Trasformazioni geometriche

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Trasformazioni geometriche

• Didattica della Matematica modulo 2
• Settimo ciclo SSIS, 2005-2006

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Da bambini, con le forbici e un foglio di carta

• pieghiamo il foglio a metà
• ritagliamo un motivo
• apriamo il foglio
• Le due parti della figura sono simmetriche

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Simmetria o riflessione rispetto a una retta

• Trasformazione del piano su se stesso ogni punto
  P ha un corrispondente P
• I punti di r sono fissi
• se P fuori di r, PP è perpendicolare a r
• e la incontra nel punto medio tra P, P
• simmetria.fig

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Proprietà della riflessione

• Segmenti vanno in segmenti
• Segmenti corrispondenti sono uguali
• Si conservano gli angoli
• Triangoli corrispondenti sono congruenti
• Sinistro ? destro

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Con le forbici e una striscia di carta ripiegata
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Con due riflessioni.
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Si ottiene una nuova trasformazione

• traslatriango.fig

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La traslazione

• Segmenti da un punto al suo traslato sono
  paralleli, uguali, orientati nello stesso verso
• Rette corrispondenti sono parallele
• Destro ? destro

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Nessun punto fisso, ma rette fisse

• Se si ripete una stessa traslazione, le rette
  nella direzione della traslazione scorrono su se
  stesse

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Come si costruisce un motivo ornamentale?
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Come costruire un fregio I

• Reiterando una stessa traslazione salti su un
  piede solo

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Come costruire un fregio II

• Aggiungendo alla traslazione una riflessione
  rispetto ad una retta nella stessa direzione
  salti a piè pari

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Come costruire un fregio II

• Aggiungendo alla traslazione una riflessione
  rispetto ad una retta nella stessa direzione
  salti a piè pari

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Come costruire un fregio III

• Con loperazione risultante dalla composizione di
  traslazione e riflessione è un nuovo tipo di
  trasformazione

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Come costruire un fregio III

• Con lantitraslazione (glissoriflessione) passo
  normale

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Come costruire fregi IV

• Usando una riflessione in uno specchio
  perpendicolare alla direzione di traslazione,
  ripetendo. salti laterali

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Come costruire fregi V

• Usando riflessioni con specchi perpendicolari tra
  loro salto con piroetta

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Unaltra trasformazione la simmetria centrale

• Risulta dalla composizione di riflessioni
  rispetto a assi perpendicolari
• è un mezzo giro attorno al punto comune ai due
  assi

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Unaltra trasformazione la simmetria centrale

• Risulta dalla composizione di riflessioni
  rispetto a assi perpendicolari
• è un mezzo giro attorno al punto comune ai due
  assi

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La simmetria centrale

• Il centro di simmetria è il punto medio tra ogni
  coppia di punti corrispondenti
• Destro va in destro

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Come costruire fregi VI

• Si possono usare simmetrie centrali giravolta su
  un piede solo

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Come costruire fregi VII

• Infine, simmetrie centrali e riflessioni salti
  con giravolte

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Teorema

• Vi sono soltanto 7 modi di riempire
• una striscia con un motivo periodico
• Maria Dedò, Forme Simmetria e topologia,
  Decibel, Padova Zanichelli, Bologna, 1999

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Per uscire dalla striscia

• Due riflessioni con assi incidenti producono una
  rotazione
• rotazione.fig

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Proprietà della rotazione di centro O

• O resta fisso
• Ogni altro punto P va nel punto P che sta alla
  stessa distanza da O
• langolo POP è fisso
• ed è uguale allangolo tra due rette
  corrispondenti

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Classificazione delle congruenze (isometrie) del
piano
Punti fissi Nessun punto fisso Un solo punto fisso Infiniti punti fissi
Diretta (pari) traslazione rotazione identità
Inversa (dispari) glissorifles-sione simmetria assiale o riflessione
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Quante carte da parati posso disegnare?

• TEOREMA.
• Vi sono soltanto 17 modi di ricoprire il piano
  con figure tutte congruenti tra di loro (Fedorov,
  1891 Pólya, 1924 )
• Maria Dedò, Forme Simmetria e topologia,
  Decibel, Padova Zanichelli, Bologna, 1999

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Esempi 1) con due traslazioni non parallele
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2) con riflessioni rispetto a rette perpendicolari
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3) con simmetrie centrali e traslazioni
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4) con rotazioni di 120
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Pavimenti, trapunte

• Si può fare un pavimento con mattonelle a forma
  di un poligono regolare, tutte congruenti tra di
  loro, lato contro lato?
• Non come nel secondo e terzo esempio

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La trapunta più semplice
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Con quali poligoni regolari si può costruire una
trapunta?

• In un vertice si vogliono incastrare k
  poligoni
• se ciascun poligono ha in quel vertice un angolo
  ?, per chiudere lincastro deve essere k
  ? 360
• Quali poligoni regolari hanno angoli che siano
  sottomultipli di 360?

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Quanto misurano gli angoli di un poligono
regolare?

• Triangolo equilatero 180/3 gradi
• Quadrato 360/4 gradi
• Pentagono? 5 triangoli
• 180 per 5 .meno 360 nel centro, in tutto gli
  angoli assommano a
• 180(5 2) 540

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Una coperta di pentagoni

• 540 5 108
• Langolo del pentagono misura 108
• Tre in un vertice 108 108 108 lt 360
• Quattro in un vertice 108 per 4 gt 360.

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Non si può fare!
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Solo tre

• Gli unici poligoni regolari che pavimentano il
  piano sono
• Triangoli (equilateri)
• Quadrati
• Esagoni (regolari)
• Pavimenti di poligoni non regolari ?

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Pavimenti di rettangoli, parallelogrammi.
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Quadrilateri.
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(No Transcript)
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Alla maniera di Escher

• un quadrato ABCD
• sostituisco il segmento AB con una curva o una
  spezzata
• con la traslazione di vettore AD creo un nuovo
  lato con estremi D,C
• traslo la nuova mattonella

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Su un reticolo quadrato
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Su un reticolo quadrato
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Con traslazioni e riflessioni
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Glissoriflessione e traslazioni
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Rotazioni......
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Riflessioni, rotazioni.
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Quanti centri di rotazione?
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E nello spazio? Simmetriarispetto ad un piano

• http//specchi.mat.unimi.it/
• http//matemilano.mat.unimi.it/

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Con uno specchio e mezzo modello
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Con due specchi

• Basta un quarto delledificio

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Problema

• E possibile impadronirsi dello spazio (H.
  Freudenthal) lavorando su fotografie, disegni,
  software sofisticati?
• Può essere meglio un brutto modello che una
  bella figura (Maria Dedò) ?