Distribuciones Muestrales

1
Distribuciones Muestrales

• Capítulo 9

2
9.1 Introducción

• En la vida real es imposible calcular parámetros
  poblacionales porque las poblaciones son muy
  grandes.
• En lugar de analizar toda una población, se toma
  una muestra, luego se calcula un estadístico
  relacionado con el parámetro que interesa, y se
  hace una inferencia.
• La distribución muestral de un estadístico es la
  herramienta que nos dice cuán cerca está el
  estadístico del parámetro.

3
9.2 Distribución de la Media Muestral

• Un ejemplo
• Se arroja un dado una infinita cantidad de veces.
  Llamamos X a la cantidad de puntos en la cara
  superior en cada tirada.
• La distribución de probabilidad de X es

E(X) 1(1/6) 2(1/6) 3(1/6) .
3,5 V(X) (1-3,5)2(1/6) (2-3,5)2(1/6)
.
2,92
4
Arrojando el dado dos veces La media muestral

• Si se se quiere estimar m a partir
• de la media de una muestra de tamaño n
  2.
• Cuál es la distribución de ?

5
Arrojando el dado dos veces La media muestral
6
Distribución de las Medias Muestrales para n 2
º
Muestra
Muestra
Muestra
Media
Media
Media
7
La Distribución de la Media Muestral
º

• Sea la media de una muestra aleatoria de n
  observaciones extraída de una población de media
  y varianza .
• La distribución muestral de tiene media
  , es decir
• La distribución muestral de tiene un desvío
  estándar
• Esta cantidad se llama el
  error estándar de la media.
• Si n no es una proporción pequeña de N se tiene
• Si la población tiene distribución normal
  entonces tiene una
  distribución normal.
• Si la población no es normal pero el tamaño de
  muestra n es grande, es válido el resultado
  anterior. (TCL)

8
Distribución de la Media Muestral
9
Distribución de la Media Muestral
10
Distribución de la Media Muestral
Demostración La varianza de la media muestral es
menor que la varianza de la población.
Media 1,5
Media 2,5
Media 2.
Población
1.5
2.5
2
1
2
3
1.5
2.5
2
1.5
2.5
2
1.5
2.5
2
1.5
2.5
2
Compare la variabilidad de la población con la
variabilidad de la media muestral.
1.5
2.5
1.5
2.5
2
1.5
2.5
2
1.5
2.5
2
1.5
2.5
1.5
2.5
2
1.5
2.5
2
Tomando muestras de dos observaciones
1,5
2,5
2
11
Distribución de la Media Muestral
También, Valor Esperado de la población (1 2
3)/3 2
Valor Esperado de la media muestral (1,5 2
2,5)/3 2
12
El Teorema Central delLímite

• Si se extrae una muestra aleatoria de cualquier
  población, la distribución de la media muestral
  es aproximadamente normal con tal que el tamaño
  de la muestra (n) sea suficientemente grande.
• Cuanto mayor es el tamaño de n, más se aproxima
  rá la distribución muestral de a una
  distribución normal.

13
Distribución de la Media Muestral
14
Distribución de la Media Muestral

• Ejemplo 9.1
• La cantidad de soda en cada botella de una
  gaseosa se distribuye normalmente con una media
  de 32,2 gramos y un desvío estándar de 0,3
  gramos.
• Hallar la probabilidad de que un cliente compre
  una botella que contenga más de 32 gramos.
• Solución
• La variable aleatoria X es la cantidad de soda
  en una botella.

0,7486
m 32,2
x 32
15
Distribución de la Media Muestral

• Hallar la probabilidad de que un paquete de
  cuatro botellas tendrá una media de más de 32
  gramos de soda por botella.
• Solución
• Se define la variable aleatoria como la cantidad
  promedio de soda por botella.

0,9082
16
Distribución de la Media Muestral

• Ejemplo 9.2
• Informe del INDEC El salario básico inicial
  pro-medio de los obreros no calificados (sin
  antigüe dad), es de 600 mensuales.
• Suponga que la distribución de los salarios tiene
  un desvío estandar de 100. Cuál es la probabi-
  lidad de que 25 obreros elegidos al azar tengan
  un salario promedio mensual de menos de 550?
• Solución

17
Distribución de la Media Muestral

• Ejemplo 9.2 continuación
• Si una muestra aleatoria de 25 obreros tuviera en
  reali- dad un salario promedio de 550, qué se
  podría con-cluir acerca de la afirmación de que
  el salario promedio de los obreros sin antigüedad
  es 600?
• Solución
• Con m 600 la probabilidad de observar una
  media muestral tan baja como 550 es muy pequeña
  (0,0062). La afirmación de que el salario
  promedio es 600 es probablemente injustificada.
• Sería más razonable suponer que m es menor de
  600, porque entonces una media muestral de 550
  se hace más probable.

18
Uso de la Distribuciones Muestrales para
Inferencia

• Para hacer inferencia acerca de parámetros
  poblacionales se usan las distribuciones
  muestrales (como en el Ejemplo 9.2).
• La simetría de la distribución normal junto con
  la distribución de la media muestral lleva a

- Z0,025
Z0,025
19
Uso de la Distribuciones Muestrales para
Inferencia
Distribución normal estándar Z
Distribución normal de
0,025
0,025
0,025
0,025
Z
m
0
-1,96
-1,96
20
Uso de las Distribuciones Muestrales para
Inferencia

• Conclusión
• Si la media poblacional es 600 Hay una pro-
• babilidad del 95 de que la media muestral cai-
• ga dentro del intervalo 560,8 639,2
• Dado que la media muestral fue 550, no es
  probable que la media poblacional sea 600.

21
9.3 Distribución Muestral de una Proporción

• El parámetro de interés para datos nominales
• es la proporción de veces que se presenta
• un determinado resultado(suceso).
• Para estimar la proporción poblacional p se
• usa la proporción muestral.

El estimador de p
22
9.3 Distribución Muestral de una Proporción

• Si X es binomial, las probabilidades
• se pueden calcular con la distribución
  binomial.
• Pero, para inferencia acerca de se prefiere
  usar la normal como aproximación a la binomial.

23
Aproximación Normal a la Binomial

• La aproximación normal a la binomial es mejor
  cuando
• la cantidad de experimentos (tamaño de la muestra
  ) es grande, y
• la probabilidad del suceso, p, es próxima a 0,5.
• Para que la aproximación dé buenos resultados se
  deben cumplir dos condiciones
• np 5 n(1 - p) 5

24
Aproximación Normal a la distribución Binomial
Ejemplo Aproximar la probabilidad binomial
P(x10) cuando n 20 y p 0,5 Los parámetros
de la distribución normal que usamos para
aproximar la binomial son m np s2 np(1
- p)
25
Aproximación Normal a la Distribución Binomial
Se construye una distribución normal para
aproximación de la binomial P(X 10).
m np 20(0,5) 10 s2 np(1 - p)
20(0,5)(1 0,5) 5 s 51/2 2,24
P(XBinomial 10)
0,176
10
26
Aproximación Normal a la Distribución Binomial

• Más ejemplos de la aproximación normal a la
  binomial

P(Ylt 4,5)
P(X 4) _at_
4
P(X ³14) _at_
P(Y gt 13,5)
14
27
Aproximación de la Distribución Muestral de la
Proporción Muestral

• De las propiedades del valor esperado y la
  varianza, se cumple E( ) p y V ( )
• p(1-p)/n
• Si ambos np gt 5 y np(1-p) gt 5, entonces
• Z se distribuye como una normal estándar.

28

• Ejemplo 9.3
• Un representante estatal recibió el 52 de los
  votos en la última elección.
• Un año después el representante quiere estudiar
  su popularidad.
• Si su popularidad no ha cambiado, cuál es la
  probabilidad de que más de la mitad de un muestra
  de 3000 electores lo voten?

29

• Ejemplo 9.3
• Solución
• El número de electores que prefieren el re-
  presentante es binomial con n 300 y p 0,52.
  Se tiene np 300(0,52) 156 y n(1-p)
  300(1-0,52) 144 (ambos mayores de 5)

30
9.4 Distribución Muestral de la Diferencia
Entre Dos Medias

• Se extraen dos muestras independientes de dos
  poblaciones con distribución normal.
• Interesa la distribución muestral de la
  diferencia entre las dos medias muestrales.

31
Distribución Muestral de la Diferencia Entre
Dos Medias

• La distribución de es normal si
• Las dos muestras son independientes, y
• Las distribuciones poblacionales se distribuyen
  normalmente.

32
Distribución Muestral de la Diferencia Entre
Dos Medias

• Aplicando las propiedades de valor esperado y
  varianza se tiene

33
Distribución Muestral de la Diferencia Entre
Dos Medias

• Ejemplo 9.4
• Los ingresos promedios de los funcionarios de dos
  empresas, WLU y UWO son de 62.000 (d. estándar
  14.500), y 60.000 (d. están- dar 18.300).
  (Valores anuales)
• Cuál es la probabilidad de que una media
  muestral de la WLU sea mayor que la media
  muestral de UWO (nWLU 50 nUWO 60)

34
Distribución Muestral de la Diferencia Entre
Dos Medias

• Ejemplo 9.4 Solución
• Hay que determinar

m1 - m2 62.000 - 60.000 2.000