Teorie c

1
Teorie císel

• Prvocíslo
• Generování prvocísel Erathosenovo síto
• Kolik je prvocísel?

2
Eulerova funkce

• Eulerova funkce f(n), pocet prirozených císel
  menších než n a nesoudelných s n.
• Dodefinujeme f(1) 1
• První hodnoty funkce f 1,1,2,2,4,2,6,3,6,4
• Pro a, b nesoudelná f(ab) f(a). f(b)
• Snadno spocítáme treba f(91)f(7.13)72
• p prvocíslo f(p)p-1
• a je soucin dvou prvocísel ap.q, pak
  f(a)f(p).f(q)(p-1).(q-1)

3
Vlastnosti prvocísel

• Binomický koeficient (p nad i) mod p 0, pro
  i1..p-1
• (ab)p mod papbp
• Pro c menší než p je cpmod p c,

4
Malá Fermatova veta

• Pro c menší než p platí
  cp-1mod p 1
• Pierre de Fermat (1601-1665)

5
Velká Fermatova veta

• Neexistuje ctverice prirozených a,b,c,n, ngt2,
  pro která platí anbncn
• Údajne dokázal P.Fermat v 17. století
• V roce 1900 formulováno jako 7. Hilbertuv problém
  
• Hilbertovy problémy (23), dnes vyrešeny všechny
  až na 2.
• Velká Fermatova veta dokázána v roce 1994 (sir
  Andrew John Wiles), dukaz má 109 (velmi hutných)
  stran

6
Cínská veta o zbytcích

• Sun Tse (snad 3.-5. století)
• N je soucin dvou prvocísel p,q.
  f(N)(p-1)(q-1), c f(N) mod N 1

7
Základní pojmy teorie složitosti algoritmu

• Casová složitost algoritmu
• Vyjadrujeme v poctu operací
• Složitost algoritmu je funkcí velikosti vstupních
  dat
• Zajímá nás složitost
• Minimální
• Prumerná
• Maximální
• Složitost limitní

8
Príklady výpoctu složitosti

• Vyhledání minimální hodnoty O(n)
• Soucet matic O(n2)
• Soucin matic O(n3)
• Serazení souboru císel O(n.log n)
• Úloha obchodního cestujícího n!
• Úloha o batohu 2n

9
Porovnání složitosti algoritmu
N N2 N8 2N N!
1 1 1 2 1
5 25 400000 32 120
10 100 108 1024 106
15 225 109 32000 1012
20 400 1010 106 1018
30 900 1011 109 1032
50 2500 1013 1015 1064
100 10000 1016 1030 10157

• Podstatný rozdíl je mezi složitostí vyjadritelnou
  polynomem a složitostí jinou

10
Pri 1 000 000 000 operací za s.
N N2 N8 2N N!
1 lt1s lt1s lt1s lt1s
5 lt1s lt1s lt1s lt1s
10 lt1s lt1s lt1s lt1s
15 lt1s 1 s lt1s 15 min
20 lt1s 10 s lt1s 31 let
30 lt1s 2 min 1 s 100 Vek vesmíru
50 lt1s 3 h 11 dní
100 lt1s 3 mes Vek vesmíru
11
Trídení úloh podle složitosti

• P-úlohy
• Je znám algoritmus, který je reší a má maximální
  složitost odhadnutelnou polynomickou funkcí
• NP-úlohy (nedeterministicky polynomiální)
• Není znám algoritmus, který je reší a má
  maximální složitost odhadnutelnou polynomickou
  funkcí
• Je znám algortimus s minimální složitostí danou
  polynomickou funkcí (overení výsledku)

12
NP úplné problémy

• Patrí do trídy NP
• Lze na sebe navzájem prevádet.
• Pokud bude nalezet p-algoritmus pro jeden z nich,
  bude fungovat i pro všechny ostatní.
• Otevrená otázka PNP?
• Vypsáno nadací Calyjako jeden ze 7 problému
  tisíciletí v roce 2000, odmena 1000000
• Casto rešeny približnými a heuristickými metodami

13
Príklady np-úplných problému

• Travel Salesman Problem
• Knapsack problem
• Problém splnitelnosti formule
• Problém parketovatelnosti
• A dalších minimálne 100 problému

14
Diagram složitosti úloh
15
Další NP problémy

• Problém faktorizace soucinu dvou prvocísel
• Ap.q, známe A, treba urcit p a q
• Pro presnou formulaci je treba si uvedomit, co je
  zde velikost vstupních dat.
• Problém modulárních rovnic
• f(t) pt mod q a
• Známe-li p,q a t, snadno urcíme a
• Známe-li p, q a a, nelze jednoduše urcit t