TEORIA DAS ELEI

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TEORIA DAS ELEIÇÕES

• Fundamentos e ensino da Álgebra

Trabalho realizado por Ana Sofia Conceição
Castanheira Catarina Soares Dias
Cláudia Maria Ferreira Sebastião José
Alberto Almeida Serra dos Santos
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• Introdução
• No mundo actual é frequente encontrar, em
  revistas e jornais, artigos relacionados com
  vários tipos de eleições
• Uma eleição é um processo pelo qual as sociedades
  ou grupos democráticos tentam resolver os
  muitos conflitos de opinião entre os seus membros
  através de uma única escolha do grupo, escolha
  essa feita através do voto
• O processo eleitoral divide-se em dois momentos,
  a votação e a contagem dos votos
• O cerne do processo democrático encontra-se na
  contagem dos votos, ou melhor ainda, na maneira
  como se descobre a voz colectiva de um grupo, a
  partir dos votos individuais de cada membro desse
  grupo
• O processo não é complicado quando se trata de
  escolher uma de entre apenas duas hipóteses
• A situação é muito diferente se a escolha
  envolver três ou mais alternativas pois não
  existe um processo razoável e totalmente justo,
  para a partir da votação obtida, retirar o
  vencedor da eleição. É daqui que surge a
  necessidade da existência de uma teoria das
  eleições

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• No capítulo um do nosso trabalho abordaremos os
  diferentes métodos de votação, desenvolvendo
  alguns aspectos teóricos ilustrados com muitos
  exemplos
• No capítulo dois teremos como objecto de estudo
  os sistemas de votação ponderada este assunto
  será desenvolvido de forma análoga ao capítulo
  anterior
• Numa sociedade democrática todas as pessoas são
  iguais - princípio uma pessoa - um voto
• Em qualquer sociedade diversificada e pluralista
  os eleitores, sejam eles pessoas, organizações ou
  instituições, não são iguais e é por vezes
  necessário reconhecer as suas diferenças,
  atribuindo diferentes pesos a cada um dos seus
  votos - princípio uma pessoa - x votos
• A qualquer arranjo formal no qual os eleitores
  não estejam em pé de igualdade no que respeita ao
  número de votos que controlam dá-se o nome de
  sistema de votação ponderada
• No capitulo três descreveremos, embora de forma
  sucinta, a forma como se processam os actos
  eleitorais em Portugal, com especial relevo para
  o método usado na conversão dos votos obtidos, no
  número de assentos parlamentares de dado partido
• No capítulo quatro faremos uma exposição acerca
  da forma como este tema, é hoje abordado no
  ensino secundário quais os objectivos e
  conceitos leccionados, qual o tipo de exercicíos
  e exemplos propostos e a maneira como
  contextualizam este assunto.

4
CAPÍTULO I MÉTODOS DE VOTAÇÃO
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• Condições de Arrow

Não à ditadura a preferência de um só indivíduo
não deve vir a ser uma classificação de grupo,
sem que sejam consideradas todas as outras
preferências individuais. Soberania individual
a cada indivíduo é permitido ordenar as escolhas
de qualquer maneira e este pode ainda indicar
empates. Unanimidade se cada indivíduo prefere
uma escolha a outra, a classificação de grupo
deve ser a mesma. Liberdade de alternativas
irrelevantes a classificação de grupo entre um
par de escolhas não depende das preferências
individuais relativamente ás restantes. Classific
ação única de grupo o método de produzir a
classificação de grupo deve levar a um único
resultado, sempre que é aplicado ao mesmo
conjunto de preferências. A classificação de
grupo também deve ser transitiva.
Arrow, Kenneth J. 1921-.
6
Teorema da impossibilidade de Arrow Para
eleições envolvendo mais do que dois candidatos é
matematicamente impossível encontrar um método,
democrático e justo, para determinar o vencedor.
Em suma, a imparcialidade, a justiça total e
consistente são impossíveis numa democracia.
7
Boletins de voto

• Os métodos que iremos estudar, têm por base
  eleições cujos boletins de voto são por ordem de
  preferências, ou seja, actos eleitorais em que é
  pedido ao eleitor para ordenar todos os
  candidatos pela sua preferência
• Uma forma lógica de organizar este tipo de votos,
  é agrupar os boletins que são idênticos e
  elaborar uma tabela de preferências, onde de uma
  forma simples e compacta se resume a quantidade
  de diferentes votos e a posição de cada
  candidato
• Existem dois tipos de boletins de voto por ordem
  de preferência.
• Existem duas particularidades a ter em conta
  quando trabalhamos com boletins de voto por ordem
  de preferência
• A transitividade da preferência individual
• Se um eleitor prefere A a B e B a C então
  segue-se automaticamente que este leitor prefere
  A a C
• A eliminação de candidatos
• A preferência relativa a um eleitor não é
  afectada pela eliminação de um ou mais
  candidatados.

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Método da pluralidade
O método da pluralidade é talvez o método mais
usual e simples para encontrar o vencedor de uma
eleição. Este método apresenta como vencedor de
uma eleição o candidato (ou candidatos em caso de
empate) que obtiver o maior número de colocações
em primeiro lugar. Neste método a única
informação retirada dos boletins de voto diz
respeito à escolha do primeiro lugar. Outro dado
relevante é o facto deste método ser uma
extensão natural do princípio da regra da
maioria numa eleição entre dois candidatos, o
que tiver maioria (mais do que metade) dos votos
vence. Este método caracteriza-se também por
satisfazer o critério da maioria e o de Pareto.
Critério da maioria Se numa eleição existe uma
opção que tem a maioria dos votos em primeiro
lugar, então essa opção deverá ser considerada a
vencedora da eleição.
pluralidade
maioria
pluralidade
maioria
9
Critério de Pareto Se relativamente a dois
candidatos X e Y todos os votantes preferirem X a
Y, então Y não deverá ganhar.
PARETO, VILFREDO 1848 - 1923
10
Lacunas do Método da Pluralidade

• Não tem em conta as restantes escolhas dos
  eleitores, para além da primeira.

• Transgride um princípio básico de justiça
  designado por critério de Condorcet.

CONDORCET, MARIE JEAN ANTOINE NICOLAS DE
CARITAT 1743-1794

• Critério de Condorcet
• Critério ganhador Se houver uma opção, a qual
  comparada par a par é sempre preferida pelos
  eleitores, então essa opção deverá ser
  considerada vencedora da eleição. Um candidato
  nesta situação designa-se por candidato
  condorcet.
• Critério perdedor Se houver uma opção que perde
  no confronto par a par com qualquer outra, então
  essa opção não deve ser a vencedora da eleição.

Outras das limitações da pluralidade é o facto de
poderem surgir votos estratégicos que possam
alterar os resultados. Uma votação é considerada
estratégica quando um eleitor muda a verdadeira
ordem das suas preferências no boletim de voto,
no sentido de manipular o resultado da eleição
contra um dado candidato.
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Método da contagem de Borda

• Neste método a cada posição da tabela de
  preferências é atribuída uma pontuação. Por
  exemplo, dada uma eleição com n candidatos
  distribuímos os pontos do seguinte modo
• 1 Ponto ao último lugar
• 2 Pontos ao penúltimo lugar
• .
• .
• .
• n Pontos ao primeiro lugar
• Depois soma-se os pontos de todos os candidatos e
  ordenam-se os mesmos de acordo com o número total
  de pontos obtidos por cada um. Sai vencedor o
  candidato que obtiver a pontuação máxima.
  
• Considera toda a informação que provém da ordem
  de preferências do eleitor, ao contrário do
  método da pluralidade que apenas valoriza a
  primeira opção do eleitor
• Satisfaz o critério de Pareto
• Satisfaz ainda o critério perdedor de condorcet

BORDA,JEAN CHARLES 1733-1799
12

• É ainda satisfeito o critério da monotonia.

Critério da monotonia Se a opção X vence numa
eleição e numa reeleição as únicas alterações,
nas preferências dos eleitores, são a favor de X,
então X deve permanecer o vencedor da eleição.
Lacunas do Método de contagem de Borda

• Viola o critério da maioria
• Transgride o critério ganhador de condorcet

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Método de Copeland

• O método de Copeland assenta no seguinte
  procedimento
• Compara-se cada candidato com cada um dos outros
• Associamos a cada candidato o valor G - número de
  candidatos que ele vence - e o valor L - número
  de candidatos que o venceu.
• Associamos a cada candidato o valor G L.
• Ganha o candidato para o qual G L é máximo.
• Neste método surgem empates frequentes

• Satisfaz o critério ganhador de Condorcet

• Entra em contradição com as contagens de Borda.

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Método da pluralidade com eliminação

• Este método consiste em eliminar
  progressivamente os candidatos menos aptos, um
  por um, até obter um vencedor.
• 1º Passo
• Tal como no método da pluralidade contam-se os
  votos em primeiro lugar de cada candidato
• Se houver algum candidato que tenha a maioria
  (pelo menos metade mais um) dos votos em primeiro
  lugar, esse candidato é considerado o vencedor
• Se não, elimina-se o candidato (ou candidatos
  no caso de empate) que tenha o menor número de
  votos em primeiro lugar
• 2º Passo
• O(s) candidato(s) eliminado(s) no passo
  anterior são agora excluídos da tabela de
  preferências
• Uma vez retirado da lista de preferências um
  candidato, na sua coluna, os candidatos abaixo
  colocados movem-se para cima um lugar. Contam-se
  novamente os votos em primeiro lugar
• Se houver algum candidato que tenha a maioria
  (pelo menos metade mais um) dos votos em primeiro
  lugar, esse candidato é considerado o vencedor
• Se não, elimina-se o candidato (ou candidatos
  no caso de empate) que tenha o menor número de
  votos em primeiro lugar
• O processo é repetido indefinidamente até haver
  um candidato com a maioria dos votos em primeiro
  lugar, o qual é considerado vencedor

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• satisfaz o critério da maioria.

Lacunas do Método da pluralidade com eliminação

• Transgride o critério da monotonia e o critério
  ganhador de Condorcet
• Apesar das lacunas apresentadas o método em
  questão é utilizado em diferentes situações do
  mundo real, sobretudo em eleições com número
  reduzido de candidatos (normalmente 3 ou 4 e
  raramente mais do que 6)

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Variantes do método da pluralidade com eliminação

• método da pluralidade com Runoff ( método da
  corrida final)
• método de Coombs

Método da pluralidade com Runoff

• 1º Passo
• Contam-se o número de votos em primeiro lugar e
  se porventura um deles obtiver a maioria, metade
  mais 1 dos votos é anunciado como vencedor da
  eleição.
• Se isto não acontecer eliminam-se todos os
  candidatos com a excepção dos dois que acumularem
  mais votos em primeiro lugar.
• 2º Passo
• Os candidatos eliminados no passo anterior são
  excluídos da tabela de preferências.
• Procede-se a uma nova contagem, sendo vencedor da
  eleição o candidato que obtiver a maioria dos
  votos em primeiro lugar.

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Método de Coombs

• Este método assemelha-se em tudo ao método da
  pluralidade com eliminação, mas neste eliminamos
  a cada passo o candidato com maior número de
  votos em último lugar.
• 1º Passo
• Contam-se os votos em primeiro lugar e os votos
  em ultimo lugar
• Se houver algum candidato que tenha a maioria
  (metade 1) dos votos em primeiro lugar, esse
  candidato é considerado o vencedor
• Se não, elimina-se o candidato (ou candidatos em
  caso de empate) que tem maior número de votos em
  ultimo lugar
• 2º Passo
• O(s) candidato(s) eliminado(s) no passo anterior
  são excluídos da tabela de preferências
• Se houver algum candidato que tenha a maioria
  (metade 1) dos votos em primeiro lugar, esse
  candidato é considerado o vencedor
• Se não, elimina-se o candidato (ou candidatos em
  caso de empate) que tem maior número de votos em
  último lugar.
• O processo é repetido indefinidamente até haver
  um candidato com a maioria dos votos em primeiro
  lugar, o qual é considerado vencedor

COOMBS, CLYDE F. 1912 - 1988
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O MÉTODO DA COMPARAÇÃO PAR A PAR

• O método da comparação par a par consiste em
  comparar todos os candidatos dois a dois.
• Dados dois candidatos X e Y, é atribuído numa
  comparação par a par, 1 ponto ao vencedor, que é
  o candidato que se encontra com melhor posição
  num maior número de colunas da tabela de
  preferências.
• Em situação de empate é atribuído ½ ponto a cada
  um dos candidatos.
• Será declarado vencedor da eleição o candidato
  que após terem sido realizadas todas as
  comparações par a par, obtiver maior número de
  pontos.
• Neste método é frequente ocorrerem casos de
  empate, ou se aceita a existência de mais do que
  um vencedor ou, caso contrário, usa-se um método
  pré-determinado de desempate.
• É satisfeito o critério ganhador de Condorcet
• Satisfaz o critério da maioria
• Satisfaz também o critério da monotonia

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Lacunas no método da comparação par a par
O método da comparação par a par não satisfaz um
princípio básico de justiça designado por
critério da independência.
Critério da independência Se um candidato X é o
vencedor de uma eleição e um ou mais dos outros
candidatos é removido, sendo os boletins de voto
contados de novo, então X continua a ser o
vencedor da eleição.
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RANKINGS
Métodos de Ranking extensivos ou alargados
Métodos de Ranking recursivos
Métodos de Ranking extensivos ou alargados

• Método da pluralidade alargado
• Segundo este método é eleito para a primeira
  posição do ranking o candidato que obtiver o
  maior número de colocações em primeiro lugar.
• A segunda posição do ranking será ocupada pelo
  candidato, que à excepção do candidato já eleito,
  obtiver o maior número de colocações em primeiro
  lugar.
• Por sua vez, a terceira posição do ranking será
  ocupada pelo candidato, que à excepção dos já
  eleitos, obtiver o maior número de colocações em
  primeiro lugar.
• E assim sucessivamente.

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Método da contagem de Borda alargado

• A cada candidato está associado um número de
  pontos, sendo o candidato eleito o que obtiver um
  maior número de pontos. Logo o ranking será
  elaborado em função dessa pontuação, ou seja, a
  posição do ranking aumenta à medida que os pontos
  também aumentam.

Método da pluralidade com eliminação alargado

• O primeiro candidato que é eliminado ocupará a
  ultima posição, o segundo candidato eliminado,
  será por sua vez, colocado no penúltimo lugar do
  ranking e assim sucessivamente até ser colocado
  na primeira posição o último candidato a ser
  eliminado.

Método de comparação par a par alargado

• A base para se elaborar o ranking com recurso a
  este método, é o número de comparações par a par
  ganhas por cada candidato, isto é, o número de
  pontos que cada um ganhou após essa comparações.
• Portanto, aquele que mais comparações tiver ganho
  será o candidato a ocupar a primeira posição do
  ranking, seguindo-se o candidato, que à excepção
  do candidato já colocado, ganhou mais
  comparações. E assim sucessivamente até obter o
  ranking de todos os candidatos.

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Métodos de ranking Recursivo

• Considerando que numa dada eleição, é utilizado o
  método X e a aproximação recursiva para elaborar
  o ranking de candidatos, este é obtido seguindo
  os seguintes procedimentos
• Começamos por aplicar o método X de forma a
  encontra o vencedor da eleição ocupando este o
  primeiro lugar do ranking
• De seguida, este é retirado da lista de
  preferências, sendo desta forma obtida uma nova
  lista
• A esta é aplicado o mesmo método X para
  determinar o vencedor, ocupando este o segundo
  lugar do ranking
• E assim sucessivamente até estarem ordenados
  todos os candidatos da eleição.

23
CAPÍTULO II MÉTODOS DE VOTAÇÃO COM PESO
24
Terminologia e notação

• Em todo o sistema de votação ponderada intervêm
  três elementos
• Os Jogadores, que são os próprios eleitores. De
  agora em diante usaremos o termo eleitores
  quando se trata de um sistema de votação uma
  pessoa - um voto e o termo jogadores quando nos
  referimos a um sistema de votação uma pessoa - x
  votos. O número de jogadores será designado pela
  letra N e os respectivos jogadores por P1, P2,
  ... , PN
• O Peso dos seus votos, que consiste no número de
  votos que cada jogador possui e que é
  representado por W1, W2, ... , WN,
  respectivamente.
• Quota, que consiste no número mínimo de votos
  necessário para aprovar uma moção
• ( proposta apresentada para ser discutida em
  assembleia ). Representamos quota pela letra q.

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• Ditadores Jogadores que possuem um peso de voto
  superior ou igual à quota
• Jogadores Neutros Os que ficam submetidos aos
  ditadores
• Jogador com poder de veto é aquele que, apesar
  de não ser ditador mas tendo maior número de
  votos que qualquer um dos outros, tem o poder de
  impedir que uma moção seja aprovada
• Mesmo que todos os outros jogadores votem juntos
  nunca conseguirão aprovar uma moção contra a
  vontade deste jogador, dado que não têm votos
  superiores à quota.
• A notação usada para representar um sistema de
  voto com peso é a seguinte
• q W1, W2, ... , WN

26
O Índice de Poder de Banzhaf

• Conceitos fundamentais
• Coligação grupo de jogadores que unem forças e
  votam em conjunto ( a expressão coligação é
  também usada para grupos de um só elemento )
• Peso da coligação número total de votos
  controlados por uma coligação
• Coligações vencedoras coligações que têm votos
  suficientes para aprovar uma moção. As outras
  coligações são designadas por coligações
  perdedoras. Uma coligação que contém todos os
  jogadores e portanto que é sempre a vencedora, é
  chamada Grande Coligação
• A notação usada para representar uma coligação
  genérica de N jogadores é
• P1, P2, ... , PN .
• Jogador crítico jogador que ao abandonar a
  coligação, transforma uma coligação vencedora
  em perdedora.
• O princípio chave desta teoria é que o poder de
  um jogador é proporcional ao número de coligações
  em que esse jogador é crítico quanto mais vezes
  ele for crítico maior poder detém.

John Banzahaf
27

• Para determinarmos o indicador de poder de
  Banzhaf de um qualquer jogador P num sistema de
  votação ponderado, genérico, com N jogadores,
  seguimos os seguintes passos
• Passo 1 Fazer uma lista de todas as coligações
  possíveis
• Passo 2 Determinar quais as coligações
  vencedoras
• Passo 3 Em cada coligação vencedora identificar
  os jogadores críticos
• Passo 4 Contar o número total de vezes que o
  jogador P é crítico ( seja esse valor
  representado por B)
• Passo 5 Contar o número total de vezes que todos
  os jogadores são críticos (seja este número T)
• O índice de poder de Banzhaf do jogador P é dado
  pela fracção

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Quantas coligações seriam possíveis formar com N
jogadores?
A resposta a esta questão assenta nas noções de
conjunto e subconjunto. Todo o subconjunto do
conjunto dos jogadores pode ser identificado como
uma coligação à excepção do conjunto
vazio. Assim deduzimos que podemos obter o
número total de coligações fazendo a diferença
entre o número de subconjuntos do conjunto dos
jogadores e a unidade. Matematicamente
Número total de subconjuntos de um conjunto com N
elementos




- 1 2
- 1
Conjunto Vazio
29
APLICAÇÕES DO ÍNDICE DE PODER DE BANZHAF
30
O ÍNDICE DE PODER DE SHAPLEY-SHUBIK
A principal diferença entre os dois índices
apresentados, centra-se em torno do conceito de
coligação sequencial, e além disso, as coligações
são formadas por todos os jogadores. Três
jogadores, P1,P2,P3 formam seis coligações
sequenciais distintas lt P1, P2, P3 gt (
significa que P1 iniciou a coligação
juntando-se-lhe o jogador P2 e por fim o jogador
P3 ) lt P1, P3, P2 gt lt P2, P1, P3 gt lt P2, P3, P1
gt lt P3, P1, P2 gt lt P3, P2, P1 gt A seguinte
notação lt gt será um indício que se está a
trabalhar com coligações sequenciais, isto é, com
coligações onde nos interessa a ordem de listagem
dos jogadores.
Num sistema de voto ponderado com N jogadores, há
no total N! coligações sequenciais diferentes
contendo todos os jogadores.
31

• Jogador pivotal Jogador que ao juntar-se a uma
  coligação perdedora, a torna vencedora.
• O poder de cada jogador depende do número de
  vezes em que ele é pivotal relativamente a todos
  os outros jogadores.

Coligação sequencial
Ganha
Perde


Primeiro Jogador Segundo Jogador Jogador Pivotal Restantes Jogadores
32
O ÍNDICE DE PODER DE SHAPLEY-SHUBIK

• Passamos agora a apresentar a descrição formal do
  procedimento para encontrar o Índice de Poder de
  Shapley- Shubik para qualquer jogador num sistema
  de voto ponderado genérico com N jogadores
• Passo 1 elaborar uma lista de todas as
  coligações sequenciais contendo os N jogadores
  há N! destas coligações.
• Passo 2 Em cada coligação sequencial determinar
  um jogador pivotal há 1 em cada coligação.
• Passo 3 Contar o número total de vezes em que o
  jogador P é pivotal e designar esse número por S.
• O Índice de Poder de Shapley- Shubik de um certo
  jogador P é dado pela fracção S/N!

33
APLICAÇÕES DO ÍNDICE DE PODER DE SHAPLEY-SHUBIK
34
CAPÍTULO IV TEORIA DAS ELEIÇÕES NAS ESCOLAS
35

• Hoje em dia os conceitos matemáticos são
  desenvolvidos mais numa "perspectiva cultural" do
  que numa perspectiva de "formação estritamente
  técnica".
• Seguidamente apresentamos a forma como é exposta
  a teoria matemática das eleições na escola.
• De entre os vários sistemas de votação
  existentes, são apenas seleccionados para
  exposição lectiva os seguintes
• Maioritário
• Por ordem de preferência ou preferencial
• Proporcional
• Aprovação.
• Sistema Maioritário
• é feita a distinção entre maioria absoluta e
  maioria simples
• são expostos alguns exemplos que permitem ao
  aluno verificar que os resultados de uma votação
  podem ser diferentes, dependendo do sistema de
  votação utilizado
• são feitas referências históricas do estudo desta
  teoria, nomeadamente a Condorcet e a Kenneth
  Arrow

36

• é referido que a regra da maioria não avalia a
  intensidade das preferências pois cada indivíduo
  só tem direito a um voto não considera, por
  isso, os interesses das minorias.
• Sistema por ordem de preferência ou preferencial
• É definido este tipo de sistema
• Abordam-se alguns métodos tais como o método de
  Borda, o método de Runoff.
• são apresentados alguns exemplos
• são feitas ainda algumas referências históricas.
• Sistema Proporcional
• Define-se este tipo de sistema

37

• É apresentado o Método de Hondt da seguinte forma

1º passo Apura-se em separado o número de votos
recebidos por cada lista no
respectivo círculo eleitoral. 2º passo O
número de votos apurados por cada lista é
dividido, sucessivamente, por 1, 2, 3, 4, 5, ...
até ao número de mandatos a atribuir (se
necessário) sendo os quocientes alinhados pela
ordem decrescente da sua grandeza numa sequência
de tantos termos quantos os mandatos atribuídos
ao círculo eleitoral respectivo 3º passo Os
mandatos pertencem às listas a que correspondem
os termos da sequência estabelecida pela regra
anterior, recebendo cada uma das listas tantos
mandatos quantos os seus termos na
sequência  4º passo No caso de restar um só
mandato para distribuir e de os termos seguintes
da sequência serem iguais e de listas diferentes,
o mandato cabe à lista que tiver obtido menor
número de votos.
Hondt

• são apresentados alguns exemplos

38

• são feitas ainda referências históricas a Victor
  dHondt
• abordam-se também mais dois métodos
  proporcionais
• O Método Hagenbach-Bischof
• O Método de Sainte-Lague
• Sistema de Aprovação
• É descrito o sistema e são anunciadas algumas
  vantagens
• são apresentados também alguns exemplos
• É referido que numa eleição usando o Sistema de
  aprovação, a adição ou exclusão de candidatos ou
  alternativas não altera a pontuação total dos
  outros candidatos ou alternativas
• No final do capítulo, é finalmente referido o
  famoso Teorema de Arrow

39
FIM