Retas

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Retas
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Equação Vetorial

• Sejam um ponto A(x1,y1,z1) e um vetor não nulo
  v(a,b,c)
• Teorema Existe somente uma reta r que passa por
  A e tem direção de v. Um ponto P(x,y,z) ? r se,
  e somente se, o vetor AP (x-x1,y-y1,z-z1) é
  paralelo a v, isto é AP tv, para todo t ? R

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Equação Vetorial

• Daí, P-A tv ou P A tv
• Ou em coordenadas
• (x,y,z) (x1,y1,z1)t(a,b,c) que é chamada de
  equação vetorial da reta r

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Exemplo

• Encontre a equação vetorial da reta que passa por
  A(1,-1,4) e tem a direção de v(2,3,2).
  Verifique também se o ponto P(5,5,8) pertence a
  esta reta

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Equações Paramétricas

• Sabemos que a equação vetorial da reta que passa
  por A(x1,y1,z1) e tem direção de v(a,b,c) é
• (x,y,z) (x1,y1,z1)t(a,b,c) ou ainda
• (x,y,z) (x1ta,y1tb,z1tc)

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Equações Paramétricas

• Usando a igualdade de dois vetores na expressão
  (x,y,z) (x1ta,y1tb,z1tc) temos as seguintes
  equações paramétricas

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Exemplo 2

• Dado o ponto A(2,3,-4) e o vetor v(1,-2,3)
  pede-se
• A) escreva as equações paramétricas da reta r que
  passa por A e tem a direção de v
• B) Encontrar dois pontos B e C de r de
  parâmetros t1 e t4 respectivamente

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Exemplo 2

• C) determinar o ponto de r cuja abscissa é 4
• D) verificar se os pontos D(4,-1,2) e E(5,-4,3)
  pertencem a r
• E) Determinar para que valores de m e n o ponto
  F(m,5,n) pertence a r

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Exemplo 2

• F) escrever outros dois sistemas de equações
  paramétricas de r
• G) Escrever equações paramétricas da reta s que
  passa por G(5,2,-4) e é paralela a r
• H) Escrever equações paramétricas da reta u que
  passa por A e é paralela ao eixo y

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Reta Definida por 2 Pontos

• A reta definida pelos pontos A e B é a reta que
  passa por A (ou B) e tem direção do vetor vAB

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Exemplo 3

• Escreva as equações paramétricas da reta r que
  passa por A(3,-1,2) e B(1,2,4)

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Equação Paramétrica de um Segmento de Reta

• Considere um segmento de reta cujos pontos
  extremos sejam A(x1,x2,x3) e B (y1,y2,y3).
  Assim as equações paramétricas do segmento de
  reta tendo por direção o vetor AB, são
• Para t ? 0,1

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Nota

• Quando t0 nas equações anteriores (x,y,z)A
• Quando t1 (x,y,z)B

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Equações Simétricas

• Das equações paramétricas tem-se
• Supondo que a ?0, b ?0 e c ? 0 tem-se

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(No Transcript)
16
Equações Simétricas

• Como, para cada ponto da reta corresponde um só
  valor de t obtemos igualdades

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(No Transcript)
18
Notas

• As equações do slide anterior são chamadas de
  equações simétricas da reta que passa por
  A(x1,y1,z1) e é paralela ao vetor (a,b,c)

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Exemplo

• Encontre as equações simétricas da reta que passa
  pelo ponto A(3,0,-5) e tem a direção do vetor
  v(2,2,-1)

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Equações Reduzidas

• Seja a reta r definida pelo ponto A(x1,y1,z1) e
  pelo vetor diretor v(a,b,c) as equações
  simétricas da reta são

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Equações Reduzidas

• A partir destas equações, pode-se expressar duas
  variáveis em função da terceira. Vamos isolar as
  variáveis y e z e expressá-las em função de x
• Estas duas últimas equações são chamadas equações
  reduzidas da reta

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Exemplo

• Dadas as equações reduzidas da reta ymxn,
  zpxq, encontre um vetor diretor

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Retas paralelas aos planos coordenados

• Uma reta é paralela a um dos planos x0y ou y0z se
  seus vetores diretores forem paralelos ao plano
  correspondente. Neste caso, uma das componentes
  do vetor é nula

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Exemplo

• Seja a reta r que passa pelo ponto
  A(-1,2,4) e tem o vetor diretor v(2,3,0)
• Note que a terceira componente de v é nula e a
  reta é paralela a x0y

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• Analogamente, uma reta r1 com vetor diretor do
  tipo v(a,0,b) é paralela a x0z e uma reta r2 com
  vetor diretor do tipo v(0,a,b) é paralela a y0z

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Retas paralelas aos eixos coordenados

• Uma reta é paralela a um dos eixos coordenados
  0x,0y ou 0z se seus vetores diretores forem
  paralelos a i(1,0,0), j(0,1,0) ou k(0,0,1)
• Neste caso, duas das componentes do vetor são
  nulas

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Exemplo

• Desenhe a reta que passa por A(2,3,4) e tem a
  direção do vetor v(0,0,3)

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Ângulo de duas retas

• Sejam as retas r1 e r2 com as direções v1 e v2,
  respectivamente
• Chama-se ângulo de duas retas o menor ângulo
  formado pelos vetores diretores
• Logo, sendo teta este ângulo tem-se

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• cos? (u . v) /( u v )
• Com 0lt ?lt pi/2

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Exemplo

• Calcule o ângulo entre as retas
• r1 x3t,yt,z-1-2t
• r2 (x2)/-2(y-3)/1z/1

31
Exemplo

• Verifique se as retas são ortogonais
• r1 y-2x1,z4x
• r2 x3-2t,y4t,zt

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Reta ortogonal a duas retas

• Sejam r1 e r2 duas retas não paralelas com
  vetores diretores v1 e v2 respectivamente
• Seja r uma reta com vetor diretor v de tal forma
  que r é ortogonal a r1 e r é ortogonal a r2

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• Assim, sabemos que v.v1 0 e v.v20
• Um vetor v que satisfaz o sistema anterior é dado
  por vv1 x v2

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• Definido, então, o vetor diretor v, a reta r
  estará determinada quando for conhecido um de
  seus pontos

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Exemplo

• Determinar a equações paramétricas da reta r que
  passa pelo ponto A(3,4,-1) e é ortogonal às
  retas
• r1(x,y,z)(0,0,1)t(2,3,-4)
• r2 x5, yt, z1-t

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Retas coplanares

• Duas retas r1 a1(x1,y1,z1),v1(a1,b1,c1) e
  r2a2(x2,y2,z2),v2(a2,b2,z2) são coplanares se
  os vetores v1, v2 e a1a2 forem coplanares, isto
  é, se v1,v2,a1a20

37
Exemplo

• Determine o valor de m para que as retas sejam
  coplanares
• R1ymx2,z3x-1
• R2xt,y12t,z-2t

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Posição Relativa de duas Retas

• Duas retas r1 e r2 no espaço podem ser
• Paralelas v1//v2 interseção r1 e r2 é vazia
• Concorrentes a interseção de r1 e r2 é I onde
  I é o ponto de interseção. Neste caso as retas
  tem que ser coplanares

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Posição Relativa de duas Retas

• Reversas não coplanares. Neste caso a interseção
  de r1 e r2 é vazia

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Exemplo

• Estudar a posição relativa das retas
• Primeiro caso
• R1y2x-3,z-x
• R2x1-3t,y4-6t,z3t
• Segundo caso
• R1x/2(y-1)/-1z
• R2x2-4t,y2t,z-2t1

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• Terceiro caso
• R1(x-2)/2y/3(z-5)/4
• R2x5t,y2-t,z7-2t
• Quarto caso
• R1y3,z2x
• R2xyz

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Interseção de duas retas

• Se duas retas se interceptam, elas são
  coplanares, isto é, estão situadas no mesmo
  plano. Neste caso, são ditas concorrentes
• Se duas retas não são coplanares, elas são ditas
  reversas. Supõe-se que as retas não são paralelas

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Exemplo

• Verifica se as retas r1 e r2 são concorrentes e,
  em caso afirmativo, determinar o ponto de
  interseção
• Primeiro caso
• r1y-3x2,z3x-1
• r2x-t,y12t,z-2t