Crisi dei fondamenti

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Crisi dei fondamenti

• La nascita delle geometrie
• non-euclidee

2
Il metodo assiomatico classico
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Postulati 1-4

• Si può condurre una ed una sola retta da un
  qualsiasi punto ad ogni altro punto
• Una retta finita si può prolungare continuamente
  in linea retta
• Si può descrivere un cerchio con qualsiasi centro
  ed ogni raggio
• Tutti gli angoli retti sono uguali fra loro

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Il V postulato

• Se una retta, venendo a cadere su due rette,
  forma gli angoli interni e dalla stessa parte
  minori di due retti, allora le due rette
  prolungate illimitatamente vengono ad incontrarsi
  da quella parte in cui sono gli angoli minori di
  due retti

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Le anomalie del V postulato

• Il V postulato è utilizzato molto avanti nel
  testo
• La proposizione inversa è un teorema
• Con il V postulato le proposizioni 16 e 17
  diventano superflue

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Analisi della anomalie

• Proposizione 16 in un triangolo, se si prolunga
  uno dei lati, langolo esterno è maggiore di
  ciascun dei due angoli interni ed opposti

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• Proposizione 17 in ogni triangolo la somma di
  due angoli, comunque presi, è minore di due retti
  (oppure se due rette r ed s, tagliate dalla
  trasversale t, si incontrano, allora la somma
  degli angoli che formano con t dalla parte del
  punto di intersezione è minore di due retti
  inverso del V postulato)
• In genere, quando valgono sia una proposizione
  che la sua inversa, si riesce a dimostrare
  entrambe partendo dalle stesse premesse

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• Proposizione 27 se due rette r ed s formano con
  una trasversale t due angoli coniugati interni la
  cui somma è due retti, allora r ed s sono
  parallele
• Proposizione 29 se r ed s sono parallele, allora
  formano con una trasversale t angoli coniugati
  interni uguali (interviene il V postulato)
• Proposizione 32 in ogni triangolo, se si
  prolunga uno dei lati, langolo esterno è uguale
  alla somma dei due angoli interni ed opposti, e
  la somma dei tre angoli interni è uguale a due
  retti (interviene la proposizione 29)

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La terza anomalia

• Con la proposizione 32 le proposizioni 16 e 17
  diventano superflue

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Tentativi di dimostrare il V postulato

• Unicità della parallela per un punto esterno ad
  una data retta passa al più una retta che non
  incontra la retta data
• Postulato dellobliqua una perpendicolare ed
  unobliqua ad una stessa retta si incontrano
  dalla parte in cui lobliqua forma con la retta
  un angolo acuto

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Teoremi derivati dal V postulato

• La somma degli angoli interni dei poligoni
• La similitudine fra triangoli
• Il teorema di Pitagora e il suo inverso

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Lopera di Saccheri

• Ipotesi dellangolo acuto (CDltretto)
• Ipotesi dellangolo retto (CDretto)
• Ipotesi dellangolo ottuso (CDgtretto)

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La confutazione dellipotesi dellangolo ottuso

• Saccheri dimostra che nellipotesi dellangolo
  ottuso e in quella dellangolo retto vale il
  postulato dellobliqua
• Ipotesi dellangolo ottuso gt postulato
  dellobliqua gt V postulato gt ipotesi
  dellangolo retto
• Lipotesi dellangolo ottuso distrugge sé stessa

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Presunta confutazione dellipotesi dellangolo
acuto

• Per un punto esterno ad una retta data passano
  infinite rette che non intersecano la retta data
• Lipotesi dellangolo acuto è falsa perché
  ripugna alla natura della linea retta

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Geometria iperbolica

• Per un punto P esterno ad una retta data passano
  due rette che incontrano la retta data ad una
  distanza infinita senza intersecarla (rette
  parallele)
• Esistono infinite rette comprese fra quelle
  parallele che non incontrano la retta data (rette
  iperparallele)

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La geometria euclidea è unapprossimazione

• Le retta parallele formano con AB due angoli
  acuti uguali, detti angoli di parallelismo
• Si può dimostrare che lampiezza dellangolo è
  funzionale alla lunghezza di AB e viceversa
• Se AB tende a 0 langolo tende allangolo retto
• In zone piccole del piano iperbolico vale la
  geometria euclidea

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Triangoli iperbolici

• I lati sono determinati dagli angoli
• La somma degli angoli interni è minore di due
  retti e varia da triangolo a triangolo
• AK(2R-S) è determinata dagli angoli quindi è
  superiormente limitata Amaxk 2R

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Modello di Klein

• Si dimostra la coerenza della nuova geometria

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Modello di Poincaré

• Si elimina il difetto grafico

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Geometria sferica (ellittica)

• Corrisponde allipotesi dellangolo ottuso!

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Come si può accettare lipotesi dellangolo
ottuso?

• Per un punto esterno ad una retta data non
  passano rette parallele alla retta data
• Se viene negato solo il V postulato si crea una
  geometria contraddittoria
• Quindi per due punti passano almeno due rette
  (polo nord e polo sud)
• Le rette non hanno lunghezza infinita
• Modificando il primo e il secondo postulato si
  può costruire una geometria non contraddittoria

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Particolarità della geometria sferica

• La somma degli angoli interni di ogni triangolo è
  maggiore di due retti
• Tutte le rette hanno la stessa lunghezza finita
• Tutte le perpendicolari ad una stessa retta si
  incontrano in due punti
• In zone piccole della geometria sferica valgono
  le leggi di Euclide

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• La misura dei segmenti è determinata dagli angoli
  al centro della circonferenza

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Il metodo assiomatico moderno

• Distinzione fra sintassi e semantica
• È un procedimento ipotetico-deduttivo
• Necessita solo di correttezza formale, non di
  applicabilità nel mondo materiale
• I postulati non sono veri di per sé ma solo
  nellambito della teoria
• Ogni teoria, coerente e formalmente corretta,
  viene accettata

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Qual è la geometria vera?

• Poincaré questa domanda non ha senso. E come
  chiedersi se è vero lordinamento delle
  coordinate cartesiano o lordinamento di quelle
  geografiche. Non esistono geometrie vere o false,
  ma solo più comode o meno comode
• Sono più comode le geometrie non-euclidee per
  descrivere fenomeni fisici della relatività di
  Einstein
• Per lo studio del nostro sistema di riferimento è
  più comoda quella euclidea
• Comunque si giungerebbe alle stesse conclusioni

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La seconda rivoluzione scientifica

• Lo spazio come lo percepiamo noi non è più
  assoluto, come pensavano Euclide, Newton e Kant,
  ma varia da regione a regione delluniverso