Funciones de Variables Aleatorias

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CAPITULO 5 Funciones de Variables Aleatorias y
Función Generadora de Momentos
Estadística Computacional
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Funciones de Variables Aleatorias

• Sea X v.a. con función de densidad (cuantía)
  fX. Sea Y g(x). Entonces
• X es v.a. discreta y g continua ?
  Y g o X es v.a. discreta
• X es v.a. continua y g continua ? Y
  g o X sea v.a. continua

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Transformación de Variables
P(C) P x ? RX H(x) ? C P s ? ?
H(X(s)) ? C
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Transformación de Variables
Sea X una v.a. discreta con función de cuantía
f(xij)
f(x11) f(x31) f(xn1)
f(x12) f(xn2)
f(x13) f(xn3)
f(x1j) f(xnj)
Sea H(xij) yj una función que tiene la
propiedad de asignar un valor yj
a todo xij ?j ? J para i 1, 2, 3 ,... j
1, 2,...
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Transformación de Variables
Sea X v.a. con función de densidad (cuantía)
fX(x) Sea Y H(x) también es una variable
aleatoria. Entonces
Si H(x) continua
Si H(x) discreta
Y H( X) es v.a. discreta
Y H( X) es v.a. discreta
discreta
X es v.a.
Y H( X) es v.a. continua
Y H( X) es v.a. discreta
continua
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Funciones de Variables Aleatorias
X ? R ? g D R Y g(X)
v.a.
v.a.c.
fu continua, estrictamente monótona, derivable y
con derivada no nula en A ? D
Entonces
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Transformación de V.A. Continuas
G(y) P(Y ? y) P(3X 1 ? y)
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Funciones de Variables Aleatorias
Ejemplo fX(x) I?0,1?(x) g(x) ln x Sea
Y g o X ln X. Encontrar la densidad de Y
ln X
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Funciones de Variables Aleatorias
Solución Sea A ?0,1? ? D R Además g es
derivable y con derivada no nula en A
Entonces
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Caso X ? U (0,1) H(X) ln X
Sea X U(0,1) f(x) 1 0 lt x lt
1 Y H(X) ? Y ln X X H-1(Y) ?
X eY encontrar g(y)
G(y) P(Y ? y) P(ln X ?
y) P(X ? ey )
F(ey)
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Funciones de Variables Aleatorias
Solución Además, algunas propiedades de Y
son
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Un método operativo
X ? U (0,1) Y ln X derivando con respecto a
y tenemos
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Un método operativo
En general, sea X v.a.c. ? Y
X2 Consideremos X ? N(0,1), sea Y X2,
luego Y ? ?2(1)
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Ejercicio
Sea X ln Y ? N ( ? , ?2 ) Encontrar la
distribución de Y Nota Y se conoce como
distribución Log-normal.
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Distribución Log-Normal
Función de Densidad LN( 0, ?2)
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Función Generadora de Momentos
Definición Sea X v.a. (d. ó c.) con densidad o
cuantía fX. Se llama función generadora de
momentos a ? D ? R R / ?X(t) E
etX t ?X(t) X
v.a.d. X v.a.c.
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Función Generadora de Momentos

• Observaciones
• Tal serie o integral pude no existir siempre ?
  t ? D.
• Sin embargo, t 0 existe siempre, y vale 1.
• Deseamos que exista V(0,?)?D y que además sea
  derivable k-veces.
• Cuando ?X(t)EetX no exista, podemos usar
  ?X(t)E?eitX? llamada función característica.

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Función Generadora de Momentos
X ?X(t)
U(a,b)
P(?)
Exp(?)
N(?,?2)
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Función Generadora de Momentos
X ?X(t)
?(?,?)
B(n,p)
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Función Generadora de Momentos
Usando el desarrollo en serie de Maclaurin ?X(t)
?X(0) EX ?X(0) EX2
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Función Generadora de Momentos
En general, bajo condiciones de
regularidad ?nX(0) EXn
Finalmente Si Y ?X ? ? ?Y(t) e?t
?X(?t) Z X Y X ? Y ? ?Z(t) ?X(t)
?Y(t)
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Distribución Log-Normal
Función de Densidad LN( 0, ?2)
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Caso X ? U (0,1) H(X) e-X
Sea X U(0,1) f(x) 1 0 lt x lt 1
Y H(X) ? Y e-X X H-1(Y) ? X
- ln Y encontrar g(y)
G(y) P(Y ? y) P(e-X ? y)
P(- X ? ln y ) P(X ?? - ln y )
1 F(ln y)
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Transformación de V.A. Continuas
X ? ?X ? H ?X ?Y
Y H(X) v.a.
v.a.c.
H() continua, estrictamente
monótona, derivable y con derivada no
nula en A ? ?Y
Entonces
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Caso X ? U (0,1) H(X) X2
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Sea X N(m,s2) f(x) e
-? lt x lt ? Y H(X) ? Y X H-1(Y)
? X sY m encontrar g(y)
X m s
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Caso X ? N (m,s2) H(X) ln X
Sea X N(m,s2) f(x) e -? lt
x lt ? Y H(X) ? Y ln X X H-1(Y)
? X eY encontrar g(y)

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Caso X ? N (m,s2) H(X) eX
Sea X N(m,s2) f(x) e -? lt x
lt ? Y H(X) ? Y eX X H-1(Y) ?
X lnY encontrar g(y)
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Distribución LogNormal (0,1)

• Fenómenos aleatorios representados por variables
  aleatorias con esta distribución
• Diámetro de pequeñas partículas después de un
• proceso de chancado
• El tamaño de un organismo sujeto a un número
• pequeño de impulsos
• Rentas de familias consumo de electricidad
  ventas en pesos etc.
• Tiempo de vida de ciertos ítems
• Análisis de riesgo financiero en el cálculo del
  VAN

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Distribución LogNormal (m, s2)
ln x - m s
2
_
x-1
e
f(x)
s
p
2
F(x)
No tiene expresión analítica.
2
EX em s /2 VX e2m s (es 1)
2
2
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Caso X ? N(0,1) H(X) X2
Sea X N(0,1) f(x) e -? lt
x lt ? Y H(X) ? Y X2 X H-1(Y) ? X
? Y . ó X - ?
Y encontrar g(y)
x
2
- ½
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Desafíos ...
Sea X U(1, 3) H(X) 3X 1 J(X)
eX
Sea f(x) 2x 0 lt x lt 1 H(X) 3X
1 J(X) e-X
Sea f(x) e-x x gt 0 H(X) X3
J(X)
Sea f(x) ½ -1 lt x lt 1 H(X) 4
x2 J(X) ln X
3 (X 1)2
33
x
n
-
-
1
e
x
2
2

x gt 0
)
f(
x
n
G
n
2
2
2