Algebra Booleana

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Algebra Booleana

• Generalità
• In quasi tutti i tipi di calcolatori elettronici
  le informazioni vengono elaborate in forma
  digitale, ossia i segnali elettri-
• ci che le rappresentano possono assumere due soli
  valori distinti. I circuiti che eseguono queste
  elaborazioni sono
• chiamati circuiti logici e presentano, appunto,
  la caratteristica di operare con segnali binari.
  Vengono pertanto rea-
• lizzati con dispositivi che possono assumere solo
  due stati diversi diodi in conduzione o non,
  transistor in satura-
• zione o in interdizione, ecc.... Per il
  funzionamento del circuito logico non è
  importante conoscere il valore numeri-
• co del segnale binario, ma basta rilevarne il
  livello in genere questo può essere indicato con
  0 ed 1 o con L
• ed H (Low basso, High alto). Il
  funzionamento di un tale circuito può quindi
  essere descritto da un punto di
• vista logico senza preoccuparsi della sua
  struttura fisica allo scopo può essere
  utilizzata lalgebra di Boole (G.
• Boole, 1815- 1864). Lalgebra di Boole, o algebra
  binaria, è infatti una logica matematica basata
  su due diverse
• situazioni che si escludono reciprocamente. Per
  variabile booleana si intende una qualunque
  grandezza che può
• assumere due soli stati (interruttore aperto o
  chiuso, affermazione vera o falsa, lampada accesa
  o spenta, livello
• di tensione alto o basso, diodo in conduzione o
  non, ecc...). Ai due diversi livelli logici
  vengono associati i simboli
• 0 ed 1. Le generiche variabili vengono
  identificate da lettere (per esempio a, b, c
  ........ A, B, C, ecc.........) e,
• ad ognuno dei due stati logici che possono
  assumere, può essere associato, arbitrariamente,
  il valore 0 o 1.
• Nel 1938 Shannon applicò le regole dellalgebra
  di Boole alla progettazione di circuiti di
  commutazione a relè, at-
• tribuendo i valori 1 e 0 ai due stati fisici
  di questi due dispositivi. Questo metodo è
  tuttora utilizzato per lanalisi
• e la sintesi dei circuiti in quanto consente di
  esplicitare a mezzo di funzioni booleane le
  connessioni dei circuiti e le

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Funzioni booleane

• Una funzione booleana, infatti, fornisce
  unuscita logica in corrispondenza di ogni
  combinazione dei livelli delle variabili
  dingresso.
• Le operazioni fondamentali dellalgebra di Boole
  sono le seguenti
• AND o prodotto logico
• OR o somma logica
• NOT o negazione,
  complementazione
• AND o prodotto logico
• Si consideri la seguente proposizione logica
• vado in barca se viene anche Marco ed è bel tempo
• La gita in barca è condizionata dallavverarsi di
  entrambi le condizioni poste
• - Se si assegnano alle variabili i valori 0
  ed 1 si può scrivere
• Q (1 vado in barca, 0 non
  vado in barca)
• A (1 viene Marco, 0 non
  viene Marco)
• B (1 è bel tempo, 0 è
  cattivo tempo)

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• Le n variabili possono assumere 2n
  configurazioni diverse nella tabella della
  verità riportata nella figura sotto-
• te vengono prese in considerazione le quattro
  (22) combinazioni con il corrispondente livello
  assunto dalla
• variabile dipendente.

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• Or o somma logica
• Si consideri la seguente proposizione logica
• la barca a vela si muove se cè vento o se remo
• Affinché la barca si muova è sufficiente che si
  verifichi una sola delle due condizioni sopra
  enunciate.
• Se, anche in questo caso, si assegnano alle
  variabili i valori 0 ed 1 si può scrivere
• Q (1 la barca si muove, 0 la barca non si
  muove)
• A (1 cè vento, 0 non cè vento)
• B (1 io remo, 0 io non remo),
• Dove A e B sono variabili indipendenti e Q quella
  dipendente.
• Nella figura seguente è riportata la tabella
  della verità della proporzione logica in esame
  nella quale si evidenzia che Q è a livello
  basso (0) solo se entrambe le variabili
  indipendenti sono a livello 0 .
• Nella figura è altresi riportato un circuito ad
  interruttori per realizzare una porta OR e i due
  simboli grafici della stessa porta secondo gli
  standard USA e I.E.C.

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• Lequazione logica (somma logica) che sintetizza
  le combinazioni riportate nella tabella della
  verità è la seguente
• Q A B
• Si può generizzare lequazione al caso n
  variabili e dire che Q vale 1 se una sola delle n
  variabili vale 1.
• Per le funzioni AND ed OR, prima esaminate,
  valgono le seguenti proprietà
• Commutativa A B C C A B
• A B C C A B
• Associativa ( A B ) C A ( B C )
• ( A B ) C A ( B C )
• 3) Distributiva A ( B C ) ( A B ) ( A
  C )
• A ( B C ) ( A B ) ( A C )

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• NOT o negazione, complementazione
• Si consideri la seguente proposizione logica
• vado in barca se non piove
• I valori delle variabili sono
• Q (1 vado in barca, 0 non vado in
  barca)
• A (1 piove, 0 non piove)
• Dove A è la variabile indipendente e Q quella
  dipendente. A queste condizioni corrisponde la
  seguente equazione algebrica
• Q A
• A livello simbolico, per negare una
  grandezza si deve soprassegnare il simbolo.
  Ovviamente una doppia negazione riporta alla
  variabile non negata.
• A A
• Nella figura riportata qui di seguito è
  rapresentato un circuito a relè per realizzare
  una porta NOT
• e I due simboli grafici della stessa porta
  secondo gli standard USA e I.E.C.

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