I modelli matematici: osservazioni ed esempi

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I modelli matematici osservazioni ed esempi
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Compito del matematico puro?
PROVARE TEOREMI
Primo valore della matematica è FORNIRE uno
STRUMENTO per meglio CONOSCERE il MONDO FISICO
limportanza della matematica nei confronti della
scienza
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• i greci furono i primi a sostenere che
• luniverso
• è disegnato secondo rigide proprietà matematiche

• Galileo Galilei (1564-1642)
• la scienza deve cercare di fornire leggi
  quantitative

• dobbiamo osservare i fenomeni della natura
• proporre un modello matematico astratto che li
  descriva
• verificarne la validità
• dedurre proprietà del modello

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MODELLO della CRESCITA di una POPOLAZIONE

• Problema
• Costruire un modello matematico (cioe formulare
  una legge matematica) che spieghi come una
  popolazione (batteri, pesci, persone) si modifica
  nel tempo

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N(t)numero di individui di una certa popolazione
al tempo t
Dopo un tempo pari a Dt
N(t Dt) numero di individui
incremento
velocita di variazione della popolazione nel
tempo ?t
velocita istantanea di variazione della
popolazione ??t piccolo a piacere ? lim per ?t?0
di
Si ha la derivata di N(t) rispetto a t
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Thomas Malthus (1766-1834) prima ipotesi di
modello della dinamica di crescita di una
popolazione
velocita di crescita proporzionale alla
popolazione stessa
equazione differenziale ?soluzioni
N(t)N(0)ekt
e numero di Eulero2,7182818
Tre grafici di funzioni malthusiane ottenute
facendo variare la costante k
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Tabella della dinamica della popolazione USA
anno Popolazione effettiva Dati calcolati con la legge malthusiana (k0.301) Errore Errore
T0 1790 3.929.000 3.920.000 0 0
T1 1800 5.308.000 5.308.000 0 0
T2 1810 7.240.000 7.173.000 -67.000 -0.9
T3 1820 9.638.000 9.693.000 55.000 0.5
T4 1830 12.866.000 13.097.000 231.000 1.8
T5 1840 17.069.000 17.697.000 628.000 2.0
T6 1850 23.192.000 23.912.000 720.000 2.3
T7 1860 31.443.000 32.310.000 867.000 2.8
T8 1870 38.558.000 43.658.000 5.100.000 13.2
T9 1880 50.156.000 58.991.000 8.835.000 17.6
T10 1890 62.948.000 79.709.000 16.761.000 21.0
T11 1900 75.995.000 107.704.000 31.702.000 41.7
T12 1910 91.972.000 145.530.000 53.558.000 58.2
T13 1920 105.711.000 196.642.000 90.931.000 86.0
T14 1930 122.775.000 265.705.000 142.930.000 116.4
T15 1940 131.669.000 359.002.000 227.333.000 172.6
T16 1950 150.697.000 485.114.000 334.417.000 221.9
Dopo il 1860 lequazione malthusiana non
fornisce una previsione accettabile
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Tabella della stima della popolazione mondiale
Anno Popolazione mondiale prevista
2000 6.675.305.132
2100 49.324.204.000
2200 364.459.310.000
2500 147.033.380.000.000
3000 3.238.625.700.000.000.000
Essendo la superficie totale della terra
510.100.000.000.000 m2 una semplice divisione
mostra che nel 2500 sarebbero costretti a stare
quasi in piedi luno accanto allaltro !!
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Crescita in laboratorio del piccolo roditore
Microtus Arvallis(previsione con lequazione
malthusiana k0.4)
Mesi 0 2 6 10
Numero roditori 2 5 20 109
Numero roditori previsto 2 4.5 22.0 109.1
La stima malthusiana e accettabile
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Lipotesi malthusiana non è, in generale,
accettabile in particolare perche prevede sempre
una crescita indefinita
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Verhulst (1837) biologo matematico introdusse un
fattore correttivo
la velocita di crescita diminuisce quando la
popolazione aumenta
equazione logistica ?soluzioni
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Grafico della funzione logistica con N(0)10,
k0.3, h0.006
Notare la presenza dellasintoto N(t)k/h50
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Popolazione degli Usa nel periodo 1790-1950 e
dati calcolati con la legge di crescita
logistica
anno Popolazione effettiva Dati calcolati con la crescita logistica errore Errore percentuale
1790 3.929.000 3.929.000 0 0
1800 5.308.000 5.336.000 28.000 0.5
1810 7.240.000 7.228.000 -12.000 -0.2
1820 9.638.000 9.757.000 119.000 1.2
1830 12.866.000 13.109.000 243.000 1.9
1840 17.069.000 17.506.000 437.000 2.6
1850 23.192.000 23.192.000 0 0
1860 31.443.000 30.412.000 -1.031.000 -3.3
1870 38.558.000 39.372.000 814.000 2.1
1880 50.156.000 50.177.000 21.000 0.0
1890 62.948.000 62.769.000 -179.000 -0.3
1900 75.995.000 76.870.000 875.000 1.2
1910 91.972.000 91.972.000 0 0
1920 105.711.000 107.559.000 1.848.000 1.7
1930 122.775.000 123.124.000 349.000 0.3
1940 131.669.000 136.653.000 4.984.000 3.8
1950 150.697.000 149.053.000 -1.644.000 -1.1
Il modello appare ora sufficientemente
soddisfacente
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Applicazione dellequazione di crescita
Decadimento radioattivo
Questo fenomeno fu studiato agli inizi del secolo
dal fisico inglese Ernest Rutherford (1871-1937),
il quale mostrò che gli atomi di taluni elementi
godono di una proprietà (per la quale furono
chiamati "radioattivi") essi sono instabili e
cioè dopo un dato periodo di tempo una
proporzione fissa di essi si disintegra
spontaneamente formando gli atomi di un nuovo
elemento Rutherford mostrò che la
"radioattività" è una proprietà intrinseca di
questi elementi e che la intensità con cui si
manifesta è direttamente proporzionale al numero
di atomi della sostanza.
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Modello matematico per la datazione col Carbonio
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• (Come anche la matematica puo svelare i falsi)

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Walter F.Libby (chimico, p.Nobel) ideò alla fine
degli anni 40 uno dei metodi piu famosi e
semplici di datazione dei reperti

• Lazoto che si trova negli strati alti
  dellatmosfera, bombardato da
• raggi cosmici, dà luogo a 14C, un isotopo
  radioattivo del C.
• Il carbonio che viene normalmente fissato da
  piante e animali
• è caratterizzato da un rapporto costante
  14C/12C10-12.
• Quando un organismo cessa di vivere la
  concentrazione di 14C
• diminuisce perché non viene più assorbito mentre
  continua a decadere

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N(t)quantità di 14C nelloggetto da datare al
tempo t
N(0)quantità di 14C contenuta al tempo t0
Kcostante di decadimento radiattivo del 14C
N(t) è soluzione dellequazione
ovvero
R(t)velocità con cui avviene il decadimento
radioattivo
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Castello di Winchester tavola rotonda. E quella
di Re Artù?

• 1977 datazione con il 14C

se R(0)6.68 grammo/min e k1.245x10-4
anno-1 (legno vivo)
R(t) 6.08 grammo/min v. decadimento legno
La tavola rotonda è stata tagliata nel 1275!!
t 700 anni
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Ma Re Artù è vissuto nel VI secolo!!!