Circonferenza e cerchio

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Circonferenza e cerchio
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Definizione di circonferenza

• Si definisce circonferenza il luogo geometrico
  dei punti del piano equidistanti da un punto
  detto centro della circonferenza

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Definizione di cerchio

• Si definisce cerchio la porzione di piano
  racchiusa da una circonferenza

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Raggio

• Si definisce raggio di una circonferenza in
  segmento che unisce il centro con un qualsiasi
  punto della circonferenza

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Corda e diametro

• Si definisce corda qualsiasi segmento che unisce
  due punti della circonferenza
• Si definisce diametro una corda che passa per il
  centro della circonferenza
• È facile vedere che
• d 2r

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Rapporto fra circonferenza e diametro

• Il rapporto fra circonferenza e diametro è uno
  dei numeri che più ricorrono e non solo in
  matematica
• Si tratta di un numero che non può essere
  espresso come rapporto di numeri interi perciò
  appartiene alla categoria dei numeri irrazionali
• Abbiamo già trovato un numero di questo tipo
  quando abbiamo studiato i quadrati ricordate ..
  d/l v2
• Nel nostro caso abbiamo che

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Formule
C p x 2r
C p x d
Ma d 2 x r allora
Formule inverse
Circonferenza uguale a p greco per due volte il
raggio
Circonferenza uguale a p greco per il diametro
C
C
d
p
r
2 p
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problemi

• Trovare la lunghezza di una circonferenza sapendo
  che il suo diametro misura 12 cm
• c p x d
• c 3,14 x 12 cm 37,68 cm
• Una circonferenza misura 75,36 cm trovare il
  raggio
• r c/2p
• r 75,36 cm / (2 x 3,14) 75,36 / 6,28 12 cm
• Trovare la lunghezza di una circonferenza il cui
  raggio misura 15 cm
• c 2 x p x r
• c 2 x 3,14 x 15 cm 2,28 x 15 cm 94,2 cm
• Una circonferenza misura 72,22 cm trovare il
  diametro
• d c/ p
• d 72,22 cm / 3,14 23 cm

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Area del cerchio

• Consideriamo i seguenti poligoni regolari
• Un poligono a 6 lati
• Un poligono a 10 lati
• Un poligono a 24 lati
• La formula per calcolare larea di questi
  poligoni è sempre la stessa
• A (2P x a) 2 dove a è lapotema (celeste)
• 2P n x l (n numero dei lati l lato)
• Ogni poligono è inscritto in un circonferenza ed
  in rosso è mostrato il raggio
• Asserviamo cosa succede al poligono allaumentare
  del numero dei lati fissando prima la nostra
  attenzione sulla differenza fra poligono e
  circonferenza circoscritta

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Puoi osservare che allaumentare del numero dei
lati il poligono tende sempre di più ad
assomigliare ad una circonferenza tanto che già a
24 lati si fa fatica a distinguerli
Adesso fissiamo la nostra attenzione sul raggio e
sullapotema
Si nota che nella prima figura la differenza e
percettibile ma nellultima essa diventa
trascurabile
Se noi facciamo diventare infinito il numero dei
lati il poligono coinciderà con la circonferenza
e lapotema con il raggio
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Conclusioni
Nella formula
A (2P x a) 2
r
c 2p r
segue
A (2pr x r) 2
Formula della lunghezza di una circonferenza
infine
Larea del cerchio è data dal prodotto di p greco
per il raggio al quadrato
A p r2
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Formula inversa
Il raggio di un cerchio è uguale alla radice
quadrata dellarea fratto p greco
A
r
p
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problemi

• Un cerchio ha il raggio di 10 cm trovare
  circonferenza e area del cerchio
• c 2 p r A p r2
• Un cerchio ha larea di 1256 cm2 trovare raggio,
  diametro e circonferenza del cerchio
• r v (A/p)
• r v (1256 cm2 /3,14) v 400 cm 20 cm
• d 2 x r 2 x 20 cm 40 cm
• c p d 3,14 x 40 cm 125,6 cm
• La somma delle circonferenze di due cerchi è di
  60 p cm, una è i 7/5 dellaltra. Trovare le aree
  dei due cerchi

c 2 x 3,14 x 10 cm 62,4 cm
A 3,14 x (10 cm )2 314 cm2
60 p cm x 5
c1
c1 c2 60 p cm
c2 7/5 c1
c1 7/5 c1 60 cm
12
12
c1
60 p cm
c1 25p cm
5
C2 35 p cm
d1 25p cm/p
r1 12,5 cm
A1 (12,5 cm)2 p 152,5 p cm2
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Arco di circonferenza

• Prendiamo una circonferenza e mettiamo su di essa
  due punti
• Si definisce arco di circonferenza ciascuna delle
  in cui la circonferenza risulta suddivisa dai due
  punti
• I punti B e C individuano larco c e larco d

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Arco e angolo al centro

• Se degli estremi di un arco di circonferenza
  traccio i due raggi si forma un angolo al centro
  a
• Tale angolo prende il nome di angolo al centro
• Si dice che larco AB sottende un angolo a e
  langolo a è sotteso da un arco AB
• Cosa succede se in una circonferenza aumento
  lampiezza dellarco?
• Cosa succede allangolo a?
• Vediamo che esso aumenta e questo aumento è
  proporzionale allampiezza dellarco

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Calcolo della lunghezza dellarco

• Se il valore il valore dellangolo al centro
  arriva a 360 il corrispondente valore dellarco
  sarà lintera circonferenza
• Questo valore sarà uguale a rapporto di un arco e
  del corrispondente angolo al centro
• Da cui ottengo il modo di calcolarmi l
• Sapendo che c p x 2r

C
l

360
a
C
a
x

l
360
p x 2r
a
x

l
360
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Formule Inverse
360
x
l
360
x
l
a
c


a
c
x
360
l
x
360
l
d

a

p
a
x
d
p
x
x
x
360
l
360
l
a
r


r
2 p
a
x
2 p
x
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Settore circolare

• Prendiamo un cerchio e un suo arco BC
• Tracciamo i due raggi che uniscono gli estremi
  dellarco con il centro
• Otteniamo cosi una porzione di cerchio
• Si dice settore circolare la porzione di cerchio
  racchiusa da due raggi e un arco di
  circonferenza.

Cosa succede se aumento a?
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Calcolo dellarea settore circolare

• Larea del settore circolare è proporzionale al
  valore dellangolo al centro
• Se il valore il valore dellangolo al centro
  arriva a 360 il corrispondente settore circolare
  coinciderà con larea del cerchio
• Questo rapporto e quello precedente saranno
  uguali
• Da questa constatazione posso impostare la
  proporzione per calcolarmi larea de settore
  circolare
• La cui soluzione mi darà larea del settore
  circolare

As
Ac

a
360
Ac x a
As

360
p r2 x a
As

360
20
Formule Inverse
360
x
As
360
x
As
Ac
a


a
Ac
As
x
360
As
x
360
r

a

p
a
x
r2
p
x
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Segmento circolare

• Consideriamo un cerchio ed una sua corda a
• La corda divide il cerchio in due parti
• Si definisce segmento circolare ciascuna delle
  due parti
• Si definisce segmento circolare una porzione di
  cerchio delimitata da una corda

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Caso 1 il segmento non contiene il centro

• In questo caso debbo considerare il settore
  circolare il cui arco sottende al corda AB e il
  triangolo ABO
• Larea del segmento circolare sarà data dalla
  differenza fra larea del settore circolare a
  larea del triangolo

Asc As - At
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Caso 2 il segmento contiene il centro

• In questo caso debbo considerare il settore
  circolare il cui arco sottende al corda AB e il
  triangolo ABO
• Larea del segmento circolare sarà data dalla
  somma fra larea del settore circolare a larea
  del triangolo

Asc As At
Se non diversamente specificato il segmento
circolare si riferisce allangolo convesso
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Corona circolare

• Consideriamo due circonferenze concentriche di
  raggio r1 ed r2 con r1 gt r2
• fra le due circonferenze si trova una porzione di
  piano
• Chiamiamo questa porzione di piano corona
  circolare

Si definisce corona circolare la porzione di
piano racchiusa fra due circonferenze
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Area della corona circolare

• Larea della corona circolare si ottiene
  sottraendo allarea del cerchio maggiore quella
  del cerchio minore

Acc pr22 pr12
Acc p(r22 r12)