Transformada Z

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Transformada Z

• Processamento Digital de Sinais

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Transformada de Fourier
3
Transformada Fourier

• Vantagem
• Análise direta do espectro (componentes de
  freqüência) do sinal discreto
• Desvantagens
• A manipulação algébrica não é prática
• Existem muitos sinais discretos cuja transformada
  de Fourier não existe.

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Transformada Z
A transformada de Fourier é um caso específico da
transformada Z.
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Transformada Z

• Critério de convergência da Transformada de
  Fourier

• Critério de convergência da Transformada Z

A convergência depende, também, dos valores de
r, ou seja do z.
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Região de Convergência

• Qual o intervalo de valores de r que garante a
  convergência da Transformada Z?
• Ex.

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Região de Convergência
Im
ROC
Re
Circunferência Unitária
Representação Polar
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Representação Útil

• zer zeros de X(z), ou seja, as raízes do
  polinômio no numerador ( Num(z) ).
• p pólos de X(z), ou seja, as raízes do polinômio
  no denominador ( Den(z) ).

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Região de Convergência (ROC) Propriedades

• A região de convergência é um disco ou um anel
  centrado na origem
• A região de convergência não contém pólos
• Se a região de convergência contém a
  circunferência unitária (r1) existe a
  transformada de Fourier.

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Seqüência de Tempo Positivo

• O sinal é nulo para n lt 0.
• Ex.

n
A região de convergência (ROC) é composta pela
área externa ao maior pólo de valor absoluto
finito.
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Exemplo
xn
. . .
n
Circunferência Unitária
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Seqüência de Tempo Negativo

• O sinal é nulo para n gt 0.
• Ex.

xn
. . .
n
A região de convergência (ROC) é composta pela
área interna ao menor pólo de valor absoluto
finito.
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Exemplo
Im
Re
x
x
2
3

• Pólos z2 e z3
• Zeros z12/5

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Seqüência Bilateral

• xn não é de tempo positivo ou negativo.

P1 maior pólo que contribui para n gt 0 P2 menor
pólo que contribui para n lt 0
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Exemplo
Im
Re
x
x
o
o
-1/3
1/2
1/12
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Seqüência de Duração Finita

• Têm duração limitada de nN1 até nN2.

• A ROC contém todo plano z, exceto possivelmente
  em z0 e/ou z?

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Exemplos

• Ex.
• xn?n, ROC contém todos os valores de z,
  incluindo z0 e z?.
• xn?n-1, ROC contém todos os valores de z,
  excluindo z0.

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Estabilidade

• O sistema hn é estável se

• Então
• Um sistema é estável se a ROC contém a
  circunferência unitária.
• Um sistema Causal é Estável se todos os pólos
  estão dentro círculo unitário