Cours analyse spectrale Part II

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Cours analyse spectrale Part II

• ESPEO 3ème année
• Philippe Ravier 2000-2001

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Déroulement du cours

• Estimation de la dsp cas aléatoire continu
• Considérations pratiques
• Fonctions dapodisation
• Insertion de zéros

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1.Estimation de la dsp cas aléatoire
a) Estimation directe le corrélogramme
Pour avoir une estimation correcte, il faut
sassurer que le support de la fonction de
corrélation est bien plus petit que la durée
dintégration soit Tc ltlt Tin
Donc on pondère la fonction de corrélation sur
-Tc, Tc par g(t ) nulle à lextérieur de cet
intervalle gt lissage sur la dsp estimée.
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Corrélogramme
Propriétés de l estimateur
Biais
biaisé
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Variance
Tin est le temps dintégration durée du signal
utilisée pour estimer la corrélation BG est la
largeur de bande de la fonction dapodisation.
La variance diminue si BG augmente c-à-d le
support de la fonction de pondération diminue ce
qui a tendance à augmenter le biais (on prend
moins de longueur dinformation pour
lestimation) La diminution simultanée du biais
et de la variance de lestimateur est impossible.
Compromis biais variance !
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Autre estimateur théoriquement équivalent
mesure du périodogramme
Périodogramme lissé
Le rôle de lissage de la fonction dapodisation
se traduit par la convolution de la transformée
de Fourier avec avec lestimation  brute  de la
dsp.
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b) Estimation indirecte le périodogramme moyenné
La mesure du périodogramme est un spectre
instantané. Dans le cas dun signal aléatoire, la
variance destimation est très grande
et lestimation na aucun sens. Il faut réduire
la variance par moyennage.
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• On veut effectuer L mesures indépendantes du
  signal de N points.
• Solution naturelle
• on découpe le signal en L segments
• on estime un périodogramme sur chaque segment
• on calcule la moyenne des périodogrammes.

Le moyennage permet la réduction de la variance
de lestimation
Inconvénient le découpage diminue le temps
dintégration de chaque estimation, ce qui
augmente le biais. Le recouvrement des segments
permet de réduire le biais.
En pratique, un taux de recouvrement de 40 donne
de bons résultats. Au delà, lindépendance entre
les tranches nest plus respectée.
Remarque le périodogramme moyenné exige une
mémorisation du signal sur une longueur égale à
la longueur de recouvrement. Pas de problème en
numérique mais peut être une contrainte pour un
système analogique.
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2.Considérations pratiques

• Cas continu sur une durée T Filtrage
  Quadration Intégration

F
Q
I
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Passage au numérique - avantage meilleure
précision et plus grande souplesse. (en
particulier pour la réalisation dopérateurs
non-linéaires) - inconvénient la vitesse de
calcul. Pour des signaux très large
bande, seules les techniques analogiques
permettent lanalyse spectrale en temps réel.
On définit la TFD et la iTFD comme
avec
On ajoute au besoin des zéros au signal temporel
pour obtenir une longueur de signal N2p pour
pouvoir utiliser lalgorithme FFT.
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• Cas discret aléatoire - Périodogramme moyenné

Densité spectrale de puissance Sx(m)EX(m)2 Pr
océdure destimation analogue à la technique de
FQI
Overlap 50 Moyennage sur L tranches Fenêtre de
pondération f(n) Tranches de N échantillons,
décalages de P échantillons
f(n)
x(n) durée T
P
L tranches
X1(m)
X2(m)
XL(m)

• Biais diminue si T augmente
• Var diminue en moyennant sur L grand

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• Biais

- La moyenne de lestimateur est obtenue par
lissage de la dsp avec la dsp de la fonction de
pondération. Lestimateur est biaisé.

• Variance

Si pas de recouvrement
Si overlapgt50 la charge de calcul augmente et le
gain en variance relative devient plus
faible, les segments ne sont plus décorrélés.
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• Cas discret aléatoire - Corrélogramme

- La corrélation circulaire est due à la
périodisation en temps et en fréquence
induite par la discrétisation temporelle et
fréquentielle.
- La fonction dapodisation permet de limiter le
support de lestimation de la fonction de
corrélation puisque la variance destimation de
la corrélation est importante pour les grands
retards.
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• Biais

- Lestimation de la densité spectrale par la
méthode du corrélogramme est biaisée.

• Variance relative

• Tin est le nombre total de points du signal
  utilisés pour estimer la fonction de corrélation
  (temps dintégration)
• Tc est le support en nombre de points de la
  fonction de corrélation
• BeF est la largeur de bande équivalente de bruit
  de f(n).

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3.Fonctions dapodisation
Le choix de la fonction de pondération doit tenir
compte du biais et de la variance quelle induit
sur lestimateur.
Qualités souhaitées pour f(t )

• TFf(t ) doit présenter un  pic  central le
  plus étroit possible
• TFf(t ) doit présenter peu de lobes
  secondaires de très faible amplitude
• TFf(t ) ne doit pas présenter de lobes
  négatifs les fenêtres ayant des lobes
• négatifs sont très gênantes car elles peuvent
  rendre la mesure de la dsp négative
• f(t ) doit être à support limité.

• Les fonctions dapodisation jouent le rôle dun
  lissage de la dsp vraie car en moyenne,
• lestimée de la dsp est convoluée par la TF ou
  par la dsp de la fonction de pondération.
• lissage par la TF de f(t ) cas du
  corrélogramme gt pondération linéaire
• lissage par la dsp de f(t ) cas du
  périodogramme moyenné gt pondération quadratique

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Principales caractéristiques des fenêtres de
pondération

• On compare les fenêtres sur plusieurs grandeurs
  les caractérisant
• Normalisation des fenêtres.
• On applique un facteur de calibration A pour
  avoir un estimateur approximativement
• non biaisé. Ce facteur réalise également une
  normalisation qui permet de conserver
• lénergie totale du signal.
• Largeurs de bande
• Largeur de bande passante à puissance moitié (-3
  dB)
• Largeur de bande équivalente de bruit elle
  caractérise la dispersion (variance)
• des mesures. Elle donne également une mesure
  globale de la largeur de bande du
• lobe central de la fenêtre spectrale.

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• Fuites dénergie
• Amplitude relative dune raie spectrale mesurée

• Pouvoir de résolution Fuites dénergie
• Une partie de la puissance de la raie est
  dispersée dans les lobes latéraux. Ce phénomène
  de fuite peut être très gênant sil existe des
  raies de forte puissance dont les lobes latéraux
  viennent masquer des raies de faible puissance
  par exemple.

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Éléments de description des fenêtres par les
lobes spectraux

• Lobe principal
• Amplitude du maximum normalisée
• Largeur de bande à 3 dB (liée au pouvoir de
  résolution)
• Largeur de bande équivalente du bruit donnant la
  dispersion des mesures
• Lobes secondaires
• Facteur de fuite p en pourcentage
• Amplitude du 1er lobe latéral positif (en dB)
• Amplitude du 1er lobe latéral négatif pour les
  fenêtres linéaires sil existe
• La position du 1er zéro.

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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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4.Insertion de zéros ou  zero-padding 
En pratique, pour augmenter la résolution
fréquentielle, on ajoute des zéros à la fin du
signal car lalgorithme de FFT fournit un nombre
déchantillons fréquentiels égal au
nombre déchantillons temporels de départ (qui
doit être une puissance de 2). On najoute pas
dinformation supplémentaire, on modifie juste la
résolution fréquentielle car le pas devient