an, então P deve conter uma produção da forma
  A?a1a2an
• 5. Uma folha rotulada ? o seu pai não tem nenhum
  filho além dàquele rótulado ?.

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• árvore de derivação parcial
• Uma árvore que tem as proprieda-des 3, 4 e 5 mas
  não necessaria-mente 1 e
• a propriedade 2 é trocada por
• 2a.Toda folha tem rótulo em V?T??

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cadeia gerada

• A cadeia de símbolos obtida lendo-se, da esquerda
  para à direita, omitindo qualquer ? encontrado,
  diz-se gerada pela árvore.
• Exemplo Considere a gramática G, com produções
• S?aAB A?bBb B?A ?

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Exemplo (a)

• A árvore (a) é uma ár-vore de derivação par-cial
  para G.
• A cadeia abBbB, gera-da pela árvore, é uma forma
  sentencial de G.

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Exemplo (b)

• a árvore (b) é uma árvore de derivação.
• A cadeia gerada, abbbb é uma sentença de L(G).

(b)
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Relação entre Formas Sentenciais e Árvores de
Derivações

• Árvores de derivação dão uma des-crição explícita
  e compreensível de derivações.
• Assim como grafo de transições para autômatos
  finitos, elas são úteis nos argumentos.

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Teorema

• Seja GltV, T,S, Pgt uma gramática livre de
  contexto.
• Então pra todo w?L(G) existe uma árvore de
  derivação G cuja cadeia gerada é w.
• Inversamente a cadeia gerada por qual-quer árvore
  de derivação está em G.
• Além disso, se tG é qualquer árvore de derivação
  parcial para G cuja raiz é rotulada S, então tG
  gera uma forma sentencial de G.

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Prova

• Primeiramente, mostraremos que para toda forma
  sentencial de G existe uma árvore de derivação
  parcial.
• Faremos isso por indução no número de etapas da
  derivação.

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Prova (cont.) base

• Como base, observemos que a afir-mação é
  verdadeira pra toda forma sentencial derivada em
  uma etapa. Como S?u implica que existe uma
  produção S?u, isto segue imediata-mente da
  definição da árvore de derivação.

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Prova(cont.) passo

• Suponhamos que para toda forma sentencial
  derivável em n etapas, existem uma árvore de
  derivação parcial correspondente.

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Prova(cont.) passo

• Agora qualquer w derivável em n1 etapas deve ser
  tal que
• S?x A y, x, y ? (V U T), A ?V
• em n etapas, e
• x A y?x a1, a2amy w,
• ai ? V?T.

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• mas por hipótese de indução existe uma árvore de
  derivação parcial que gera x A y.
• como G deve ter produção A?a1a2am, expandindo
  as folhas rotuladas A, obtemos uma árvore de
  derivação parcial que gera w.
• Logo, por indução, o resultado é verdadeiro para
  toda forma senten-cial.

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• Usando um argumento análogo, podemos mostrar que
  toda árvore de derivação parcial representa
  alguma forma sentencial.
• Uma árvore de derivação é uma árvore de derivação
  parcial cujas folhas são terminais.
• Logo toda sentença em L(G) é gerada por alguma
  árvore de deri-vação de G e toda árvore de
  derivação gerada está em L(G).
• q.e.d

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• Árvores de derivação mostram quais produções são
  usadas para se obter uma sentença, mas não dá a
  ordem de suas aplicações.
• Árvores de derivações são capazes de representar
  qualquer derivação, refletindo o fato de que esta
  ordem é irrelevante, uma observação que nos
  permite fechar o buraco na discussão anterior.

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• Por definição, qualquer w?L(G) tem uma derivação
  mais a esquerda e uma mais a direita.
• dada uma árvore de derivação, po-demos sempre
  obter uma derivação mais a esquerda pensando na
  árvore como tendo sido construída de tal modo que
  a variável mais a esquerda foi sempre expandida
  primeiro.
• Todo w ? L(G) tem pelo menosuma derivação mais a
  esquerda e uma mais a direita.