3 - Equa

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3 - Equações Lineares de Segunda Ordem
Equações homogêneas com coeficientes
constantes. Uma equação diferencial de segunda
ordem tem a forma (d2/dt2) f (t, y, dy/dt)
1 onde f é alguma função dada. A equação 1 é
dita linear se a função f tem a forma f(t, y,
dy/dt) g(t) p(t)dy/dt q(t)y Isto é, se f é
linear em y e y. Deve-se notar que g, p e q
são funções da variável independente t, não
dependem de y.
2
Assim, a equação 1 pode ser escrita como y
p(t)y q(t)y g(t) ou comumente
escrita como P(t)y Q(t)y R(t)y
G(t), Se P(t) ? 0, p(t) Q(t) /
P(t), q(t) R(t) / P(t) e g(t) G(t)
/ P(t) Um problema de valor inicial consiste em
uma equação diferencial, como antes, junto com um
par de condições iniciais y(t0) y0 e
y(t0) y0 onde y0 e y0 são números
dados. Uma equação linear de segunda ordem é dita
homegênea se a função g(t) ou G(t) for igual a
zero para todo t.
3
Assim, P(t)y Q(t)y R(t)y 0. Vamos
considerar P, Q e R constantes. E assim, temos
ay by cy 0 2 onde a, b e c são
constantes dadas. Exemplo 1 Resolva a equação
y y 0. Temos neste caso a 1, b 0 e
c - 1. Isto significa procurar uma função cuja
derivada segunda é igual a ela mesma. Facilmente
identificamos que y1(t) e t e y2 (t) e
-t servem. Também servem c1 y1 (t) c1 e
t e c2 y2 (t) c2 e -t E mais y
c1 y1 (t) c2 y2 (t) c1 e t c2 e -t , para
c1 e c2 quaisquer.
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A equação 2 pode ser escrita na forma
algébrica ar2 br c 0 3 fazendo y
r2, y r e y 1 r0 respectivamente.
Esta equação é chamada de equação característica.
O fato é que se r é raiz da equação polinomial
3, então y e rt é solução da equação
diferencial 2. Supondo que r1 e r2 são
raizes distintas de 3, então y1(t) e r1t
e y2(t) e r2t são duas soluções da
equação diferencial ou como no exemplo anterior,
y c1 y1(t) c2 y2(t) c1e r1t c2e r2t
que também é solução da equação dada.
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Exemplo 2 Encontre a solução da equação y y
2y 0. Nesta caso, a equação característica é
r2 r 2 0, (r1)(r-2) 0, r1 -
1 e r2 2. Logo, y c1 e t c2 e
2t Exemplo 3 Resolva a equação diferencial y
5y 6y 0,
com y(0) 2 e y(0) 3. A
equação característica é r2 5r 6 0, (r
2)(r 3) 0. Logo y c1e - 2t c2e - 3t.
Pela primeira condição, temos y(0) 2 c1
c2 Pela segunda condição, y(0) - 2c1e
2x0 3c2e - 3x0 3 -2c1 3c2
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Logo c1 c2 2 -2c1 3c2
3 Donde c2 - 7 e c1
9. Assim y 9e 2t - 7e 3t Para uma
equação de segunda ordem, sem a variável
independente, da forma y f(t, y), a
substituição v y e v y leva a uma
equação de primeira ordem da forma v f(t,v).
Se ela puder ser resolvida em v, então y pode ser
encontrada integrando-se dy / dt v. Exemplo 4
Resolva a equação y y e t. Fazendo v
y, v y, temos v v e t.
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• Tomando a função integrante ? (t) e t,
• temos
• e t v v e t e -t e t ou
  ( e t v ) 1
• e t v t c1 ? v te -t c1 e -t
• Ora, como dy/dt v te -t c1 e -t ,
  temos, por partes
• te -t dt, u t, du dt, dv e -t dt,
  v - e t,
• Logo,
• y ? te -t dt c1 ? e -t dt
• - te -t - ? -e -t dt c1e -t
• - c1e -t c2 te -t e t
• y c1e -t c2 te -t

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Soluções fundamentais de equações lineares
homogêneas
Definimos o operador diferencial L por
L? ? p ?
q ? onde p e q são funções contínuas em I. O
valor de L? em t é dado por L?(t) ?(t)
p(t) ?(t) q(t) ?(t). O operador L é
normalmente usado como L D 2 pD q,
onde D é o operador derivada. Usando y para
representar ?(t), temos Ly y p(t) y(t)
q(t) y 0 e as condições y (t0) y0 e
y (t0) y0.
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Teorema Considere o problema de valor inicial
y p(t) y(t) q(t) y g(t), y (t0) y0,
y (t0) y0 onde p , q e g são funções
contínuas em um intervalo aberto I. Então, existe
exatamente uma solução y ?(t) desse problema e
a solução existe em todo intervalo I. Exemplo
Encontre o maior intervalo no qual a solução do
problema (t2 3t) y t y (t 3) y 0,
y (1) 2, y (1) 1, certamente
existe. Solução Calculando a forma do teorema
acima, temos p(t) 1 / (t-3), q(t) - (t3) /
( t 2 3t) e g(t) 0. Os pontos de
descontinuidade são t 0 e t 3. Logo o maior
intervalo contendo a condição inicial t 1 é
0 lt t lt 3.
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Teorema Se y1 e y2 são soluções da equação
diferencial Ly y p(t) y q(t) y
0, então a combinação linear c1y1 c2y2 também
é solução , quaisquer que sejam os valores das
constantes c1 e c2 . Teorema Suponha que y1 e
y2 são duas soluções de Ly y p(t)
y q(t) y 0 e que o wronskiano w y1y2
- y1y2 não se anule no ponto t0, onde são
dadas as condições iniciais y (t0) y0, y
(t0) y0. Então, existe uma escolha das
constantes c1 e c2 para os quais y c1y1(t)
c2y2(t) satisfaz a equação diferencial acima e
as condições iniciais y (t0) y0, y
(t0) y0 .
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Teorema. Se y1 e y2 são duas soluções da equação
diferencial Ly y p(t) y q(t) y 0,
e existe um ponto onde o wronskiano de y1 e y2
é diferente de zero, então a família de soluções
y c1y1(t) c2y2(t) com coeficientes
arbitrários c1 e c2 , inclui todas as soluções da
equação acima. Teorema. Considere a equação
diferencial Ly y p(t) y q(t) y 0,
cujos coeficientes p e q são contínuos em algum
intervalo aberto I. Escolha algum ponto t0 em I.
Seja y1 a solução da equação acima que satisfaz,
também, as condições iniciais y(t0) 1 e
y(t0) 0, e seja y2 a solução da equação acima
que satisfaz as condições iniciais y(t0) 0 e
y(t0) 1. Então, y1 e y2 formam um conjunto
fundamental de soluções.
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Exemplo Determine o valor do Wronskiano do par
de funções y1 e 2t e y 2 e
3t/2. Solucão Como w y1 y 2 - y1 y 2
temos e 2t (- 3/2e 3t/2) - 2e 2t e 3t/2
-7/2 e t/2 Raízes complexas de equações
características Já vimos que a solução da
equação ay by cy 0, com a, b e c reais,
temos a equação característica ar2 br c 0
e se r1 e r2 são raizes, então y c1 e r1t
c2 e r2t . Porém, se as raízes forem complexas
denotamos por r1 ? i? e r2 ? - i?
onde ? e ? são reais. As representações
para y 1 e y 2 são y1 (t) exp(?
i?)t e y 2 exp(? - i?)t
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Fórmulas de Euler Do cálculo elementar, usando a
série de Taylor, temos para e t em torno de t
0,
Nos complexos, temos
Onde foram separadas as partes real e imaginária
observando os valores das potencias i 2 -1,
i 3 -i, i 4 1, etc. Note que a primeira
parte desta série é a série de Taylor para cos(t)
em torno de t 0 e a segunda é a série de Taylor
para sen(t) em torno de t 0.
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Logo e it cost i sent ou e -it cost
- i sent ou a fórmula generalizada de Euler
e i ? t cos(?t) i
sen(?t). Solução y c1 e?t cos(?t) c2 e?t
sen(?t), onde ? ? i são raízes da equação
característica. Exemplo Encontre a solução
geral da equação diferencial y y
0. Solução A equação característica é dada por
r2 1 0. Logo r ? i. Então y c1cost
c2sent, pois temos ? 0 e ? 1.
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Exemplo Encontre a solução do problema de valor
inicial dado por y 4y 0, y(0) 0 e
y(0) 1. Solução Temos a equação
característica r 2 4 0 que nos leva a
r ? 2i. Logo y c1cos(2t) c2sen(2t).
Então y(0) c11 c20 0 ? c1 0. Como
y - 2c1sen(2t) 2c2 cos(2t), temos y(0)
0 2c2 1 ? c2 1/2. Logo a solução é
y 0 ½ sen(2t) ½ sen(2t)
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Raízes repetidas Se as raízes forem
repetidas r1 r2 - b/2a, então y1 e bt
/ 2a e y2 te bt / 2a logo, se r1
r2 A solução geral é y c1 e r1t c2
te r1t Exemplo Encontre a solução geral da
equação ordinária y 2y y 0. Solução
Temos a equação característica r2 - 2r 1 0
e consequentemente r 1. Logo a solução é dada
por y c1 e t c2 te t
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Exemplo Determine a solução da equação
diferencial y 6y 9y 0, y(0) 0,
y(0) 2. Solução Temos a equação
característica r 2 - 6r 9 0, cujo
solução é dada por r1 r2 3. Assim, y c1
e 3t c2 te 3t Logo, y(0) c1 0 0 ?
c1 0 e y(0) 3c1 e 3t
3c2 te 3t c2 e 3t
3c1 c2 2 ? c2 2 Então, y 2
te 3t
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Equações não homogêneas método dos coeficientes
a determinar Dada a equação não
homogênea Ly y p(t)y q(t)y g(t)
onde p, q e g são funções contínuas em um
intervalo aberto I. A equação Ly y p(t)y
q(t)y 0 é chamada de equação homogênea
associada. Teorema Se Y1 e Y2 são duas
soluções da equação não homogênea acima, então
sua diferença Y1 - Y2 é uma solução da equação
homogênea associada. Se além disso, y1 e y2
formam um conjunto fundamental de soluções para a
equação homogênea, então Y1(t) - Y2(t) c1
y1(t) c2 y2(t), onde c1 e c2 são constantes
determinadas.
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Teorema A solução geral da equação não homogênea
dada poder escrita na forma y c1 y1(t) c2
y2(t) Y(t), onde y1 e y2 formam um conjunto
fundamental de soluções da equação homogênea
associada, c1 e c2 são constantes arbitrárias
e Y é alguma solução específica da equação não
homogênea. Nota Por este teorema, devemos fazer
3 coisas para resolver a equação não homogênea
dada. 1- Encontrar a solução geral c1 y1(t)
c2 y2(t) da equação homogênea associada (yh) 2
Encontrar uma única solução Y(t) da equação não
homogênea (yp) 3 Somar as duas funções
encontradas ( y yh yp).
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O método dos coeficientes indeterminados Este
método requer uma hipótese inicial sobre a forma
da solução particular Y(t), mas com os
coeficientes não especificados. Substitui-se,
então, a expressão hipotética na equação
diferencial e tentamos determinar os coeficientes
de modo que a equação seja satisfeita. Exemplo
Encontre uma solução particular de y 3y 4y
3e 2t Solução Procuramos uma função Y tal que
Y(t) 3Y(t) 4Y(t) seja igual a 3e
2t. Vamos supor Y(t) Ae 2t, onde A deve ser
determinado.
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Ora, Y(t) 2Ae 2t e Y(t) 4Ae
2t Logo 4Ae 2t - 6Ae 2t - 4Ae 2t
3e 2t -6A 3,
A - 0,5 Então, a solução particular é dada
por Y(t) - 0,5 e 2t

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Tabela de solução particular de ay by c
gi(t)
gi(t) Yi(t)
Pn(t) a0tn a1t(n-1) ... an ts (A0tn A1t(n-1) ... An)
Pn(t) e ?t ts (A0tn A1t(n-1) ... An) e ?t
Pn(t) e ?t sen(?t) cos(?t) ts (A0tn A1t(n-1) ... An) e?tcos(?t) ts (?0tn ?1t(n-1) ... ?n) e?tsen(?t)
Onde s denota o menor inteiro não negativo (s
0, 1, 2) que garanta que nenhuma parcela de Yi(t)
seja solução da equação homogênea correspondente.
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Exemplo Encontre a solução geral da equação
diferencial y 2y 3y 3e 2t. Solução Temos
então a equação característica r 2 2r 3 0
e consequentemente r1 3 e r2 -1 Logo
yh c1e 3t c2e t E a solução particular
é dada por y Ae 2t, y 2Ae 2t, y 4
Ae 2t 4 Ae 2t - 4 Ae 2t - 3 Ae 2t 3e 2t
ou A -1 e yp - e 2t Então, como y
yh yp, temos y c1e 3t c2e t - e 2t
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Exemplo Resolva a equação y y 2y
sen(2x) Solução Temos então a equação
característica r 2 r 2 0 e
consequentemente r1 2 e r2 -1 Logo
yh c1e - x c2e 2x E a solução particular
y y- 2y sen(2x) y A0 sen(2x) ?0
cos(2x), y 2A0 cos(2x) - 2?0 sen(2x) e y
- 4A0 sen(2x) - 4?0 cos(2x), Substituindo em y
y 2y sen(2x), temos A0 - 3/20 e ?0
1/20. Daí a solução y c1e - x c2e 2x
(3/20) sen(2x) (1/20) cos(2x)
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Teorema. Se as funções p, q e g são contínuas em
um intervalo aberto I e se as funções y1 e y2
são soluções linearmente independentes da equação
homogênea associada à equação não homogênea y
p(t)y q(t)y g(t), então uma solução
particular desta função é
e a solução geral é y c1y1(t) c2y2(t)
Y(t) como visto antes.
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Equações de ordem mais alta Uma equação
diferencial linear de ordem n é uma equação da
forma P0(t)dny/dtn P1(t)d(n-1)y/dt(n-1) ...
Pn-1(t)dy/dt Pn(t)y G(t) Supondo que P0, P1 ...
Pn e G são funções reais e contínuas
definidas em algum intervalo I ? lt t lt ?, e
que P0 nunca se anula nesse intervalo, então
dividindo por P0(t), temos Ly dny/dtn
p1(t)d(n-1)y/dt(n-1) ... pn-1(t)dy/dtpn(t)y
g(t) Pode-se esperar que para se obter uma única
solução, será necessário especificar n condições
iniciais y(t0) y0, y(t0) y0, y(t0)
y0 ... y(n-1)(t0) y(n-1)0 Onde t0
pode ser qualquer ponto de I.
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Teorema Se as funções p1, p2, ..., pn e g são
contínuas em I, então existe exatamente uma
solução y ?(t) da equação diferencial Ly
que também satisfaz as condições iniciais dadas.
Essa solução existe em todo o intervalo
I. Exemplo Resolver a equação diferencial y
6y 11y 6y 0. Solução Temos a seguinte
equação característica r 3 - 6r 2 11r 6 0
ou (r - 1)(r - 2)(r - 3) 0. Logo
as raízes são r1 1, r2 2 e r3
3. Assim y c1e t c2e 2t c2e 3t.
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Teorema. Se as funções p1, p2, ...., pn são
contínuas no intervalo aberto I, se as funções
y1, y2, ...., yn são soluções da equação
homogênea e se W(y1, y2, ...., yn )(t) ? 0
para, pelo menos um ponto t em I, então toda
solução da equação dada pode ser expressa como
uma combinação linear das soluções y1, y2, ....,
yn .
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Equação homogênea com coeficientes
constantes Seja a equação Ly a0yn a1y(n-1)
... a(n-1) y any 0, ai real. A solução,
similar ao de segunda ordem é Le rt e rt
(a0rn a1r(n-1) ... a(n-1) r an) e rt
Z(r), onde Z(r) a0rn a1r(n-1) ... a(n-1) r
an.. Assim podemos escrever a equação
característica na forma Z(r) a0 (r- r1) (r-
r2) (r- r3) . . .(r- rn). Se as raízes forem
reais e distintas, então temos n soluções
diferentes, cujo expressão geral é dada por y
c1e r1t c2e r2t ...cne rnt
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Exemplo Encontre a solução geral de y iv y
0, com as condições y(0) 7/2, y(0) 4,
y(0) 5/2 e y(0) - 2. Temos a equação
característica r4 -1 0 ou (r2 1)(r2 1)
0 Donde resulta r1 1, r2 - 1, r3 i
e r4 - i. Logo, y c1e t c2e -t
c3 cost c4 sent e com as condições y(0)
c1 c2 c3 0 7/2 y(0) c1 - c2 - 0
c4 4, y(0) -2 e y(0) -2 Resulta
c1 0, c2 3, c3 ½ e c4 - 1 e
consequentemente a solução y 3e -t (½)
cost - sent
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Exemplo Encontre a solução geral de yiv 2y
y 0 Neste caso temos a equação característica
r 4 2r 2 1 0 ou (r 2 1) (r 2 1) 0
cujas raízes são r i, i, - i, - i. Logo
y c1cos t c2 sen t c3 tcos t c4 tsen t.
O Método dos coeficientes indeterminados
Similar ao de segunda ordem. Exemplo Encontrar
a solução geral de y 3y
3y y 4et.
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Temos a equação característica r 3 - 3r 2 3r
1 0 (r - 1) 3. Logo a solução da equação
homogênea é y c1e t c2te t c3 t2 e
t. Para a solução particular Y(t), vamos supor
Y(t) Ae t. Como e t , te t e t2
e t são soluções da equação homogênea, temos
Y(t) A t3 e t . Assim, 6A e t 4 e t
donde A 2/3. Portanto, a solução particular
é Y(t) (2/3) t3 e t e Consequentemente
a solução geral y c1e t c2te t c3 t2 e t
(2/3) t3 e t