Hoofdstuk 2: Frequentieverdelingen

1
Hoofdstuk 2Frequentieverdelingen

• Absolute, relatieve en cumulatieve frequentie
• Tabellen en grafieken
• 1. Frequentietabellen
• 2. Classificeren van waarnemingen
• 3. Grafieken

2
Absolute, relatieve en cumulatieve frequentie

• Gegevens, data ongeordend
• aanschouwelijk voorstellen
• in tabelvorm
• grafisch

datareductie
Classificeren
informatieverlies
3
De absolute frequentie

• Totaal aantal waarnemingen
• populatiegrootte N
• steekproefgrootte n
• Absolute frequentie f
• het aantal keren dat een kenmerk Xi wordt
  waargenomen (geteld)
• 3 stappen selecteren, sorteren, tellen

4
De relatieve frequentie

• Relatieve frequentie rel.fi
• absolute frequentie gedeeld door de totale
• frequentie
• in decimalen (fractie van 1)
• in procenten

Som relatieve frequenties 1 of 100
5
De cumulatieve frequentie

• Ndz. een bepaalde volgorde in de uitkomsten (b.v.
  van klein naar groot)
• hoeveel waarnemingen zijn groter/kleiner dan een
  bepaalde waarde?

6
De cumulatieve frequentie (2)

• de cumulatieve frequentie vanaf de grootste
  waarde Fg
• het aantal waarnemingen dat groter dan of
  gelijk is aan een bepaalde grenswaarde
• of hoeveel waarden zijn in het schaalpunt of
  erboven gelegen

7
De cumulatieve frequentie (3)

• de cumulatieve frequentie vanaf de kleinste
  waarde Fk
• het aantal waarnemingen dat kleiner dan of
  gelijk is aan een bepaalde grenswaarde
• of hoeveel waarden zijn in het schaalpunt of
  eronder gelegen

8
De cumulatieve frequentie (4)

• ? F Fk Fg n f n
• bij niet-geclassificeerde waarnemingen
• ? F Fk Fg n (of N)
• bij geclassificeerde waarnemingen
• ook relatief cumulatieve frequenties

9
Hoofdstuk 2 Tabellen en grafieken

• Frequentietabellen
• rijen, kolommen, velden/cellen
• Richtlijnen
• een tabel moet overzichtelijker zijn dan de lijst
  aparte waarnemingen
• bij voorkeur indelen naar maximum drie
  gezichtsvelden
• getallen met meer dan 3 cijfers worden afgerond
• internationale afspraken voor gebruik van tekens

10
Classificeren van waarnemingen (1)

• Classificeren
• samennemen van naburige schaalpunten van een
  variabele in een beperkt aantal klassen
• Doel data-reductie

11
Classificeren van waarnemingen (2)

• 3 manieren
• zoals het de onderzoeker uitkomt
• zó dat elke klasse evenveel van de
  oorspronkelijke schaalpunten bevat (elke klasse
  is even breed)
• zó dat iedere klasse een bepaald aantal gelijk
  of ongelijk- waarnemingen bevat

12
Classificeren van waarnemingen (3)

• Aanbevelingen voor het classificeren van
  waarnemingen
• het aantal klassen ligt bij voorkeur tussen 5 en
  20 vuistregel is ongeveer vn klassen te nemen
• men streeft naar een gelijk klasse-interval
  (gelijke klassebreedte)
• vermijdt lege klassen of klassen met weinig
  waarnemingen (frequentieverdelingen  met een
  staart )

13
Classificeren van waarnemingen (4)

• vermijdt open klassen aan het begin of einde
  (soms echter noodzakelijk)
• klassegrenzen mogen elkaar niet overlappen en
  moeten aaneensluiten (categorisch systeem!)
• voor klassegrenzen en middens kiest men best
  ronde getallen
• bepaalt men de klassegrenzen op één rang meer dan
  de waarnemingen, dan kan er nooit twijfel bestaan
  in welke klasse een waarneming valt.

14
Keuze klassegrenzen en middens (mi)

• 161 cm 171 cm mi 166 cm
• 171 cm 181 cm 176 cm
• 160 cm 170 cm mi 165 cm
• 170 cm 180 cm 175 cm
• 160,5 cm 170,5 cm mi 165,5 cm
• 170,5 cm 180,5 cm 175,5 cm

15
Stap voor stap (1)

• Waarnemingsresultaten

hoogste Xmax.
turven frequenties
laagste Xmin.
Uitbijters?
Ja ? schrappen aan beide uiteinden
Range R Xmax. Xmin.
16
Stap voor stap (2)

• Bepaling klassebreedte
• i R / v n

als nlt40 R/6 als ngt400 R/20
Kleinste waarneming moet in de laagste klasse
liggen
Bepaling klassemiddens mi (bi Bi ) / 2
17
Frequentietabel voorbeeld Lichaamslengte 35
studenten van een klas
Klasse (cm) mi fi rel.fi () Fk Fg ? F rel.Fk () rel.Fg
150-158 154 4 11,4 0 35 35 0,0 100
158-166 162 9 25,7 4 31 35 11,4 88,6
166-174 170 12 34,3 13 22 35 37,1 62,9
174-182 178 7 20,0 25 10 35 71,4 28,6
182-190 186 3 8,6 32 3 35 91,4 8,6
totaal 35 100 35 0 35 100 0,0
Cumulatieve frequenties bepaald op de
benedengrens!
18
Frequentiedichtheid

• Wat?
• Frequentiedichtheid frequentie/klassebreedte
• fd fi / i
• Nut?
• Om klassen te vergelijken met ongelijke
  klassebreedte
• Belangrijkste klasse is deze met de hoogste
  frequentiedichtheid (dichtste bezetting)

19
Stem and leaf-diagram

• Wat?
• Combinatie van een tabel en een grafiek
• Voorbeeld afstand huis-school van 43 studenten

stam loof fi
0 5 7 0 1 2 8 7 3 0 8 6 3 12
1 5 8 2 2 4 9 0 3 5 4 8 0 5 6 14
2 3 1 5 6 8 6 0 4 8
3 9 2 4 3
4 8 3 9 1 0 5 6
90
20
Hoofdstuk 2 Grafieken

• Indeling
• frequentiediagrammen
• tijdreeksgrafieken
• spreidings- of correlatiediagrammen
• specifieke voorstellingswijzen

21
Grafieken (1)frequentiediagrammen

• 3 soorten
• histogrammen en kolommendiagrammen
• frequentieveelhoeken (-polygonen)
• frequentiecurven
• (waarschijnlijkheidsverdelingen)

22
Frequentiediagrammen

• Algemeen kenmerk
• vertikale as frequentieas
• absolute frequentie (fi )
• relatieve frequentie (rel.fi )
• cumulatieve frequentie
• vanaf de kleinste waarde (Fk )
• vanaf de grootste waarde (Fg )
• relatief cumulatieve frequenties
• (rel.Fk en rel.Fg )

• horizontale as meetschaal

23
Histogrammen en kolommendiagrammen

• Histogram
• continue kenmerken
• reeks rechthoeken
• opp. evenredig met frequentie kenmerk
• sluiten aan elkaar
• absoluut, relatief, cumulatief, relatief
  cumulatief
• twee- en driedimensionaal

• Kolommendiagram
• discontinue kenmerken
• los van elkaar getekend
• grotere vrijheid in de vorm
• (b.v. cilinders, objecten )

24
Frequentiediagrammen voorbeeld
(1)Lichaamslengte 35 studenten van een klas
Klasse (cm) mi fi rel.fi () Fk Fg ? F rel.Fk () rel.Fg
150-158 154 4 11,4 0 35 35 0,0 100
158-166 162 9 25,7 4 31 35 11,4 88,6
166-174 170 12 34,3 13 22 35 37,1 62,9
174-182 178 7 20,0 25 10 35 71,4 28,6
182-190 186 3 8,6 32 3 35 91,4 8,6
totaal 35 100 35 0 35 100 0,0
Cumulatieve frequenties bepaald op de
benedengrens!
25
Frequentiediagrammen voorbeelden (2)
1. Absoluut histogram
26
Frequentiediagrammen voorbeelden (3)
2. Staafdiagram 3. Frequentieveelhoek/-polygoon
27
Frequentiediagrammenvoorbeelden (4)

• 4. Relatief cumulatief frequentiehistogram vanaf
  de kleinste waarde
• 5. Relatief cumulatief frequentiepolygoon vanaf
  de kleinste waarde

De (relatief) cumulatieve frequentie- veelhoeken
worden geconstrueerd op de benedengrens (of
bovengrens)
28
Histogrammen varianten

• puntendiagram
• klassemiddens
• staafdiagram
• loodrechte projectie van de klassemiddens
• frequentieveelhoek (-polygoon)
• klassemiddens verbinden uiterste klassen
  verbinden met klassemiddens fictieve aanliggende
  klassen met nulfrequentie
• frequentiecurve
• klassemiddens verbinden door vloeiende lijn

29
Gestapelde frequentiediagrammen

• Mogelijkheid om histogrammen en
  kolommendiagrammen te stapelen
• - absoluut
• - relatief
• - voordeel evolutie van het totaal is
  gemakke-lijker af te lezen
• - nadeel evolutie van de aparte kenmerken is
  moeilijk of niet af te lezen

30
 Een grafiekje om bestwil  misleiding met
grafieken

• nulpunt/nullijn houdt geen verband met de
  resultaten en er wordt geen scheurlijn/breuklijn
  gebruikt
• de verhouding op de assen klopt niet met de
  realiteit
• de kolommen worden uitgezet op een stijgende lijn
  (dus niet op dezelfde hoogte)
• de afstanden op de X-as zijn niet evenredig
  (bepaalde periodes worden weggelaten)
• bepaalde resultaten worden extra in de verf
  gezet, b.v. op een cirkeldiagram
•  Kans op onjuiste diagrammen in een jaarverslag
  is 47 

31
Aanbevelingen voor grafieken

• bij niet rangschikbare kenmerken
• volgorde staven/kolommen speelt geen rol
• aanbeveling rangschikken van klein naar groot
  of van groot naar klein
• ondelinge afstand tussen de kolommen is
  willekeurig
• klassen samenvoegen de totale frequentie delen
  door het aantal samengenomen klassen
• soms is het nuttig de oorsprong van het
  assenstelsel te verleggen gebruik een scheurlijn
  of breuklijn
• op de assen schaalpunten en meeteenheid
  vermelden, niet de exacte waarnemingen.

32
Waarschijnlijkheidsverdelingen

• homogene verdelingen
• normale verdelingen
• - spits, normaal en vlak
• scheve verdelingen
• scheef naar links
• scheef naar rechts
• eentoppige, tweetoppige en meertoppige
  verdelingen
• U-vormige verdelingen
• J-vormige en omgekeerd J-vormige verdelingen

33
Hoofdstuk 2 Grafieken

• Indeling
• frequentiediagrammen
• tijdreeksgrafieken
• spreidings- of correlatiediagrammen
• specifieke voorstellingswijzen

34
Tijdreeksgrafieken

• Algemeen kenmerk
• horizontale as tijdsas
• vertikale as meetschaal
• Soorten
• lijn(en)diagram
• stralendiagram
• sterdiagram, poolcurve of radardiagram

35
Tijdreeksgrafieken (1)lijn(en)diagram

• b.v. verloop beurskoersen
• temperatuurverloop in een maand
• evolutie elektriciteitsverbruik in 24u

36
Tijdreeksgrafieken (2)stralendiagram (1)

• Het resultaat in de basisperiode wordt
  gelijkgesteld aan 100 en alle volgende uitslagen
  worden omgerekend naar die basis

2000 2001 2002
Product A 40.000 36.000 58.000
100 90 145
Product B 150.000 157.500 180.000
100 105 120
Product C 20.000 50.000 40.000
100 250 200
37
Stralendiagram (2)
38
Stralendiagram (3)

• Voordelen
• - relatieve groei onmiddellijk af te lezen
• - resultaten gemakkelijk te vergelijken
• Nadelen
• - geen absolute resultaten
• - onmogelijk af te lezen welke reeks de hoogste
  
• scores heeft

39
Tijdreeksgrafieken (3)radardiagram/poolcurve/ste
rdiagram

• Concentrisch opgebouwde grafiek, af te lezen in
  wijzerszin
• toepassingen
• - samenstellen homogene teams (complementaire
• vaardigheden)
• - bezettingsgraden infrastructuren in bepaalde
  periode
• - kwaliteitsvergelijking reeks producten
• - illustreren van het seizoenkarakter van
  verschijnselen

40
Radardiagram/poolcurve/sterdiagram (2)
41
Radardiagram/poolcurve/sterdiagram (3)

• Voordelen
• - moderne vorm van grafische voorstelling
• - mogelijk veel info op één grafiek
• - bij goed gebruik zeer praktisch
• Nadelen
• - zeer specifiek
• - moeilijk af te lezen door de leek
• - als de volgorde van de uitslagen wordt
  gewijzigd,
• dan verandert de vorm/het uitzicht van de
  grafiek

42
Hoofdstuk 2 Grafieken

• Indeling
• frequentiediagrammen
• tijdreeksgrafieken
• spreidings- of correlatiediagrammen
• specifieke voorstellingswijzen

43
Spreidings-, correlatie- of scatterdiagrammen (1)

• Gebruik
• om grafisch de samenhang tussen twee kenmerken
  na te gaan
• Opbouw
• horizontale as kenmerk 1 oorzaak
• vertikale as kenmerk 2 gevolg
• de bekomen combinaties liggen meestal in het
  eerste kwadrant van de grafiek

44
Spreidingsdiagrammen (2)

• Soorten
• correlatiediagrammen
• laddergrafieken
• grafiek van Claparède

45
Correlatiediagrammen
46
Laddergrafieken

• Wat?
• Visuele methode om samenhang tussen twee
  kenmerken te illustreren
• Hoe?
• 2 reeksen uitslagen rangschikken (van klein naar
  groot of omgekeerd) ? corresponderende rangorden
  verbinden
• - geen snijpunten volmaakte ladder 100
  positieve correlatie
• - 1 snijpunt volmaakte negatieve correlatie
  100 neg. corr.
• - veel snijpunten geen correlatie
• Opm. 1 afwijkende uitslag kan zorgen voor heel
  wat snijpunten

47
Grafiek van Claparède

• Wat?
• 2 tijdreeksgrafieken boven elkaar geplakt
• Aflezing?
• - grafieken evenwijdig grote positieve
  correlatie
• - 1 snijpunt grote negatieve correlatie
• - veel snijpunten weinig/geen correlatie

48
Hoofdstuk 2 Grafieken

• Indeling
• frequentiediagrammen
• tijdreeksgrafieken
• spreidings- of correlatiediagrammen
• specifieke voorstellingswijzen

49
Grafieken specifieke voorstellingswijzen

• Overzicht
• cirkeldiagrammen en taartpuntdiagrammen
• stroomdiagrammen (flow-charts)
• beeldstatistieken
• cartogrammen
• driehoeksdiagrammen
• bevolkingspiramiden

50
Grafieken specifieke voorstellingswijzen

• Overzicht
• cirkeldiagrammen en taartpuntdiagrammen
• stroomdiagrammen (flow-charts)
• beeldstatistieken
• cartogrammen
• driehoeksdiagrammen
• bevolkingspiramiden

51
Cirkeldiagrammen (1)

• Wellicht de meest gebruikte soort grafieken
• Wat?
• - de cirkel wordt verdeeld in sectoren recht
  evenredig met de waarde van het voorgestelde
  verschijnsel
• - zowel de oppervlakte van het segment als de
  middelpuntshoek zijn een maat voor de resultaten
• - afspraken
• maximum 6 à 10 sectoren
• aflezing starten op 12 uur
• aflezing in wijzerzin
• volgorde van de sectoren respecteren
• kleurlegende/arcering een duidelijk onderscheid
  is noodzakelijk

52
Cirkeldiagrammen (2)

• Mogelijkheden
• - twee- en driedimensionaal
• - taartpunten uit de taart geschoven
• De oppervlakte van de cirkel is evenredig met
  het totale resultaat
• S2 / S 1 ? R22 / ? R12
• ? R2 R1 ? T2 / T1
• ? T2 T1 R22 / R12
• __

53
Cirkeldiagrammen (3)
54
Stroomdiagrammen / flow charts

• met pijlen wordt de richting aangegeven waarin
  grootheden zich bewegen
• de breedte van de pijlen geeft de omvang van de
  verschijnselen weer
• mogelijkheid om complexe systemen overzichtelijk
  voor te stellen in één diagram
• b.v. energieverbruik in een regio
• klantenbewegingen in een winkelcomplex

55
Beeldstatistieken

• meest bekend bij het publiek
• zeer toegankelijk want extreem suggestief
• beeldjes illustratief voor verschijnselen
• aantal beeldjes zijn maat voor omvang kenmerken
• eerder illustratief dan nauwkeurig

56
Cartogrammen

• Combinatie van een kaart en een grafiek
• geven de ruimtelijke verspreiding van kenmerken
  weer
• veelal gebruik van conventionele symbolen
• kennis van ruimtelijke entiteiten is noodzakelijk

57
Driehoeksdiagrammen

• Gebruik?
• relatieve frequentieverdelingen van 3 kenmerken
  in een categorisch systeem
• Vorm?
• gelijkzijdige driehoek, elke zijde wordt
  verdeeld in 100
• Aflezing?
• - geografen in tegenwijzerzin
• - economisten in wijzerzin
• Toepassingen
• - bevolkingsopbouw
• - verdeling actieve bevolking over de
  economische
• sectoren
• - textuurdriehoek (bodemkunde)

58
Bevolkingspiramiden (1)

• Wat?
• de grafische voorstelling van de samenstelling
  van een bevolking naar geslacht en leeftijd
• Opbouw?
• twee histogrammen, basis tegen basis
• - vertikale as leeftijdsklassen (1 of 5 jaar)
• - horizontale as mannen (links) of vrouwen
• (rechts) in procent of promille

59
Bevolkingspiramiden (2)

• Soorten bevolkingspiramiden
• basiszwaar
• theoretisch (gelijkbenig)
• topzwaar
• b.v. bevolkingspiramiden N.I.S.
• het rijk, de gewesten, provincies, gemeenten