Matemticas Discretas

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Matemáticas Discretas

• Unidad I Lógica y Algebra Booleana

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Proposiciones

• Son oraciones declarativas que son verdaderas o
  falsas, pero no ambas cosas a la vez.
• Ejemplos
• p Ana es tía de Juan y prima de José
• q La Tierra es redonda
• r 72936
• s 237

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Proposiciones

• Qué hora es?
• x5 15
• xy z
• Haz tu tarea.
• El sol saldrá mañana.

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Proposiciones

• Proposiciones Primitivas cuando no hay forma de
  descomponerlas en otras proposiciones.
• r 72936
• Proposiciones Compuestas se forman a partir de
  las proposiciones existentes, usando operadores
  lógicos.
• p Ana es tía de Juan y prima de José
• q Ana es tía de Juan
• r Ana es prima de José

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Tablas de Verdad

• Muestran las relaciones entre los valores de
  verdad de las proposiciones.
• Los valores de verdad se pueden expresar como
• Verdadero 1 ó V
• Falso 0 ó F

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Proposiciones y Conectivas Lógicas

• Negación de p (NOT)
• Se escribe p y se lee no p
• q La Tierra no es redonda
• r No es cierto que hoy es Viernes

Tabla de Verdad
Los valores de p y p son opuestos entre sí
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Proposiciones y Conectivas Lógicas

• Conjunción (AND)
• Se denota p ? q y se lee p y q
• Está haciendo sol y está nublado
• Está haciendo sol, pero está nublado

Tabla de Verdad
Sólo es verdadera cuando p y q son verdaderas.

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Proposiciones y Conectivas Lógicas

• Disyunción (OR)
• Inclusiva
• Se denota p ? q y se lee p o q.
• p Soy alto o calvo

Tabla de Verdad
Una o la otra o ambas proposiciones son
verdaderas
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Proposiciones y Conectivas Lógicas

• Disyunción
• Exclusiva
• Se denota p ? q
• p Soy alto o bajo
• q blanco o negro

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Tabla de Verdad
_
Una o la otra, pero no ambas proposiciones son
verdaderas
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Proposiciones y Conectivas Lógicas

• Implicación (declaración condicional)
• Se denota p ? q y se lee p implica q.
• p es la hipótesis y q la conclusión.
• Si llueve entonces me mojaré

Tabla de Verdad

• Formas Equivalentes
• p es una condición suficiente para q
• p sólo si q
• q es necesario para p
• q se deduce de p

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Proposiciones y Conectivas Lógicas

• Implicación
• El concepto matemático de implicación, es
  independiente de la relación causa-efecto entre
  hipótesis y conclusión.
• Ejemplo
• Si hoy es viernes, entonces 2 3 6
• En razonamientos matemáticos, la implicación es
  una forma más general que el lenguaje natural.

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Proposiciones y Conectivas Lógicas

• Bicondicional - Equivalencia
• Se denota p ? q y se lee p si y sólo si q.
• Puedes tomar el avión si, y sólo si, compras el
  boleto.

Tabla de Verdad

• Forma Equivalente
• p es una condición necesaria y suficiente para q
• q si y sólo si p
• Si p entonces q y viceversa

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Precedencia de Operadores Lógicos

• Los paréntesis especifican el orden en el que se
  deben aplicar los operadores lógicos en una
  proposición.
• (p ? q) ? (r) es la conjunción de p ? q y r
• El operador negación se aplica antes que los
  otros operadores lógicos.
• p ? q es la conjunción de p y q
• El operador de conjunción precede siempre al de
  disyunción.
• p ? q ? r significa (p ? q) ? r y no p ? (q ? r)

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Precedencia de Operadores Lógicos

• Los operadores de implicación ? y bicondicional ?
  tienen precedencia inferior a los operadores de
  conjunción y disyunción, ? ?.
• p ? q ? r significa (p ? q) ? r
• En resumen

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Traducción de Proposiciones

• De los símbolos al lenguaje natural
• Sean
• p Hay conexión a Internet
• q El archivo no contiene virus
• r Envío el correo
• la proposición p ? q ? r significa
• Si hay conexión a Internet y el archivo no
  contiene virus, entonces envío el correo.

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Traducción de Proposiciones

• Del lenguaje natural a los símbolos
• No gano el concurso, si tengo menos de 18 años,
  a no ser que mida más de 1,70 metros.
• p Gano el concurso
• q Tengo menos de 18 años
• r Mido más de 1,70 metros
• q ? r ? p

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Tabla de la verdad de una proposición compuesta

• Sea (p ? q) ? (q ? p).
• Calcule su tabla de verdad

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Tautologías vs Contradicción

• Tautología (To)
• Una proposición compuesta es una tautología si es
  verdadera para todas las asignaciones de valores
  de verdad.
• (p ? q) ? (q ? p)
• Contradicción (Fo)
• Si una proposición compuesta es falsa para todas
  sus asignaciones de valores de verdad, entonces
  es una Contradicción.
• (p ? p)

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