Cosa sono

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Reti sociali
2
Cosa sono

• Una rete sociale e un grafo G (V, E) dove
• I nodi rappresentano entita, spesso persone o
  gruppi di persone
• Gli archi (pesati o meno) rappresentano relazioni
  tra i nodi della rete sociale
• Esempio grafo delle conoscenze
• Vertici persone
• Esiste arco tra a e b se a e b si conoscono
• Altri esempi nelle slide seguenti

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Esempio - commercio mondiale
4
Esempio - Internet
5
Esempio - catena alimentare
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Cosa hanno in comune?

• Grandi e complesse
• Regolarita, ma soltanto a livello macroscopico
• Componente gigante connessa
• Piccolo mondo distanza media tra i nodi bassa
• Grafi sparsi E o(V2)
• Aggregazione (v. piu avanti)
• Invarianza di scala
• Distribuzione del grado secondo legge di potenza

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Perche studiarle

• Comprendere le loro proprieta
• Aspetti ingegneristici e algoritmici
• Estrazione di informazioni
• Es. motori di ricerca
• Progetto di algoritmi efficienti
• Es. Web Caching
• Tolleranza ai guasti o agli attacchi

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Componente connessa

• Nelle reti considerate, la maggior parte dei nodi
  appartiene a ununica componente connessa
• Es. Web
• Matematicamente, una frazione costante dei nodi
  appartiene a ununica componente connessa

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Proprieta di piccolo mondo
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Piccolo mondo

• 1967 - studio di Milgram lunghezza media dei
  cammini in una rete di conoscenze
• Esperimento consegna di lettere a persone negli
  Stati Uniti a mano, sfruttando soltanto la rete
  delle conoscenze
• Distanza media d 6
• Numero di Erdös distanza dal matematico Paul
  Erdös nella rete delle collaborazioni
• 70975 matematici, 200000 archi
• d lt 8 per la maggior parte dei vertci a distanza
  finita
• Molti altri esempi

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Esperimento di Milgram

• Spedire 160 lettere a una persona residente a
  Boston
• Consegna a mano
• Non si conosce indirizzo del destinatario ma si
  hanno soltanto informazioni generiche (ad esempio
  la professione)
• Domanda dopo quanti passaggi una lettera giunge
  a destinazione?

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Esperimento di Milgram/2

• Circa un terzo delle lettere giunse a
  destinazione
• Si osservi che non si tratta di una bassa
  percentuale
• La maggior parte delle lettere arrivate non aveva
  subito piu di 6 passaggi

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Reti piccolo mondo WS98

• Grandi dimensioni (n gtgt 1)
• Sparse (grado medio k ltlt n)
• Non esiste un nodo centrale (kmax ltlt n)
• Coefficiente di aggregazione elevato
• Distanza media tra i nodi bassa, tipicamente
  O(log n)

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Esempi di reti piccolo mondo

• Internet
• La rete dei router
• La rete degli Autonomous Systems
• Il Web
• La rete delle conoscenze
• Tutti gli esempi visti allinizio
• Queste reti hanno altre proprieta oltre a quelle
  di piccolo mondo

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Clustering
Granovetter 73 la forza dei legami deboli

• I miei conoscenti probabilmente si conoscono
• ma alcuni hanno contatti con gruppi lontani

Picture by T. Deckert - TU Dreseden
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Clustering/2

• Si supponga che il nodo v abbia dv vicini. Il
  massimo numero di archi tra di essi si ha quando
  essi formano una clique --gt dv(dv - 1)/2 archi.
• Si supponga che invece sia nv il numero di archi
  tra i vicini di v
• Il coefficiente di clustering (aggregazione) di v
  e Cv 2nv/dv(dv- 1)
• C (1/n)?vCv

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Clustering/3

• C1 C2 C4 C5 1
• C3 1/6
• C (1/5)?iCi 5/6
• I nodi con un solo arco incidente hanno fattore
  di clustering 1

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Distanza media tra i nodi

• Assumiamo per il momento reti connesse
• La distanza media tra i vertici e O(log n),
  spesso sub-logaritmica
• Il coefficiente di clustering e alto (?(1))
• Come spiegare tali proprieta?

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Grafi casuali

• Modello classico proposto da Erdös e Renyi
• Modello probabilistico
• Si hanno n nodi
• Per ogni coppia u e v di nodi, larco (u, v)
  esiste con probabilita p indipendente da tutti
  gli altri
• Proprieta
• Per p sufficientemente grande, la maggior parte
  dei nodi si trova in una componente gigante
  connessa
• Il diametro e logaritmico ma
• Il coefficiente di clustering e basso (O(1/n))

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Modello di Watts e Strogatz WS98

• Si inizia con un anello di n nodi. Ogni nodo
  connesso ad altri k nodi
• Con probabilita p, ogni arco e riconnesso a una
  destinazione scelta casualmente in modo uniforme.
• Granovetter, The strength of weak ties

ordine
caos
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Modello WS/cont.

• Lobiettivo era mostrare che con meccanismi
  semplici e possibile ottenere una rete di tipo
  piccolo mondo
• Risultati
• Componente gigante connessa
• Distanza media tra nodi connessi O(log n)
• Coefficiente di clustering ?(1)

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Modello WS/clustering
Scala logaritmica in p

• Quando p 0
• C 3(k-2)/4(k-1) 3/4
• L n/k

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Modello di Kleinberg Kl. 99

• Lattice bidimensionale
• Si aggiungono q archi a ogni vertice u (shortcut)
• Il vertice v destinazione di uno shortcut e
  scelto con probabilita d(u,v)-r/
  ?w?ud(u,v)-r
• se r 0, si ha probabilita uniforme
• Nel seguito q 1

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Modello di Kleinberg/2

• Data una sorgente s e una destinazione t,
  definire un algoritmo per muovere un agente da s
  a t che
• conosce le posizioni dei nodi nella griglia
• conosce i vicini e gli shortcut del nodo in cui
  si trova
• ricorda i vicini e gli shortcut di tutti i nodi
  visitati
• Ad ogni passo diminuisce la distanza da t
• Si tenta di riprodurre lesperimento di Milgram
• La griglia modella una distribuzione geografica
  dei nodi

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Algoritmo

• Nel generico nodo v
• Scegli il vicino a distanza minima dalla
  destinazione
• Lalgoritmo usa soltanto uninformazione locale e
  la conoscenza della posizione dei nodi sul lattice

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Risultati

• Per r2, esiste un algoritmo locale che raggiunge
  la destinazione in un numero atteso di passi
  O(log2n).
• Se rlt2 un algoritmo locale richiede un numero
  atteso di passi ?(n(2-r)/3).
• Se rgt2 un algoritmo locale richiede un numero
  atteso di passi ?(n(r-2)/(r-1)).
• Nota numero atteso di passi sub-polinomiale
  soltanto per r2
• Risultato dovuto probabilmente ai limiti del
  modello

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Prova per r 2 e q 1

• Pu --gt v probabilita che u scelga v come
  shortcut
• Per ogni w, la distanza da u e compresa tra 1 e
  2n-2
• Vi sono non piu di 4j nodi a distanza j da u

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Prova per r 2 e q 1/cont.

• Fase j insieme dei passi durante i quali
  lagente si trova in nodi a distanza da t gt 2j e
  lt 2j1
• Lagente inizia al piu in fase log2n
• Ad ogni passo lagente si avvicina a t
• Occorre calcolare il numero medio EXj dei passi
  durante la j-esima fase
• Quando lagente lascia la fase j-esima e per
  entrare in una fase i lt j-1
• Elunghezza percorso ?jEXj

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Prova per r 2 e q 1 /cont.
Bj
t
u

• Se ci troviamo in un nodo u durante la fase j
• Psi lascia la fase j gt Psi entra in Bj
• Bj insieme dei nodi a distanza lt 2j da t

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Prova per r 2 e q 1 /cont.
Bj
t
u

• Bj contiene almeno 22j-1 nodi
• Ciascun nodo in Bj dista al piu 2j2 da u
• Quindi Psi entra in Bj gt 1/128ln(6n)

31
Prova per r 2 e q 1 /cont.

• Poiche vi sono O(log n) fasi abbiamo O(log2n)
  passi in media

32
Altre proprieta - grado
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Distribuzione del grado

• nodi con grado k
• P(k) k-a
• P(k) nodi con grado k
• a circa 2.1 per il Web
• Broder et al. 2000
• Regola dell 80/20
• Una modesta percentuale di nodi ha quasi tutti i
  link --gt Hub
• I ricchi diventano sempre piu ricchi

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Reti prive di scala
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Matematicamente

• Non vi e una scala privilegiata per osservare le
  proprieta macroscopiche della rete
• Nelle reti sociali linvarianza di scala si
  riferisce alla distribuzione del grado dei nodi
• Legge di potenza per distribuzione del grado
  entrante e/o uscente (es. il Web)

36
Modelli di reti sociali
37
Modelli di reti sociali

• Cosa sono
• Modelli per la generazione di grafi casuali
• Es. modello di Watts e Strogatz
• obiettivo riprodurre le proprieta osservate in
  pratica
• I modelli di Watts e Strogatz e di Kleinberg
  spiegano il fenomeno di piccolo mondo ma non
  altre proprieta
• Es. la distribuzione del grado dei nodi

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Meccanismi di base

• Attaccamento preferenziale
• Un nuovo nodo ha maggiore probabilita di
  connettersi ai nodi esistenti di grado piu
  elevato
• Esempio Chung et al. 2000 per il Web
• Per t 1, 2,
• Con probabilita 1-? si aggiunge un nuovo vertice
  con un link verso se stesso
• Con probabilita ? si aggiunge un nuovo arco. Se u
  e v sono due nodi della rete, PSi genera (u, v)
  dudv/ ?w,z dwdz
• La rete risultante e di tipo piccolo mondo
• La distribuzione del grado segue una legge di
  potenza con esponente 11/? quando t e
  abbastanza grande

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Esempio

• Si consideri il modello precedente e si supponga
  che ? 0.9 e che al tempo t la distribuzione del
  grado entrante sia approssimativamente una legge
  di potenza con parametro 11/?
• Stimare la probabilita che a t1 venga creato un
  nuovo link verso un nodo di grado x

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Esempio/cont.

• La distribuzione dipende anche da t, che stavolta
  e una variabile
• Se nuovo link verso un nodo di grado x allora
  A(x1, t1) A(x1, t) 1
• S(x, t) insieme dei nodi di grado x a t
• Si ricordi che si introduce nuvo link con prob. ?

41
Riferimenti

• M. E. Newman. The structure and function of
  complex networks.
• Buon lavoro di rassegna sulle reti sociali
• Sezioni I, II, III e VI
• http//citeseer.ist.psu.edu/newman03structure.html
  
• M. E. Newman. Models of the Small World
• Lavoro di rassegna sul modello di Watts e
  Strogatz e sue estensioni
• http//citeseer.ist.psu.edu/487139.html
• D. Watts and S. H. Strogatz. Collective dynamics
  of small-world networks. Nature, Vol. 393, pp.
  440 442, 1998
• Basta il lavoro di rassegna di Newman
• J. Kleinberg. The small-world phenomenon An
  algorithmic perspective.
• Il lavoro di Kleinberg sulla navigazione nelle
  reti sociali
• http//www.cs.cornell.edu/home/kleinber/nips14.ps