Risco Operacional

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Risco Operacional

• Prof. José Valentim Machado Vicente, D.Sc.
• jvalent_at_terra.com.br

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Conteúdo da Aula

• Base de Dados
• Método da Distribuição de Perdas
• Modelos de Freqüência
• Distribuição de Poisson
• Modelos de Severidade
• Distribuição Gama
• Teoria dos Valores Extremos
• VaR Operacional

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Base de Dados

• Quando a decisão é modelar risco operacional, a
  primeira questão que surge é de onde virão os
  dados? Essa questão é mais fácil de ser
  respondida para o risco de mercado e de crédito.
• Os bancos, com raras exceções, têm procedimento
  formal para registrar e arquivar informações
  sobre perdas operacionais históricas de forma
  sistemática.
• Segundo pesquisa do Comitê da Basiléia, apenas um
  pequeno número de bancos já está utilizando
  métodos estatísticos para modelar risco
  operacional.

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Base de Dados

• Existem duas grandes dificuldades em se coletar
  eventos de risco operacional
• Os eventos de risco operacional têm sua natureza
  descentralizada, ou seja, este tipo de risco pode
  se materializar em qualquer unidade de negócio,
  podendo estar relacionado a qualquer processo,
  produto ou serviço.
• Há uma carência cultural no processo de coleta
  deste tipo de perda, principalmente pelo fato de
  ser uma informação sensível e ainda não haver um
  claro entendimento dos benefícios como o ganho de
  eficiência que este rastreamento de perdas pode
  trazer.

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Base de Dados

• Existem três formas alternativas, não
  excludentes, de se coletar as perdas decorrentes
  de risco operacional
• Registrar manualmente as ocorrências de risco
  operacional à medida que os eventos de perda
  ocorrem.
• Coletar os dados de fontes gerenciais.
• Minerar nas contas contábeis as perdas
  decorrentes de eventos de risco operacional.

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Base de Dados
Forma de Coleta Vantagens Desvantagens
Manual Possibilita maior detalhamento da perda e uma identificação precisa das causas, efeitos e ações mitigadoras. A cobertura das perdas requer uso intensivo de capital humano.
Gerencial Demanda menor uso de capital humano e é adaptável a taxonomia de RO. A informação é menos detalhada que no método manual e menos confiável do que no método contábil.
Contábil O uso do capital humano é mínimo e a confiabilidade deste tipo de informação é muito maior do que as outras. Ainda não existem contas específicas para este tipo de perda e é difícil identificá-las dentro da taxonomia de RO.
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Base de Dados

• Na análise exploratória de dados de perdas
  operacionais duas características são muitas das
  vezes observadas
• Uma grande quantidade de perdas com valores
  baixos e uma pequena quantidade de perdas com
  valores altos.
• A ocorrência de recuperações é um fenômeno com
  pouca chance de ocorrer, no entanto o volume
  total de capital recuperado é significante.

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Método da Distribuição de Perdas

• O MDP consiste em agregar (ou, usando o termo
  matemático adequado, convoluir) em um único
  processo estocástico a distribuição de freqüência
  e a distribuição de severidade das perdas.
• Em outras palavras, a perda total S é a soma de
  um número estocástico de ocorrências N
• onde Xn é a severidade da n-ésima ocorrência.

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Método da Distribuição de Perdas
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Método da Distribuição de Perdas

• Algumas hipóteses são assumidas para esse modelo
• As v.a.s X1, , Xn condicionadas a N n são
  iid
• A distribuição das v.a.s X1, , Xn
  condicionadas a N n independe de n.
• A distribuição de N não depende das v.a.s X1,
  , Xn.
• Em geral não há uma solução analítica para a
  distribuição das perdas agregadas S. É
  necessário, portanto, o emprego de algum método
  de simulação.
• O primeiro passo na modelagem do MDP é selecionar
  os modelos de freqüência e severidade.

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Modelos de Freqüência

• O estudo da distribuição de freqüência envolve a
  contagem dos eventos de perda em uma determinada
  janela de tempo (hora, dia, mês, etc).
• As distribuições mais empregadas para modelar o
  processo de freqüência são
• Poisson.
• Binomial Negativa.
• Binomial.
• Dessas, a mais importante é, sem dúvida, a de
  Poisson.

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Distribuição de Poisson

• É a mais utilizada para modelar os processos de
  freqüência.
• É bastante simples. Sua distribuição depende de
  apenas um parâmetro ?, a média da distribuição.
• Se X é uma v.a. com distribuição de Poisson de
  parâmetro ? então a probabilidade de X ser igual
  a k, onde k é um inteiro não negativo, é

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Distribuição de Poisson

• A função POISSON do MS Excel retorna a
  distribuição de Poisson. Sua sintaxe é a
  seguinte
• POISSON(xmédiacumulativo)
• x  é o número de eventos.
• média  é média da distribuição.
• cumulativo  é um valor lógico que determina a
  forma da distribuição de probabilidade fornecida.
  Se cumulativo for VERDADEIRO, POISSON retornará a
  probabilidade de o número de eventos aleatórios
  estar entre zero e x se FALSO, retornará a
  probabilidade de o número de eventos ser x.

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Distribuição de Poisson

• Exemplo 1 Em média, ocorrem 10 quedas por hora
  de conexões da rede de comunicações de dados em
  um certo banco. Calcule a probabilidade de
  ocorrer mais de 15 quedas por hora.
• Solução Seja N a v.a. que representa o número
  de interrupções da rede, então

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Distribuição de Poisson
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Distribuição de Poisson

• Exemplo 2 Em uma empresa ocorrem em média 5
  fraudes por mês. Cada fraude gera um prejuízo de
  R 100.000. Calcule a probabilidade de ocorrer
  uma perda mensal devido às fraudes superior a R
  1.000.000.
• Solução Prejuízo gt R 1.000.000 ? fraudes (N)
  gt 10, então

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Distribuição de Poisson

• Se n1, n2, , nK, é uma amostra aleatória de uma
  distribuição de Poisson, então uma estimativa do
  parâmetro ? é
• Exemplo 3 Em um período de 500 dias, ocorreram
  1120 fraudes em uma banco. Se o número de fraudes
  diárias obedece uma distribuição de Poisson,
  então uma estimativa do parâmetro ? é 1120/500
  2,24.

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Modelos de Severidade

• Severidade ou impacto é o valor monetário que a
  instituição financeira perde, caso um evento de
  risco operacional se materialize.
• No Exemplo 2 analisamos uma situação na qual a
  severidade é determinística (no caso igual a R
  100.000). Na prática, devemos impor um modelo
  estocástico para a severidade, da mesma forma que
  fizemos para a freqüência. No entanto, neste caso
  as distribuições candidatas são as distribuições
  contínuas.

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Modelos de Severidade

• As distribuições mais empregadas para modelar o
  processo de freqüência são
• Gama.
• Pareto.
• Lognormal.
• Weibull.
• Normal.
• Distribuições de Valores Extremos GEV
  (Generalized Extreme Value) e GPD (Genaralized
  Pareto Distribution).

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A Distribuição Gama

• A distribuição Gama foi estudada primeiramente
  por Laplace em 1836. Essa distribuição fornece um
  representação razoável para diversas situações
  físicas, como por exemplo, na teoria de
  confiabilidade.
• A distribuição Gama, além de ser uma distribuição
  simples, é também bastante flexível, pois tem um
  parâmetro de correção da forma da curva,
  possibilitando um melhor ajuste dos dados.

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A Distribuição Gama

• Uma v.a., que assume apenas valores não
  negativos, tem distribuição Gama se sua fdp é
  dada por
• ,
• onde ?(?) é a função Gama calculada no ponto ?.
  A função Gama é uma espécie de generalização do
  operador fatorial, no sentido de que se n é um
  inteiro positivo então ?(n ? 1) n! n?(n ?
  1) ? ?1.

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A Distribuição Gama
? 1
? 2
? 4
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A Distribuição Gama

• A função DISTGAMA do MS Excel retorna a
  distribuição Gama. Sua sintaxe é a seguinte
• DISTGAMA(xalfabetacumulativo)
• x   é o valor no qual se deseja avaliar a
  distribuição.
• alfa   é o parâmetro da distribuição.
• beta   é um parâmetro da distribuição.
• cumulativo   é um valor lógico que determina a
  forma da função. Se cumulativo for VERDADEIRO,
  DISTGAMA retornará a função de distribuição
  cumulativa se for FALSO, retornará a função
  densidade de probabilidade.

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A Distribuição Gama

• Exemplo 4 Em um banco, a perda (severidade) em
  caso de fraude obedece uma distribuição Gama com
  parâmetros ? 1 e ? 2000. Calcule a
  probabilidade de ocorrer uma fraude com perda
  superior a R 10.000.
• Solução Seja X o valor da perda em caso de
  fraude, então

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A Distribuição Gama

• Se x1, x2, , xK, é uma amostra aleatória de uma
  v.a. X com distribuição Gama então as estimativas
  de ? e ? são (método dos momentos)
• onde

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VaR Operacional

• O VaR sintetiza a perda máxima esperada, medida
  em valores monetários, dentro de determinado
  intervalo de tempo e dada uma probabilidade de
  ocorrência. Portanto, devemos sempre associar
  esta medida a
• uma moeda (valor monetário).
• um intervalo de tempo (quando devemos notar a
  perda).
• uma probabilidade (com que freqüência a perda
  será notada).

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VaR Operacional

• Em virtude do grande sucesso e da plena aceitação
  do VaR por parte do mercado, novas métricas para
  quantificação de outros riscos foram
  desenvolvidas tendo como base o conceito de VaR.
  Entre essas novas métricas, podemos citar
• CFaR (Cash Flow at Risk).
• EaR (Earning at Risk).
• VaRREP (VaR Reputational).
• VaR OR (VaR Operacional Risk).

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VaR Operacional

• Para calcular o VaR OR devemos empregar o MDP
  para agregar a freqüência e a severidade dos
  eventos operacionais. Geralmente, a distribuição
  das perdas operacionais não pode ser obtida
  analiticamente, logo alguma técnica de simulação
  deve ser usada.
• Para entender como o MDP funciona, estudaremos um
  exemplo hipotético. As transparências a seguir
  apresentam dados de freqüência e severidade de
  perda com pagamentos de juros a terceiros por
  atraso na liquidação de transações na tesouraria
  de um banco.

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VaR Operacional

• Freqüência das perdas

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VaR Operacional

• Intensidade das perdas

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VaR Operacional

• A primeira tabela mostra que ocorreram 59 eventos
  de risco operacional a uma média de dois por dia.
  Em apenas 4 dias o banco não sofreu perdas com
  juros pagos a terceiros.
• A segunda tabela mostra uma perda média diária de
  R 152.244 e uma perda total de R 8.982.369 no
  período considerado. No pior dia (22/ago) o banco
  teve sete pagamentos por não liquidação, o que
  gerou uma perda total nesse dia de R 2.550.708.

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VaR Operacional

• Teste gráfico para ajustar a distribuição de
  freqüência

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VaR Operacional
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VaR Operacional

• Para calcular o VaR OR é comum usar uma técnica
  conhecida como simulação de Monte Carlo.
• O primeiro passo consiste em gerar uma série de
  cenários para a freqüência das perdas. Admitindo
  uma distribuição de Poisson com parâmetro ?
  1,97, podemos empregar a Ferramenta de Análise
  Geração de Número Aleatório do MS Excel para
  produzir uma amostra aleatória de tamanho 10.000
  oriunda de uma Poisson com parâmetro ? 1,97.

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VaR Operacional
Menu Ferramentas, opção Análise de Dados
Caixa de diálogo Geração de Número Aleatório
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VaR Operacional

• Em seguida, devemos simular cenários de
  severidade das perdas para cada evento de perda
  gerado no passo anterior. Por hipótese,
  admitiremos que a severidade das perdas obedece
  uma distribuição Gama.
• Para estimar os parâmetros da distribuição Gama,
  a partir dos dados coletados, podemos empregar o
  método dos momentos

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VaR Operacional
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VaR Operacional

• O MS Excel não possui uma função ou ferramenta
  para geração de números segundo uma distribuição
  Gama. No entanto, podemos empregar a função
  INV.GAMA e a função ALEATÓRIO() para realizar
  essa tarefa, basta fazer
• A função ALEATÓRIO() gera uma número aleatório
  entre 0 e 1. A função INVGAMA retorna o inverso
  da distribuição cumulativa Gama.

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VaR Operacional

• As sintaxe dessas funções são as seguintes
• INVGAMA(probabilidadealfabeta)
• probabilidade   é a probabilidade associada à
  distribuição gama.
• alfa   é um parâmetro da distribuição.
• beta   é um parâmetro da distribuição.
• ALEATÓRIO( )

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VaR Operacional

• Resultado da simulação

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VaR Operacional

• Para calcular o VaR OR basta tomar o percentil da
  coluna Perda Dia correspondente ao nível de
  confiança adotado. A função PERCENTIL do Ms Excel
  retorna o percentil de uma série de dados. Sua
  sintaxe é a seguinte
• PERCENTIL(matrizk)
• matriz  é a matriz ou intervalo de dados que
  define a posição relativa.
• k  é o valor do percentil no intervalo 0..1,
  inclusive.

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VaR Operacional

• O VaR OR para diversos níveis de confiança é

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VaR Operacional

• No exemplo anterior os dados foram ajustados as
  distribuições de Poisson (freqüência) e Gama
  (severidade) por um procedimento gráfico. Na
  prática, para ser mais preciso, deve ser
  empregado algum teste de aderência. Os mais
  comuns são
• Qui-quadrado.
• Kolmogorov-Smirnov.
• Anderson-Darling.
• Cramer-Von Mises.

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VaR Operacional

• Uma questão interessante que surge no cálculo VaR
  OR é Como incorporar a correlação existente
  entre perdas operacionais ? Por exemplo, uma
  falha em um equipamento elétrico pode afetar
  diversos setores. Então como tratar a dependência
  entre esse eventos ?
• Uma solução consiste em estender o raciocínio
  apresentado aqui e trabalhar com v.a.s de
  Poisson correlacionadas. Uma boa referência para
  esse assunto é Powojowski et al (2002).

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Referências

• Basel Committee on Banking Supervision (2003),
  Overview of The New Basel Capital Accord.
• Cruz, M. G. (2002) Modeling, Measuring and
  Hedging Operational Risk. Chichester John Wiley
  Sons, Ltd.
• Duarte Jr., A. M. Varga, G. (2003) Gestão de
  Riscos no Brasil. Rio de Janeiro Financial
  Consultoria.
• Embrechts, P. (2000) Extremes and Integrated
  Risk Management. London Risk Publications.

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Referências

• Guimarães, T. A. (2003) Implementação do Método
  de Distribuição de Perdas para Risco
  Operacional. Dissertação de Mestrado FEA/USP.
• Powojowski, M. R. Reynolds, D. Tuenter, H. J.
  (2002) Dependent Events and Operational Risk.
  Algo Research Quarterly.
• JORION, P. (2001) Value at Risk The New
  Benchmark for Controlling Market Risk, 2a ed.
  New York McGraw-Hill.

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CreditRisk

• Esse modelo foi desenvolvido pelo Credit Suisse
  Financial Products (CSFP) em 1997 e está baseado
  na abordagem atuarial. O modelo procura
  estabelecer medidas de perda esperada com base no
  perfil de sua carteira de empréstimos ou títulos
  e no histórico de inadimplência.
• O número de inadimplências em um determinado
  período é modelado por uma distribuição de
  Poisson.
• Se X é uma v.a. com distribuição de Poisson de
  parâmetro ? então a probabilidade de X ser igual
  a k, onde k é um inteiro não negativo, é

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CreditRisk

• Por exemplo, se ocorrem em média 3 inadimplências
  em um mês, então as probabilidades de nenhuma
  inadimplência em um mês e de três inadimplências
  em um mês são
• Conhecendo a distribuição do no de inadimplências
  e as perdas esperadas das diversas operações é
  possível determinar o risco de crédito da
  carteira.

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CreditRisk

• Vejamos um exemplo. Suponha que um banco possua
  100 operações de empréstimos com exposição a
  perda de 20.000 (observe que esses empréstimos
  podem ter valores nominais diferentes pois o que
  importa é o valor da perda).
• Suponha também que a carteira possua histórico
  médio de inadimplência de 3. Logo a perda
  esperada é de 60.000 (3 x 100 x 20.000).
• Considerando que o intervalo de confiança
  desejado é de 99, a perda associada seria de
  160.000 (8 x 20.000), pois só no oitavo
  empréstimo é alcançada uma probabilidade
  acumulada de 99. Assim, a perda inesperada dessa
  carteira de crédito é de 100.000 ( 160.000 -
  60.000).

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CreditRisk