Il rumore termico

1
Il rumore termico
Il rumore termico è il nome dato a tutte quelle
fluttuazioni presenti su un osservabile fisico
di un sistema macroscopico che si trovi
allequilibrio termico con lambiente
circostante. Esso è presente in tutti gli
apparati sperimentali e può fare parte dei limiti
intrinseci alla loro sensibilità.
Antenna Interferometrica Virgo
Antenna Risonante Explorer (termico dei modi
normali)
2
Il rumore termico

• Introduzione storica
• Le prime osservazioni di Robert Brown
• Interpretazione Einsteiniana del rumore
  browniano
• Lequazione di Langevin
• Il teorema di Fluttuazione-Dissipazione
• Il rumore termico di unoscillatore armonico
• Il rumore termico del pendolo
• I meccanismi principali di dissipazione e loro
  modellizzazione
• effetto termoelastico, bulk superficiali etc
• Il rumore termico negli interferometri e nelle
  antenne risonanti

3
La storia

• 1828. Il botanico Robert Brown riferiva di avere
  osservato il moto caotico di varie specie di
  particelle abbastanza piccole da restare in
  sospensione nell'acqua.
• Egli escluse presto che fosse un fenomeno
  biologico, e successivamente esperimenti eseguiti
  in diversi laboratori chiarirono che i moti
  browniani aumentano se
• diminuiscono le dimensioni (a) della particella
• diminuisce la densità (r) delle particelle in
  sospensione
• diminuisce la viscosità (h) del liquido ospite.
• aumenta la temperatura (T) del liquido ospite.
• Oggi diciamo che Brown aveva osservato l'azione
  delle molecole d'acqua che urtano gli oggetti in
  sospensione per effetto dell'agitazione termica.

4
Fino ai primi anni del 900 si conosceva.

• a raggio della particella immersa in una
  soluzione
• h viscosità del solvente
• v velocità della particella
• F Forza di Stokes

• Legge di Stokes
• F (6 p h a) v
• le leggi di vant Hoff sulle soluzioni (come per
  i gas ideali)
• P r RT/m
  

• m massa molecolare delle particelle
• r densità delle particelle in soluzione
• P pressione osmotica
• R costante dei gas

5
Linterpretazione di Einstein (1906) (sul moto
browniano delle particelle in sospensione
(colloidi))

• Consideriamo una particella di massa m immersa in
  un fluido, all'equilibrio termodinamico, ad una
  temperatura T.
• Essa è soggetta
• ad attrito viscoso F-bv, dove b è il
  coefficiente di attrito viscoso e v è la velocità
  della particella
• alla forza aleatoria risultante dagli urti con le
  molecole che compongono il fluido
• Isotropa a media nulla ltf(t)gt0
• Scorrelata ltfa(t)fa(t-t)gtFo2 d(t-t)
• Gaussiana
• Equilibrio termico
• La forza per unità di volume è data da
• F (r N/m) d P/dx
• Supponiamo che siano valide le leggi di vant
  Hoff
• P (n/V) RT (r /m) RT
• d P/dx (RT /m) dr /dx
• F (r N/m) (RT /m) dr /dx

N numero di
Avogadro (r /m) (n/V) moli per
unità di volume N(n/V) (r N/m) numero di
particelle per unità di volume
6

• Equilibrio dinamico
• La forza di attrito viscoso è la forza di Stokes
  
• Forza di Stokes F -6 p h a v -b v
• Abbiamo allora un flusso di particelle
• v (r N/m) (F/b) (r N/m)
  numero di particelle per
• 
  unità di area e per unità di
  tempo
  
• Il flusso di particelle gradiente di
  concentrazione diffusione nella
  direzione opposta
• (F/b) (r N/m) D (N/m) dr /dx
• def D coefficiente di diffusione

Equilibrio termodinamico equilibrio termico
equilibrio dinamico
D R T/ ( b N) k T/ b
Questo risultato è la base del meccanismo del
moto browniano una forza caotica o fluttuante è
bilanciata da una forza sistematica'' come la
resistenza viscosa del tipo di quella di Stokes
(proporzionale alla velocità) attraverso un
processo di diffusione.
7
Lequazione di diffusione
Dal punto di vista macroscopico una particella
soggetta al un moto browniano subisce, in un
tempo infinitesimo dt, uno spostamento dr
distribuito come una Gaussiana con media nulla e
varianza 2Dt. Possiamo studiare come evolve la
densita di probabilita di trovare la particella
nella posizione r ad un tempo t.
8

• Questo risultato è vero per ogni sistema
  macroscopico all'equilibrio termico con
  l'ambiente.
• In questo caso l'energia interna di tale sistema
  è condivisa tra tutti i suoi gradi di libertà
  o,equivalentemente, tra tutti i suoi modi normali
  di vibrazione, ciascuno con energia media kbT.
• Il moto di sistemi oscillanti come molle,
  pendoli, all'equilibrio termico è sempre affetto
  dal rumore termico.
• Esso si manifesta con le fluttuazioni casuali
  dell'osservabile macroscopico che caratterizza il
  sistema, e ne limita quindi la sensibilità.

9
Lequazione di Langevin(sistema macroscopico
allequilibrio termico, approccio statistico)
Equazione del moto con termine di forza
stocastica (rumore bianco)
Allequilibrio dinamico (equipartizione
dellenergia )
Forza stocastica dovuta alle fluttuazioni termiche
Legame tra le forze che dissipano lenergia del
sistema (bv) e la forza (stocastica) che eccita
il sistema fuori dallequilibrio. (equilibrio col
bagno termico)
10

• Lintensità del rumore termico di un sistema
  macroscopico è strettamente legata ai processi
  dissipativi presenti in esso.

11
Il teorema fluttuazione-dissipazione
Nel dominio delle frequenze() possiamo sempre
scrivere la risposta di un sistema lineare ad una
forza esterna F(w) come
Dove H(w) è la funzione di trasferimento e Z(w)
limpedenza del sistema
Il teorema fluttuazione-dissipazione può essere
scritto come segue
Lenergia delle fluttuazioni è distribuita al
variare della frequenza
12
Il moto termico delloscillatore armonico
Frequenza di risonanza Fattore di merito
Applichiamo il teorema Fluttuazione-Dissipazione
13
Principio di Equipartizione
14
Leffetto delle dissipazioni sul rumore termico
delloscillatore armonico

• Lenergia delle fluttuazioni è concentrata
  attorno alla risonanza
• Landamento fuori risonanza dipende dalla
  dissipazione

w wo
Cost
w-4

15
I meccanismi dissipativi strutturali(dissipazioni
interne del materiale)
nello spazio delle frequenze
termine di memoria
Il termine dissipativo F(w) (angolo di perdita)
tiene conto di tutti i tipi di dissipazioni
interne del materiale
16

• Dissipazioni strutturali F(w) Fo

Presenti in tutti i materiali
17
Misura delle dissipazioni

• La misura delle dissipazioni avviene misurando
  il fattore di merito del sistema

Realizzare sistemi con alti valori di Q, permette
di concentrare gran parte dellenergia delle
fluttuazioni intorno alla risonanza
18
Il rumore termico del pendolo
Momento di richiamo dei fili

• Nel caso del pendolo le forze dissipative
  interne sono dovute soltanto alla piegatura dei
  fili.

xLq Y Modulo di Young rf raggio del filo L
tensione del filo
Frequenza del pendolo (misurata)
19
Il rumore termico del pendolo
voglio esprimere questa espressione con grandezze
misurate
Fattore di diluizione a parità di angolo di
perdita il pendolo presenta delle perdite più
basse rispetto a quello dato dalla sola
elasticità del materiale
(LMg/4)
20
Il rumore termico del pendolo di torsione
Momento di richiamo dei fili

• Le forze dissipative interne sono dovute
  soltanto alla torsione dei fili.

Frequenza del pendolo di torsione G modulo di
elasticita a torsione L lunghezza del
pendolo I momento dinerzia della massa sospesa
21
Il rumore termico del pendolo di torsione
In questo caso non beneficiamo del fattore di
diluizione presente nel caso del pendolo, quindi
le perdite strutturali e quelle viscose
contribuiscono allo stesso modo lo nel fattore
di merito totale dei modi torsionali
22
Antenna Interferometrica Virgo

• Il rumore termico di pendolo domina tra 10Hz e 50
  Hz (sopra la risonanza)
• Il rumore termico degli specchi domina tra 50Hz e
  300 Hz (sotto le risonanze)
• Il rumore termico dei fili domina alle risonanze
  (modi di violino)
• Per abbassare il rumore termico fuori risonanza
  bisogna ridurre le dissipazioni.
• Riducendo le dissipazioni il termico dei violini
  e concentrato alle risonanze

23
I meccanismi interni di dissipazione
Dissipazioni Termoelastiche
Dissipazioni strutturali
Dissipazioni superficiali
24

• Dissipazioni termoelastiche fte(w)
• sono quelle perdite legate alla dissipazione di
  calore per effetto del riscaldamento locale del
  sistema durante le oscillazioni.
• Y modulo di Young del materiale
• a coefficiente di dilatazione termica
• t il tempo caratteristico della diffusione del
  calore nel materiale e dipendente dalla sua
  geometria
• C è la capacità termica del materiale.

E importante scegliere un materiale con questo
punto fuori della banda rivelazione
Punto di massima dissipazione
25

• Dissipazioni superficiali

Sono le dissipazioni dovute alle frizioni tra
superfici di contatto
Wsurf è la parte di energia elastica
immagazinata sulla superficie Wtot è lenergia
elastica totale
Dissipativa
Nel caso delle sospensioni di Virgo
mw fattore geometrico hsb spessore della zona
di frizione Sw 2p rw Lw superficie laterale del
filo Vw p rw2 Lw volume del filo
Non Dissipativa
26

• Dissipazioni superficiali

Sono le dissipazioni dovute alle frizioni tra
superfici di contatto
Wsurf è la parte di energia elastica
immagazinata sulla superficie Wtot è lenergia
elastica totale
Dissipativa
Nel caso delle sospensioni di Virgo
mw fattore geometrico hsb spessore della zona
di frizione Sw 2p rw Lw superficie laterale del
filo Vw p rw2 Lw volume del filo
Non Dissipativa
26
27
Rumore termico degli specchi

• Equipartizione dellenergia
• Il rumore termico si distribuisce tra tutti i
  modi
• meccanici degli specchi
• Sono importanti tutti quei modi che si
  accoppiano
• con il modo ottico dellinterferometro

Massa equivalente del modo i
Le dissipazioni dei coating sono molto importanti
28
Modi degli specchi
(0,2 Mode)
Simulation Measured Modes splitting NI
(3917.2 0.5) Hz (NI/WI) 3912.6 Hz-3916.7 Hz
WI (3916.0 0.5) Hz Modes splitting NE
(3883.0 0.5) Hz (NE/WE) 3882.4 Hz-3882.6 Hz
WE (3884.2 0.5) Hz
The mode splitting is mainly due to the mirror
lateral cuts and the lateral magnets and spacers.
29
(1,0 Mode)
Simulation Measured NI/WI
5584.9 Hz NI (5585.7 0.5) Hz
WI (5583.5 0.5) Hz NE/WE 5546.1
Hz NE (5543.2 0.5) Hz WE (5545.6 0.5)
Hz
30
Simulation North/West Input 7595.3 Hz-7602.6
Hz North/West End 7551 Hz-7558 Hz
These modes were not observed.
(0,3 Mode)
31
North Input (3917.2 0.2) Hz (5584.7 0.2) Hz
North End (3883.0 0.2) Hz (5543.2 0.2) Hz
32
North End t3883 (110 3) s t5543 (16.2
0.1) s
North Input t3917 (70.6 0.4) s t5584
(37.8 0.7) s
North End Q3883 (1.34 0.09) 106 Q5543
(2.82 0.02) 105
North Input Q3917 (8.69 0.05) 105 Q5584
(6.6 0.1) 105
33
Il rumore termico nella curva di sensibilità
dellinterferometro Virgo
I modi torsionali non sono presenti
direttamente. Ma giocano un ruolo importante se
nel controllo dellinterferometro.
34
Come abbassare il rumore termico in unantenna
interferometrica

• Abbassare le dissipazioni (Virgo Advanced)
• Pendoli sospensioni
  monolitiche (silice fusa)
• 
  termoelastico ridotto
• 
  dissipazioni superficiali ridotte
• Specchi coating meno dissipativi
• substrati
  meno dissipativi

• Abbassare la temperatura (Virgo criogenico)
• Criogenia

35
(No Transcript)
36
Rumore nelle antenne risonanti
Modi normali
37
(No Transcript)
38
(No Transcript)