Funciones de Variables Aleatorias

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CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS
Estadística Computacional
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Distribuciones Multivariantes
Sea X (X1, X2,..., Xk) vector aleatorio
PX Bk R caracterizada por FX , fX
(discreta, continua, mixta). Consideremos k2
función de Distribución conjunta
X(X1,X2) función de densidad
(cuantía) FXi(xi) función de Distribución
marginal de Xi, i1,2 fXi(xi) función de
densidad marginal i1,2
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Distribuciones Multivariantes

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Distribuciones Multivariantes

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Ejemplos de Vectores Aleatorios Discretos
Sea X ( X1, X2) vector aleatorio discreto, con
Xi variable aleatoria que representa el número de
fallas del turno i. La siguiente tabla nos
proporciona la función de cuantía conjunta
0 1 2 0 0,1 0,2 0,2 1 0,04 0,08
0,08 2 0,06 0,12 0,12
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Ejemplos de Vectores Aleatorios Discretos
1. Determinar las cuantías marginales 2.
Determine las cuantías condicionales
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Solución
1. Cuantías marginales
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Solución
2. Cuantías condicionales
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Nota
Obtenga además 1. 2. 3.
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Ejemplo de vectores aleatorios continuos
Sea X (X1, X2) vector aleatorio continuo, con
densidad Calcular
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Solución

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Solución

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Transformaciones de Vectores Aleatorios

• Sea X vector aleatorio continuo con densidad
  conjunta , y sea con g D ? R2
  R2 función vectorial. Si se cumple
• D conjunto abierto
• g es una transformación invertible con derivadas
  parciales continuas
• Existe
• En tal caso

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Función de Regresión
Sea X ( X1 , X2 )vector aleatorio y sea
función de densidad marginal de X2.
Además, sea M x2
y sea g D ? R R. Consideremos ?
M R / ? (X2) Eg(X1)/X2. ? se llama
función de regresión de g(X1) en X2.
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Función de Regresión
Propiedades 1. 2. 3. Entonces
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Ejemplo de Transformaciones
Sean X1 , X2 v.a.c. y sean también
Encontrar 1. 2. 3. 4. Es y1 ? y2 ?
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Solución
X1 , X2 ? 0,1 X12Y1Y2 X22Y2/Y1 Con
Y1gt0 Y2gt0 Y1Y2lt1 Y2/Y1lt1 Sean Y1
g1(x1 , x2) Y2 g2(x1 , x2) X1 h1(x1 , x2)
X2 h2(x1 , x2)
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Solución
1. 2. 3.
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Solución
4. no son independientes
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Esperanza y Varianza
Sean X , Y v.a. y ? , C ? R
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Esperanza y Varianza
Sean X , Y v.a. y ? , C ? R
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Esperanza y Varianza
Sean X1, X2,..., Xn v.a.independientes En
general para X1, X2,..., Xn v.a.cualesquiera
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Ejemplos de Distribuciones Continuas
Distribución (Binomial) n , pp1 , q1-pp2
Ejemplos de Distribuciones Multivariadas
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Ejemplos de Distribuciones Multivariadas
Distribución (Polinomial) n , p1, p2,...,
pk
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Ejemplos de Distribuciones Multivariadas
Distribución Normal (Bivariada) X ? N(?,?) o
bien Además
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Ejemplo de Distribuciones Multinomial
Las probabilidades de que cierta lámpara de un
modelo de proyector dure menos de 40 horas, entre
40 y 80 horas, y más de 80 horas de uso
interrumpido son 0.3 0.5 y 0.2 respectivamente.
Calcular la probabilidad de que entre 8 de tales
lámparas, 2 duren menos de 40 horas cinco duren
entre 40 y 80 horas, y una dure más de 80 horas.
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Ejemplo de Distribuciones Multinomial
Solución n8 p10,3 p20,5
p30,2 x12 x25 x31
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Propiedades Normal Bivariada

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Propiedades Normal Bivariada
Análogamente se tiene que
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Aplicación Normal Bivariada
Dos elementos (X,Y) se distribuyen como
N ( ? , ? ), siendo Al analizar un elemento
se observa que contiene 6 gramos de X. - Cuál
es el valor más probable de Y?
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Solución
La respuesta consiste en encontrar
gramos
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Problema de Tarea
Una línea eléctrica se avería cuando la tensión
sobrepasa la capacidad de la línea. Si la tensión
se distribuye como N ( 100 20 ) y la capacidad
como N ( 140 10 ), calcular la probabilidad de
avería, suponiendo independencia.