I TASSI EQUIVALENTI

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I TASSI EQUIVALENTI

• Argomenti
• Tassi equivalenti, tasso nominale, tasso
  istantaneo

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Tassi equivalenti

• In un assegnato regime finanziario, due tassi di
  interesse, riferiti ad orizzonti temporali
  diversi, si dicono equivalenti se i
  corrispondenti fattori di capitalizzazione per
  unoperazione finanziaria della stessa durata t
  risultano uguali.

i Tasso di interesse annuo i1/m Tasso di
interesse periodale (riferito ad 1/m di anno)
Esempio i1/2 Tasso di interesse
semestrale i1/4 Tasso di interesse
trimestrale i1/12 Tasso di interesse mensile
Anni
Periodi
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Tassi equivalenti

• Se in corrispondenza del tasso di interesse annuo
  consideriamo la durata di una determinata
  operazione t espressa in anni, allora, in
  corrispondenza di un tasso periodale i1/m la
  durata della medesima operazione sarà pari a
  , espressa in frazioni di anno.

ESEMPIO Operazione finanziaria di durata pari ad
1 anno
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Tassi equivalenti

• Regime dellinteresse semplice

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Tassi equivalenti

• Regime dellinteresse composto

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Esercizi

• ESERCIZIO 1
• Dato un tasso di interesse quadrimestrale (i1/3)
  pari a 4,65, nel regime dellinteresse composto,
  calcolare i tassi di interesse annuo (i) e
  mensile (i1/12) ad esso corrispondenti.

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Esercizio

• Riprendendo i dati dellesercizio precedente
  calcoliamo gli stessi tassi incogniti ipotizzando
  di trovarci nel regime dellinteresse semplice.

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Tasso nominale di interesse

• Ipotizziamo di trovarci nel regime dellinteresse
  composto e che il capitale iniziale (C) sia
  investito ad un tasso annuo di interesse (i).
• Linteresse via via generato viene però
  corrisposto allinvestitore a periodicità
  prefissate, ad esempio m volte lanno.
• Dopo la prima frazione (1/m) di anno verrà quindi
  reso disponibile allinvestitore linteresse
  maturato.

Questo interesse non viene automaticamente
capitalizzato, al termine della seconda frazione
di anno (2/m) il capitale fruttifero sarà ancora
pari a C, di conseguenza anche alla fine di
questo periodo linvestitore riceverà una cedola
di interesse pari a
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Tasso nominale di interesse

• Graficamente la situazione può essere così
  rappresentata

Ipotizzando che linvestimento duri un anno, alla
fine di questo periodo linvestitore avrà
ricevuto per ogni euro investito m cedole di
pari importo (i1/m).
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Tasso di interesse nominale

• TASSO DI INTERESSE NOMINALE
• Il tasso nominale annuo di interesse convertibile
  m volte nellanno equivalente al tasso di
  interesse annuo effettivo (i), indicato con j(m),
  è la somma aritmetica delle cedole corrisposte
  allinvestitore per ogni euro investito.

Non ha un significato finanziario diretto, in
quanto somma aritmetica di capitali disponibili
ad epoche diverse
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Esercizi

• ESERCIZIO 1
• Dato un tasso di interesse annuo effettivo (i)
  del 10,25, nel regime dellinteresse composto,
  determinare lequivalente tasso di interesse
  nominale convertibile 3 volte lanno (j(3)).

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Tasso di interesse istantaneo

• Se il tasso di interesse nominale j(m) è
  convertibile infinite volte nellanno, ossia è
  convertibile istante per istante, si può giungere
  al seguente risultato tramite le proprietà dei
  limiti notevoli.

Dove la quantità
è definita tasso istantaneo di interesse
corrispondente al tasso di interesse effettivo
annuo (i). Ricavando il tasso di interesse
effettivo annuo dalla relazione appena enunciata
si avrà
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Confronto tra tassi equivalenti

• Il tasso di interesse nominale annuo è

• Minore di quello effettivo annuo se mgt1
• Maggiore di quello effettivo annuo se mlt1
• Uguale a quello effettivo annuo se m1
• Al crescere di m tende al valore del tasso di
  interesse istantaneo

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Confronto tra tassi equivalenti

• Landamento dei tassi equivalenti rappresentato
  graficamente è validato dalla seguente tabella
  dove sono evidenziati i valori dei tassi
  equivalenti a determinati tassi di interesse
  effettivi annui per diversi valori di m, nonché i
  relativi tassi istantanei di interesse.

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Alcune relazioni notevoli
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Tasso istantaneo di interesse-Capitalizzazione-

• Dalle relazioni precedenti risulta evidente che,
  nelloperazione di capitalizzazione, utilizzare
  il tasso effettivo annuo (i) o il corrispondente
  tasso istantaneo (d) conduce agli stessi
  risultati.

• ESEMPIO
• Dato un capitale iniziale di 100 investito nel
  regime dellinteresse composto ad un tasso di
  interesse effettivo annuo del 20 determinare il
  montante generato alla fine del terzo anno di
  investimento.

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Tasso istantaneo di interesse-Attualizzazione-

• Ricordando che

Allora possiamo esprimere anche il fattore di
attualizzazione tramite il tasso istantaneo di
interesse
Si può di conseguenza affermare che anche per
quanto riguarda loperazione di attualizzazione è
indifferente che essa venga svolta per mezzo del
tasso effettivo di interesse annuale o tramite il
tasso di interesse istantaneo corrispondente.
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Tasso istantaneo di interesse-Attualizzazione-
ESEMPIO Dato un tasso di interesse effettivo
annuo del 15 determinare il valore attuale di un
capitale finale di 100 disponibile tra due
anni.
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Esercizi

• ESERCIZIO 1
• Determinare il valore attuale di un capitale di
  3000 disponibile tra un anno e mezzo investito
  nel regime dellinteresse composto ad un tasso
  nominale convertibile semestralmente (j(2)) pari
  al 15.

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Esercizi

• ESERCIZIO 2
• Determinare il valore attuale di un capitale di
  5000 disponibile tra due anni e nove mesi
  investito nel regime dellinteresse composto ad
  un tasso di interesse istantaneo (d) pari al
  12,5.

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Esercizi

• ESERCIZIO 3
• Determinare il tasso di interesse istantaneo (d)
  in base al quale un capitale di 2400 genera un
  montante di 3000 dopo un anno e mezzo.

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Esercizi

• ESERCIZIO 4
• Dato un tasso istantaneo di interesse (d) pari al
  10 calcolare il tasso semestrale di interesse
  equivalente (i1/2).

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Relazioni di base tra tassi equivalenti
Tasso annuo Tasso periodale
Tasso nominale - Tasso annuo Tasso periodale
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Relazioni di base tra tassi equivalenti
Tasso istantaneo - Tasso annuo Tasso periodale
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Criteri per la scelta degli investimenti

• Argomenti
• Operazioni finanziarie, Valore Attuale Netto
  (VAN),
• Tasso Interno di Rendimento (TIR)

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Le operazioni finanziarie

• OPERAZIONI FINANZIARIE
• Queste operazioni si manifestano come una
  successione, finita o infinita, di somme di
  denaro in entrata e in uscita (flussi di cassa),
  scadenzate nel tempo.

• Ipotesi
• Flussi certi
• Scadenze determinate
• Operazioni finanziarie discrete (P.I.-P.O. gt
  point inputs point outputs)

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Le operazioni finanziarie

• Unoperazione finanziaria è rappresentabile come
  una famiglia di coppie in cui xh rappresenta il
  generico importo (positivo o negativo) relativo
  allepoca th, in simboli
• oppure

• In particolare
• xh gt0 Flusso in entrata allepoca th (es. ricavi
  da investimento, somme prese in prestito )
• xh lt0 Flusso in uscita allepoca th (es. somme
  investite, spese relative alloperazione,
  rimborso di prestiti )

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Le operazioni finanziarie

• RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DI UNOPERAZIONE
  FINANZIARIA

• OPERAZIONI FINANZIARIE
• Investimento (tutte le uscite precedono tutte le
  entrate)
• Finanziamento (tutte le entrate precedono tutte
  le uscite)
• Le operazioni finanziarie sono definite
  semplici se una sola uscita precede tutte le
  entrate (caso dellinvestimento) o se una sola
  entrata precede tutte le uscite

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Il VAN (Valore Attuale Netto)

• VAN
• Il Valore Attuale Netto di unoperazione
  finanziaria è dato dalla somma dei flussi di
  cassa attualizzati relativi alloperazione stessa.

Lapplicazione della formula del VAN richiede,
oltre al flusso di cassa connesso alloperazione
che è dato, la scelta del tasso di interesse da
utilizzare. Il VAN di un progetto assume il
significato di valore attuale del guadagno che lo
stesso progetto permetterà di conseguire
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Criterio del VAN

• Il calcolo del VAN è utile per decidere quale tra
  alternativi progetti sia più conveniente.
  Naturalmente la scelta ricade sul progetto
  caratterizzato dal VAN maggiore.
• Per essere confrontabili due progetti devono
  essere omogenei, ossia devono avere
• Stessa durata
• Stessa entità di capitale investito
• Stesso tasso di valutazione

• CRITICHE AL CRITERIO DEL VAN
• Soggettività nella decisione del tasso di
  interesse col quale scontare i flussi
• Assunzione dellipotesi che tale tasso sia
  stabile nel tempo

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Il TIR (Tasso Interno di Rendimento)

• Il TIR è un indicatore che esprime la redditività
  di unoperazione finanziaria in termini di tasso.
  
• Caratteristiche
• è intrinseco nelloperazione in questione
• è oggettivamente determinabile
• Il TIR si ricava dalla seguente relazione

Questo equivale a dire che, secondo tale tasso,
il valore attuale dei flussi in uscita uguaglia
il valore attuale dei flussi in entrata.
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Criterio del TIR

• Il criterio del TIR permette di scegliere tra
  operazioni finanziarie alternative a seconda che
  loperazione in questione sia un investimento o
  un finanziamento.
• Investimento si sceglie lalternativa
  caratterizzata dal TIR maggiore
• Finanziamento si sceglie lalternativa
  caratterizzata dal TIR minore

• CRITICITA
• Non è sempre possibile determinare il TIR delle
  operazioni finanziarie e di conseguenza il
  relativo criterio non è sempre applicabile.

Teorema di Nostrom Se le poste di unoperazione
finanziaria (xh,th) rispettano le seguenti
condizioni
allora loperazione stessa possiede un TIR
positivo
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Esercizi su TIR e VAN

• ESERCIZIO 1
• Unazienda acquista un macchinario per 20.000.
  Sapendo che tale acquisto incrementerà le entrata
  dellazienda di 6.000 nel primo anno, di
  8.000 nel secondo anno e di 11.000 nel terzo
  anno, calcolare il TIR dellinvestimento e il VAN
  secondo lipotesi che il tasso di valutazione sia
  del 9.

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Esercizi su TIR e VAN

• ESERCIZIO 2
• Unazienda deve scegliere tra due investimenti
  alternativi

• INVESTIMENTO A
• Acquisto di un impianto per 70.000
• Entrate stimate 1anno 14.000
• Entrate stimate 2anno 16.000
• Entrate stimate 3anno 20.000
• Entrate stimate 4anno 25.000
• Entrate stimate 5anno 20.000
• Entrate stimate 6anno 19.000

• INVESTIMENTO B
• Acquisto di un impianto per 120.000
• Entrate stimate 1anno 26.000
• Entrate stimate 2anno 28.000
• Entrate stimate 3anno 34.000
• Entrate stimate 4anno 36.000
• Entrate stimate 5anno 25.000
• Entrate stimate 6anno 15.000

Determinare la scelta che lazienda farà
basandosi sul criterio del VAN con tasso di
valutazione del 9 e basandosi sul criterio del
TIR. I due approcci sono tra loro coerenti?
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Calcolo delle probabilità

• Legge delle Probabilità Totali per eventi
  incompatibili

Legge delle Probabilità Totali per eventi
compatibili
Eventi indipendenti
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Calcolo delle probabilità

• Probabilità Condizionata

Legge delle Probabilità Composte
Teorema di BAYES
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Calcolo delle Probabilità

• ESERCIZIO 1
• In una città vengono venduti tre giornali A,B,C.
  Da unindagine risulta che il 47 degli abitanti
  legge il giornale A, il 34 il giornale B, il 12
  il giornale C l8 legge A e B, il 5 legge A e
  C, il 4 legge B e C e infine il 4 legge tutti e
  tre i giornali.
• Se si sceglie a caso una persona trovare la
  probabilità che
• Non legga alcun giornale
• Legga solo un giornale
• Legga A e B sapendo che legge almeno un giornale

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Calcolo delle Probabilità

• ESERCIZIO 2
• In un palazzo vivono solo tre famiglie A, B, C,
  di 4 componenti ciascuna. La famiglia A è
  composta da 4 maschi, la B da 3 maschi e 1
  femmina, la C da 2 maschi e 2 femmine.
  Considerando equiprobabile luscita di un
  componente di una qualunque delle tre famiglie,
  si osserva che dal portone esce una persona di
  sesso maschile. Quale è la probabilità che egli
  appartenga alla famiglia B?.

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Calcolo delle Probabilità

• ESERCIZIO 3
• La probabilità di colpire un bersaglio con una
  buona carabina è 1/3, con una meno buona è 1/4.
  Un tiratore ha cinque carabine, di cui una buona.
  Se spara un colpo con una carabina scelta a caso,
  qual è la probabilità di colpire il bersaglio?
• Sapendo che il tiratore ha colpito il bersaglio,
  qual è la probabilità che abbia usato una
  carabina buona?

40
Calcolo delle Probabilità

• ESERCIZIO 4
• Di 5 chiavi, una sola delle quali apre una
  serratura, 3 prese a caso sono inserite in un
  cassetto A e le restanti 2 in un cassetto B.
  Successivamente, da B si estrae a caso una
  chiave.
• Definiti gli eventi
• H B contiene la chiave che apre la serratura
• E la chiave estratta da B non apre la
  serratura
• Calcolare P(E) e P(HE).

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Calcolo delle Probabilità

• ESERCIZIO 5
• Compro due cassette con dieci piantine di bocche
  di leone ciascuna che ancora devono fiorire. Il
  vivaista mi ha detto che nella prima cassetta ci
  sono 7 piantine rosse e 3 bianche, mentre nella
  seconda ci sono 5 piantine rosse e 5 bianche.
• Prendo una delle due cassette, a caso, e da
  questa prendo due piantine. Qual è la probabilità
  che sboccino due bocche di leone rosse?

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Calcolo delle Probabilità

• ESERCIZIO 6
• Un dirigente di una compagnia di assicurazioni ha
  sviluppato un test attitudinale per agenti
  assicurativi. Sa che dallattuale gruppo di
  agenti il 65 ha ottenuto buoni risultati di
  vendita ed il restante 35 ha ottenuto risultati
  scarsi. Dà il suo test allintero gruppo di
  agenti e trova che il 73 di coloro che hanno
  ottenuto buoni risultati passa il test e che il
  78 di coloro che hanno ottenuto scarsi risultati
  sbaglia il test. Scegliendo un agente a caso e
  sottoponendogli il test
• a) qual è la probabilità che chi passa il test
  non abbia ottenuto buone vendite?
• b)qual è la probabilità che chi passa il test
  abbia ottenuto buone vendite?
• c) qual è la probabilità che chi non passa il
  test non abbia ottenuto buone vendite?
• d) qual è la probabilità che chi non passa il
  test abbia ottenuto buone vendite?

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Calcolo delle Probabilità

• ESERCIZIO 7
• Tre macchine, A B, e C, producono rispettivamente
  il 60, il 30, e il 10 del numero totale dei
  pezzi prodotti da una fabbrica. Le percentuali di
  produzione difettosa di queste macchine sono
  rispettivamente del 2, 3 e 4.
• - Determinare la probabilità di estrarre un pezzo
  difettoso.
• Viene estratto a caso un pezzo che risulta
  difettoso.
• - Determinare la probabilità che quel pezzo sia
  stato prodotto dalla macchina C.

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Soluzioni

• Esercizio 1
• 20
• 71
• 10
• Esercizio 2
• 1/3
• Esercizio 3
• 4/15
• 1/4

45
Soluzioni

• Esercizio 4
• 4/5
• 1/4
• Esercizio 5
• 0,34
• Esercizio 6
• 0,1396
• 0,8604
• 0,6087
• 0,3913

46
Soluzioni

• Esercizio 7
• 0,025
• 0,16