TRIGONOMETRIA

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TRIGONOMETRÍA
Manuel Jesús Quidiello Poveda
http//www.Quidiello.es
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El teorema de Thales
Nació alrededor del año 640 AC en Mileto, Asia
Menor (ahora Turquía)
Thales era un hombre que se destacó en varia
áreas comerciante, hábil en ingeniería,
astrónomo, geómetra
Thales era considerado uno de los siete sabios de
Grecia
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Teorema de Tales
A

• Si dos rectas secantes ( rojo ) son cortadas por
  rectas paralelas entre sí ( azul ), los segmentos
  que determinan en las rectas secantes son
  proporcionales.
• Podemos poner
• AB AC BC
• ----- ----- ------ r
• AB AC BC
• Y también
• AB AC BC
• ----- ----- ------ r
• AB AC BC
• Los triángulos ABC, ABC y ABC son semejantes.

B
C
B
C
B
C
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• Por el Teorema de Tales
• AB BC AC
• ---- ---- ----- r
• AB BC AC
• Los segmentos que determinan las tres rectas
  paralelas sobre las rectas secantes son
  proporcionales.
• En el ejemplo de la figura
• 2,5 2,5 5
• ----- ----- -----
• 2 2 4
• 1,25 1,25 1,25

A
A
B
B
C
C
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Trigonometría

• La palabra trigonometría proviene del vocablo
  griego trígono triángulo-, y metron medida-,
  que se refiere a las medidas de los ángulos de un
  triangulo.
• La trigonometría es la rama de las matemáticas
  que intenta establecer las relaciones entre los
  lados y los ángulos de un triangulo, para así
  poder resolverlos.
• Así entonces resolver un triangulo significa
  encontrar el valor de sus tres lados, y el de sus
  tres ángulos, para esto nos valdremos del teorema
  de Pitágoras para encontrar el valor de un lado,
  si es que ya conocemos dos, y de las funciones
  trigonométricas para conocer el valor de los
  ángulos internos si es que ya conocemos mínimo un
  lado.
• Y así posteriormente podremos combinar las
  funciones trigonométricas con el teorema de
  Pitágoras para poder resolver problemas de mayor
  dificultad.

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EL RADIAN

• SISTEMA SEXAGESIMAL
• Cada una de las 360 partes iguales en que queda
  dividida la circunferencia se llama grado
  sexagesimal. Cada grado se divide en 60 minutos y
  cada minuto a su vez se divide en 60 segundos.
• EL RADIAN
• Es la unidad fundamental el Radian, que se define
  como aquel ángulo cuyos lados comprenden un arco
  cuya longitud es igual a la del radio de la
  circunferencia.
• Para deducir el valor de un radian partiremos de
  la fórmula para calcular el perímetro de una
  circunferencia.
• P 2.p.r
• Sabemos que el giro completo de una
  circunferencia vale 360
• 2.p rad 360º

A
Radio r
Arco AB r
B
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Equivalencias

• Tenemos que p radianes es igual a 180.
• Y gracias a estos quebrados podremos obtener las
  siguientes equivalencias

Rad. 0 p/6 p/4 p/3 p/2 2p/3 3p/4 5p/6 p
Grados 0 30 45 60 90 120 135 150 180
Rad. 7p/6 5p/4 4p/3 3p/2 5p/3 7p/4 11p/6 2p
Grados 210 225 240 270 300 315 330 360
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RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS
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Razones trigonométricas

• Razones Trigonométricas
• En todo triángulo rectángulo, con independencia
  de las medidas de sus lados (catetos e
  hipotenusa) hay unas relaciones entre sus lados
  que se cumplen siempre, y que sólo dependen del
  valor de los ángulos agudos del triángulo.

B
Hipotenusa
B
c a
A90º
C
A b
C
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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
CATETOOPUESTO A
HIPOTENUSA
CATETO CONTIGUO A
SENO
COSENO
TANGENTE
COTANGENTE
SECANTE
COSECANTE
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Ejemplo

• Hallar las razones trigonométricas en el
  triángulo rectángulo cuyos lados miden a5, b4,
  c3
• sen Cc/a3/50,6
• cos Cb/a4/50,8
• tg Cc/b3/40,75
• cosec C1/sen C1/0,65/3
• sec C1/cos C1/0,81,25
• ctg C1/tg C1/0,754/3

B
Hipotenusa
B
c a
A90º
C
A b
C

• IMPORTANTE
• Como un cateto siempre es menor que la
  hipotenusa
• sen a 1
• cos a 1

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LA CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA
Y

• Su radio es igual a la unidad.
• Su centro es el origen de coordenadas.
• Sus razones trigonométricas son independientes
  del radio

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• 1.- Línea seno Se representa por la
  perpendicular trazada desde el extremo del arco,
  hacia el diámetro horizontal.
• Sen a cateto opuesto
• hipotenusa
• Que por la construcción la hipotenusa vale 1
• sen a y

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Análisis de los cuadrantes
0º 0 90º 1 180º 0 270º -1 360º 0
LíneaSeno
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• 2.- Línea coseno Se representa por la
  perpendicular trazada desde el extremo del arco,
  hacia el diámetro vertical.
• cateto adyacente
• Cos a
• hipotenusa
• Que por la construcción la hipotenusa vale 1
• cos a x

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LíneaCoseno
0º 1 90º 0 180º - 1 270º 0 360º 1
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• 3.- Línea tangente
• cateto opuesto
• tg a ---------------------
• cateto adyacente

Se empieza a medir de este origen y termina en
la intersección de la tangente geométrica con
el radio prolongado que pasa por el extremo del
arco.
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LíneaTangente
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5.- Línea Cotangente ctg a 1
tg a  ctg a x / y x' / y' x'      
ya que y'1
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4.- Línea secante sec a 1
cos a   sec a 1/cos a 1/(x/r) r / x
r' / x' r'
Secante
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5.- Línea Cosecante Cosec a 1
Sen a  cosec a 1/sena 1/(y/r) r /
y r' / y r'  ya que y'1
y
x
0
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Líneas trigonométricasen el cuadrante 1º
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Líneas trigonométricasen el cuadrante 2º
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Líneas trigonométricasen el cuadrante 3º
25
Líneas trigonométricasen el cuadrante 4º
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CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA
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Relaciones fundamentales
Fórmula fundamental
Aplicando el teorema de Pitágoras
Aplicando las siguientes definiciones
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Relaciones a partir de la fundamental

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Construcción de Tablas
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Ángulo suma
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Resolución de triángulos rectángulos

• Resolver un triángulo rectángulo es obtener todos
  sus elementos desconocidos a partir de otros
  elementos conocidos.
• Podemos resolver estos problemas de dos formas
• Conociendo dos de los lados del triángulo.
• Conociendo un lado y un ángulo agudo.

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(No Transcript)
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Ecuaciones trigonométricas

• Son aquellas ecuaciones en las que la incógnita
  es un ángulo que aparece asociado a una razón
  trigonométrica.
• Su solución se expresa como la medida de un
  ángulo y todos los ángulos que se obtienes
  añadiéndole un número entero de vueltas.