Unidade 3 Teoria de carteira 1 Modelo de Markowitz e a Fronteira eficiente 2. O Modelo simplificado de Sharpe (1963) 3. Avalia

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Unidade 3Teoria de carteira 1 Modelo de
Markowitz e a Fronteira eficiente2. O Modelo
simplificado de Sharpe (1963) 3. Avaliação de
activos financeiros Modelo C.A.P.M.
2
Unidade teórica 3

• . O que é a fronteira eficiente num conjunto de
  portefólios?
• . Como modelizar a eficiência ?
• . Razões de simplificação do modelo

3
Eugene F. Fama e Merton H. Miller The Theory of
Finance (Hinsdale, Illinois Dryden Press, 1972)
Chapter 7. Harry Markowitz, Portfolio Selection,
The Journal of Finance, Vol. 7, No. 1. (Mar.,
1952), pp. 77-91. Sharpe, W. F. Capital Asset
Prices A Theory of Market Equilibrium under
Conditions of Risk. Journal of Finance 19(Sept.
1964) 425-42. Lintner, John. The Valuation of
Risk Assets and the Selection of Risky
Investments in Stock Portfolios and Capital
Budgets. Review of Economics and Statistics
47(Feb. 1965) 13-37. Black, Fisher, Machael C.
Jensen, and Mayron S. Scholes (1972) The Capital
Asset Pricing Model Some Empirical Test. In
Michael C. Jensen (ed.) Studies in the Theory of
Capital Markets. New York Praeger. 79121.
4
Conceitos estatísticos de apoio à teoria de
carteira

• Rentabilidade do ativo j no estado de natureza S
  
• rjs (Ws W0) / W0
• Variância do activo j
• s2j ?sasrjs- E(rj)2
• Desvio padrão do activo j
• sj vs2j
• Covariancia da rentabilidade do activo i com a
  rentabilidade do activo j
• Cov(ri, rj) E(ris- E(ri)) (rjs- E(rj))
• ?sasris- E(ri) rjs- E(rj)

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Conceitos estatísticos de apoio à teoria de
carteira

• Correlação da rentabilidade do do activo i com
  a rentabilidade do activo j
• ?ij Cov(ri, rj) / (sisj)
• -1 ?ij 1
• Quando ?ij 1 gt i e j têm uma correlação
  perfeita e positiva
• When ?ij -1 gt i e j têm uma correlação
  perfeita e negativa.

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MATEMÁTICA DA FRONTEIRA DE UM PORTEFÓLIO o
MODELO DE MARKOWITZ (1959)

• HIPÓTESES DO MODELO DE MARKOWITZ
• HIPÓTESES RELATIVAS AOS ACTIVOS FINANCEIROS
• H1 Todo o investimento é uma decisão tomada em
  situação de risco. O retorno de um activo
  financeiro para um período futuro é
  consequentemente uma variável aleatória com
  distribuição normal.
• H2 os retornos de diferentes activos
  financeiros não se movimentam de uma forma
  independente uns de outros.

7
Hipóteses relativas ao comportamento dos
investidores

• H3 O comportamento de todos os investidores é
  caracterizado por um grau mais ou menos
  pronunciado de aversão ao risco (medido pelo
  desvio padrão e pela distribuição dos retornos)
• H4 Os investidores tomam decisões racionais
  Mesmo que a sua função de utilidade seja
  subjectiva eles operam segundo escolhas
  transitivas.
• H5 Todos os investidores têm um mesmo horizonte
  de decisão, que comporta um só período.

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FRONTEIRA EFICIENTE

• 1º Fase Repartir as soluções possíveis em dois
  sub-conjuntos, correspondendo um deles ao das
  soluções dominantes (eficientes) e um outro ao
  das soluções dominadas (ineficientes)
• 2ºA fase Dentro das soluções eficientes, fazer
  corresponder aquela que maximiza a função de
  utilidade do investidor.

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Segunda Fase

• Temos de ter em conta as funções de utilidade de
  cada investidor (curvas de indiferença)
• A fronteira de eficiência (dado objectivo)
• Cada investidor escolherá o portfólio
  correspondente ao ponto onde a fronteira de
  eficiência é tangente a uma das suas curvas de
  indiferença.

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Fronteira de eficiência

• A fronteira de eficiência deriva da maximização
  de um retorno esperado dado um determinado risco.
  
• Se não existir nenhum activo sem risco , a
  fornteira de eficiência será a metade mais
  elevada da fronteira com um mínimo de variância.

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Fronteira do Portefolio
R Retornos do portfolio wT R
Variância do Portfolio wT ? w
3
2
6
1
4
5
12

• Matematicamente, a técnica de Markowitz para o
  cálculo da fronteira de eficiência, resulta na
  maximização do declive (rácio de Sharpe) da
  linha de transformação sujeito a uma restrição
  que a soma dos ponderadores é igual a um.
• Assim, escolher um óptimo de Xi de modo a

• Substituíndo por Rp e ?p o problema resulta em
  escolher Xi de modo a

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• Dá-nos N condições de 1ª ordem

• Desde que os retornos, variâncias e co-variâncias
  sejam conhecidas, as condições de 1ª ordem podem
  ser calculadas em óptimas proporções de
• Zi e então para ponderações óptimas de Xi.
• ?Zi é a quantidade investida em activos com
  risco.
• Se ?Zi é inferior á unidade (1- ?Zi) será
  investido nos activos sem risco (lenders).
• Se ?Zi é maior que a unidade (1- ?Zi) será
  investido no activo sem risco (borrowers).
• Uma vez que as ponderações óptimas são
  conhecidas, o retorno esperado e o risco do
  portefólio óptimo podem ser calculados
• O rácio de Sharpe para o portfolio P pode
  igualmente ser calculado.

14

• Cuthbertson eNitzsche (2001) reescrevem a equação
  (3) em forma matricial. Assumindo haver três
  activos

• Onde ? é a matriz das variâncias-covariâncias dos
  retornos dos activos, z é um vector coluna de
  proporções óptimas e e um vector coluna do
  excesso dos retornos.

15

• A solução é dada por

• As ponderações óptimas , Xi, são calculadas como
  atrás.

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Eficiência segundo Markowitz baseado na média e
na variância
Considere N activos num portfolio e as seguintes
notações
ww1 . . . wN
Vector de ponderações
Matriz das variâncias-covariâncias
?
RR1 . . . RN
Vector de retornos
111 . . . 1N
Vector unitário
wT ? w
Variância do portfólio
wT R
Retorno do portfólio
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Efficiencia segundo Markowitz (Média-Var)
Para encontrar a fronteira de eficiência
s.a.
11T w
min wT ? w
rRT w
w
Optimização
1
min wT ? w ?(1-1T w) ?(r-RT w)
2
w
18
FOC
Eq. 1 ?w?1 ?R Eq. 1a w?-1?1 ?-1 R?
Multiplicando equação 1 por 1T e RT Eq. 1b
1a ? b ? Eq. 1c rb ? c ? onde a1T
?-11, b1T ?-1R, cRT ?-1R
19
Resolvendo em ordem a ? e ? nas equações 1b e
1c, e substituindo na eq 1a, obtem-se
wv1v2 r
V1 e v2 são dois vectores fixos.
Por outro lado, qualquer combinação convexa de
portfolios eficientes é também um portfolio
eficiente.
O portfolio de mercado não é mais do que uma
combinação ponderada de portfólios, e que,por sua
vez também é eficiente.
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Modelo simplificado de Sharpe

• Problemas do Modelo de Markowitz Grande dimensão
  da matriz de co-variâncias (cálculo computacional
  complicado em 1959)
• Conhecimento da matriz das co-varâncias
• Hipótese de Sharpe (1963) Os rendimentos dos
  diversos activos encontram-se ligados entre eles
  por uma relação a um factor comum subjacente
• Ri ai ßi I ui
• I an1 vn1

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O papel do activo sem risco no modelo

• O equilíbrio de mercado oferece dificuldades de
  representação porque diferentes investidores têm
  assumpções diferentes quanto ao risco. A
  introdução do activo sem risco resolve esta
  ambiguidade.
• O activo sem risco reduz o número potencial de
  portfolios eficientes a um único portfolio.

22
(No Transcript)
23
Fronteira de eficiência onde existe um activo
sem risco

• Capital Market Line
• A fronteira de eficiência é encontrada pelo ponto
  de tangência da recta que passa pelo activo sem
  risco e a fronteira.

Retorno
B
A
FEM
RF
Risco
24

• Dentro deste equilíbrio, existe apenas um
  portfolio eficiente. Qualquer grau de aversão ao
  risco pode ser retratado no modelo através de uma
  combinação de um portfolio simples e eficiente e
  um emprestimo ou emprestar (borrowing ou lending)
  à taxa sem risco.
• Considerando que o portfolio índice é o
  portfolio de mercado eficiente, ter-se-á

25
(No Transcript)
26
(No Transcript)
27
Avaliação de activos financeiros Modelos
C.A.P.M. e A.P.T.

• Capital market theory (derivado do modelo de
  Sharpe)
• SEcurity market line Determinação do valor de um
  activo, tendo em conta o activo sem risco e o
  portfólio de mercado.
• CAPM Capital Asset Pricing Market Modelo de
  avaliação dos activos financeiros tendo em
  conta a relação entre o modelo de mercado e a
  security market line.
• APT Arbitrage Pricing theory Os rendimentos
  dos activos financeiros são função lineares de
  mais do que um factor

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Versões do CAPM
EZi?i ßi (EZm)
Sharpe-Lintner
Este activo assume a presença de um Activo sem
risco
ERi ? i ßi (ERm)
Black
Este modelo trata a taxa sem risco como uma
variável aleatória
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Problema de minimização

• Black version
• Sharpe-Lintner (com activo sem risco)

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• Sharpe Model
• Regressão de Zit sobre Zmt
• Hipótese nula
• Versão de Black
• Regressão
• Hipótese nula a (i-ß)?

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Modelo de Sharpe-Lintner

• A solução de Sharpe-Lintner é uma fronteira de
  eficiência.
• Esta fronteira de eficiência combina uma posição
  longa no portfolio de mercado com um activo sem
  risco adquirido em situação de lending ou
  borrowing

32
Black CAPM
33
Como testar o CAPM?

• A intercepção é zero
• Beta captura completamente a variação dos
  retornos em excesso.
• O prémio de mercado é positivo.

Os testes do CAPM focam-se em três implicações do
modelo de excesso de retorno
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Testes sobre a intercept
Sharpe-Lintner
EZi ? i ßi (EZm)
Testar se ? i 0
Black
ERi ? i ßi (ERm)
Testar se ? i (1-ßi) ER0
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Zero-Beta CAPM
36
Rácio de Sharpe
Dada uma tangente a, e um portfolio de mercado m

A diferença ra - rm dá-nos uma medida da
ineficiência de m
a
m
rf
37
Exemplo
38

• Precisamos de calcular as co variãncias ?ij?ij?i
  ?j.
• Substituimos os valores nas três equ (3) que
  traduzem as condições de 1ª ordem.
• Obtemos

• Var AIB covar AIB BOI
  covar AIB CRH
• Var BOI
  covar boi CRH
• 
  Var CRH

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• Lewis (1998) no NBER Working Paper No. 6351
  assume que
• A utilidade do investidor depende do retorno
  esperado e do risco .
• Os investidores maximizam a sua utilidade sujeita
  à linha de transformação óptima.
• A solução óptima é o ponto de tangência das
  curvas de indiferença do investidor a linha de
  trasnformação e pode-se interpretar as proporções
  óptimas, ?z, como a quantidade de fundos
  investidos nos activos com risco.
• A solução será

(7)

• Onde RRA é o coeficiente de aversão relativa ao
  risco.
• Quanto menor uma pessoa for avessa ao risco, mais
  longe é o ponto de intersecção da linha de
  transformação com a curva de indiferença do
  investidor no seu ponto de tangência, i.e. ?z é
  maior.

40
Medidas de Performance baseadas no APT

• Modelo de dois factores
• Nota A medida é semelhante ao índice de Jensen
  Index
• .aj Ri- (rfßiM(RM-rf))

41
Em forma de matriz (7) fica
42

• Suponha que A tem um coeficiente RRA1 então as
  condições de 1ª ordem podem ser calculadas em
  relação a Zi como

• Suponha que o investidor B tem menos aversão ao
  risco e tem um coeficiente de RRA0.2 então as
  condições de 1ª ordem podem ser calculadas em
  relação a Zi como

43

• Se ambos os investidores tiverem as mesmas
  expectativas sobre os retornos esperados, desvios
  padrão dos retornos e correlações entre os
  retornos, então as mesmas condições de 1ª ordem
  podem podem ser resolvidas para as mesmas
  ponderações óptimas Xi.

44

• O valor esperado do retorno é dado por

45

• O risco esperado é dado por

46

• A equação da linha de transnformação que passa
  pelo portfolio P é dado por

47

• Os retornos esperados dos portfolios A e B são
  dados por

48

• Graficamente

Returno
P
14.67
5
Risco
5.82

• Onde se localizam os portfolios A e B?

49

• O risco esperado dos portfolios A e B é dado por

50

• Graficamente

Retorno
B(-43,143)
18.81
P
14.67
7.76
A(71,29)
5
Risco
5.82
1.66
8.29

• A é menos avesso ao risco que B.

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Exemplo 2 ativos com risco

• Considere 2 ativos com risco (x e y) que deverá
  escolher , sendo ambos normalmente distribuídos.
• rx N(E(rx), s2x) ry N(E(ry), s2y)
• Vai afetar a do seu rendimento em x, b em y.
• a b 1
• Rentabilidade esperada do portefólio
• E(rp) Earx bryaE(rx) bE(ry)

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Exemplo dois ativos com risco

• rx N(E(rx), s2x) ry N(E(ry), s2y)
• Variância do Portefolio
• s2p Erp - E(rp)2
• E(arx bry)-Earx bry2
• E(arx - aErx)(bry - bEbry)2
• Ea2(rx - Erx)2 b2(ry - Ery)2 2ab(rx
  - Erx)(ry - Ery)
• a2 s2x b2 s2y 2abCov(rx, ry)
• a2 s2x b2 s2y 2abCov(rx, ry)
• s2p a2 s2x b2 s2y 2absxsy?xy
• sp v(a2 s2x b2 s2y 2absxsy?xy)

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Exemplo dois ativos com risco

• sp v(a2 s2x b2 s2y 2absxsy?xy)
• sp aumenta assim que ?xy aumenta.
• Implicação dado a (e b), se ?xy for mais pequeno
  , a variância do portefólio será também menor.
• Diversificação Se se quiser manter a
  rentabilidade esperada a um determinado nível com
  risco menor de exposição. Iincluir outro ativo
  com rentabilidade esperada semelhante mas com
  elevada correlação negativa com o outro ativo.

54
TPC

• Considere um portefólio constituído por quatro
  acções
• 1 a. Calcule a rentabilidade esperada do
  portfólio
• 1 b. Calcule a co-variância de cada uma das
  acções com o portefólio
• 1 c. Calcule a variância e o desvio padrão do
  portefólio
• 1 d. Determine o Beta de cada uma das acções do
  portfólio. Comente os valores obtidos.

  Proporção Rentabilidade esperada Matriz das variâncias-co-variâncias Matriz das variâncias-co-variâncias Matriz das variâncias-co-variâncias Matriz das variâncias-co-variâncias Matriz das variâncias-co-variâncias
        A B C D
A 20 14 A 10 8 2 -4
B 10 10 B 8 8 5 2
C 30 7 C 2 5 7 -3
D 40 9 D -4 2 -3 14
55
CONCLUSÃO

• Os modelos de portefólio partem do principio de
  não independencia entre os retornos dos activos
  de um portefólio (Matriz das co-variâncias).
• Todos os activos se encontram relacionados a um
  factor.
• O modelo de Sharpe assumiu esse factor como o
  excesso do portefólio de mercado em relação ao
  activo sem risco.
• Um portefólio eficiente obedece ao princípio de
  diversificação (a ver na unidade 4)
• Validações empíricas aos modelos CAPM têm
  surgido com testes à eficiência do mercado e à
  capacidade de fazer melhor ainda que o portefólio
  de mercado .(a ver na unidade 4)