Teoria de Probabilidades

1
Capítulo 3 Modelo de Probabilidades II-2001
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Lecturas Recomendadas

• 1.- B. Eyzaguirre , C. Le Foulen, X. Hinzpeter
  Los chilenos no saben lo que leen Revista 230.
  CEP. www.cep.cl Lectura obligatoria
• 2.- A Philosophical Essay in Probabilities.
  Marquis de Laplace. Pierre Simon Dover
  publications, Inc 1951
• (Grupo 1) General principles of the
  calculus of Probability
• Concerning
  Probability
• ( Grupo2 ) General principles of the
  calculus of Probability
• Concerning Hope
• Entregar por escrito un resumen incluyendo
  análisis critico y discusión Viernes 31 de
  agosto de 2001 a las 1700 ( Quiz 3)

3
Conceptos Básicos

• Experimento aleatorio ?
• Espacio Muestral ?
• Espacio Muestral Discreto , Continuo
• Evento o Suceso
• Sucesos elementales, seguros e imposibles
• Probabilidad grado de certidumbre
• Probabilidad y Juegos de Azar
• Probabilidad y Frecuencia relativa
• Probabilidad Subjetiva (Personal)

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Conceptos Básicos

• Experimento Aleatorio Proceso en observación
• Evento Elemental -Resultado de un
  experimento indivisible
• -Mutualmente Excluyentes si ocurre
  uno no existe posibilidad de observar
  otro
• - Equiprobable Cada evento
  simple tiene identica probabilidad
• Espacio Muestral El conjunto de todas las
  observaciones elementales
• Evento A - El conjunto de todos los
  eventos elementales observaciones posibles
  que resultan en la ocurrencia del evento A

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Conjuntos y Eventos

• (S) Espacio Muestral Todos los posibles
• resultados elementales
• s ? S, resultado elemental
• Familia de todos los eventos posibles de S
• ? Á , luego ? es un Evento
• s ? ?, luego ? evento imposible
• S ? Á , luego S es el Evento Seguro
• A y B ? Á, luego son eventos
• A?B ? Á A?B ? Á Ac ? Á, son eventos

W (S)
B
A
s
? W
6
Conjuntos vs. Eventos
Teoría Conjuntos Teoría Probabilidades S
W Universo Espacio Muestral Á Conjunto
Potencia Familia Clases de Eventos A ? Á A
subconjunto de S A es un Evento s ? A s es
elemento de A Ocurre el evento A ? Conjunto
vacío Evento Imposible S Universo Evento
Seguro A?B A unión B Evento A o Evento B A?B A
intersección B Evento A y Evento B Ac
Complemento de A Evento no-A A ? B A es
subconjunto de B A implica B A?B ? A y B son
disjuntos A y B mutuamente excluyentes
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Experimento Aleatorio

• Se toma al azar una esfera de la urna I
• Se transfiere a la urna II, se mezclan bien.
• Se elige, aleatoriamente, una esfera de la
  urna II.
• cuál es la probabilidad a priori que sea
  verde?

8
Espacio Muestral
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Distintas formas como puede resultar el
experimento. Ya que las esferas has sido sacadas
al azar, cada uno de ellos tiene la misma
posibilidad de ocurrir
II
Traspasar Roja 1
I
II
Traspasar Verde 1
II
Traspasar Verde 2
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Nociones de Probabilidad

• Probabilidad es una medida de la incertidumbre
  (Estimación de la probabilidad)
• Teórica - A Priori
• Pr (Ai) n / N
• n número de posible formas en queAi puede
  ser observado
• N número total de resultados posibles
• Histórica (empírica-frecuencia) - A Posteriori
• Pr (Ai) n/N
• n número de veces que ocurrio Ai
• N número total de observaciones
• Subjetiva
• La Opinión de un Experto

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Modelo Probabilístico
Sea una Distribución de Probabilidad P,
función que asigna a cada sub-conjunto razonable
de ? un valor entre 0 y 1.
Sea ? 2? colección de eventos razonables de
? (?-álgebra) P
01 Modelo de Probabilidad (?, , P)
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Cálculo de Probabilidades (Eventos
Equiprobables)
Noción intuitiva P(A) Resultados favorables
al evento A Resultados posibles Noción
frecuentista Sea N N total de veces que se
realiza un experimento NA N total de veces
que ocurre A P(A)
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Observación En muchas ocasiones nos preocupamos
de elegir de manera aleatoria uno o más objetos
desde una colección de objetos Sea N el número
de objetos.

• Elegir 1 objeto al azar, significa que cada
  objeto tiene la misma probabilidad de ser
  elegido. P(elegir ai ) 1/ N
• Elegir 2 objetos al azar significa que cada par
  de objetos tiene la misma probabilidad de ser
  selecionado. Supongamos que existen K de tales
  pares, entonces la probabilidad de elegir un par
  cualesquieres es 1/ K.
• Elegir r objetos aleatoriamente, r lt N, signifiva
  que cada
• r-tupla de objetos tiene la misma
  probabilidad de ser seleccionada que cualquier
  otra r-tupla.

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Probabilidad Axiomática

• Axioma 1 P(A) ? 0
• Axioma 2 P(?) 1
• Suponiendo que A1, A2,..... son eventos
• mutuamente excluyentes
• Axioma 3 P(?Ai) ?P(Ai)

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Propiedades

• 1. P(?) 0
• 2. P(A) ? 1
• 3. P(AC) 1 - P(A)
• 4. Si A ? B ? P(A) ? P(B)
• 5. P(A?B) P(A) P(B) - P(A?B)
• P(?Ai) ? ? P(Ai)
• Si A ? B ? P(B-A) P(B) - P(A?B)

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Espacio Muestral Finito

• Sea S s1, s2, s3, ...., sN
  Espacio Muestral Finito
• Ei si i 1,..N
  Evento Elemental
• ? Ei S
  Mutuamente excluyentes de a pares
• Aplicando los axiomas se tiene
• P(Ei) fi gt 0 i 1, 2, 3, .. , N
• P(? Ei) 1 ? S fi 1
• Como Ei ? Ej 0 ? i ? j ? P(Ei ? Ej)P(Ei)
  P(Ej)

N i
N i
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Probabilidad Condicional
Sean A, B dos sucesos tal que P(B) gt 0. La
probabilidad de A condicionada a la ocurrencia de
B, denotada como P(A/B) P(A/B) P(A?B)
P(B) Propiedades 1. P(A/B) ? 0 2. P(? /B)
1 3. P(?Ai/B) ? P(Ai/B) con Ai? Aj ? , ?
i, j i ?j
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Probabilidad Condicional
Centra el foco de atención en el hecho que se
sabe que han ocurrido el evento B Estamos
indicando que el espacio muestral de interés se
ha reducido sólo a aquellos resultados que
definen la ocurrencia del evento B Entonces, P(A
B) mide la probabilidad relativa de A con
respecto al espacio reducido B
W
A
B
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Probabilidad Condicional
100 piezas Manufacturadas
Evento A pieza funcionalmente defectuosa
B pieza tiene una falla visible en la
superficie P( A dado B) P(A
B) ?
19
Casos Probabilidad Condicional
20
Probabilidad Total
Sean B1, B2,....,Bn eventos mutuamente excluyent
es P( ) 1 Entonces P(A)
Consecuencia (Regla de Bayes) P(Bi/A)
P(A/Bi) P(Bi) P(A)
21
Probabilidad Total
B1
B2
B5
A Equipo Fallado
A?B1
A?B2
A?B4
A?B3
Equipo Manufacturado en Planta B2
B4
B3

• Sean B1, B2,....,Bn eventos mutuamente
  excluyentes
• P( Bi ) 1
• Entonces P(A)
  P(A Bi) P(Bi)

n
?
n
å

i
1
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Regla de Bayes

• Supongamos de que se elige aleatoriamente un
  Equipo y se encuentra que está fallado. cuál es
  la probabilidad que sea manufacturado en Planta
  B3 ?
• Se pide P(B3 A) pero sólo se conoce P(A ?
  Bi), i 1, 2, 3, .. , k
• Sabemos que P(A ? Bi) P( A Bi ) P(Bi)
  P(Bi A) P(A)

P (Bi) P (A Bi )
Bi?Bj ? i ? j ? Bi S
P (Bi A )
å
P (Bi) P (A Bi )
? j
? j
23
Probabilidad Multiplicativa
Ley Multiplicativa siempre que
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Regla de la Multiplicación

• El Número de maneras diferentes de elegir o sacar
  un elemento de del conjunto 1 que tiene n1
  elementos, luego un elemento de un conjunto 2 que
  tiene n2 elementos, ... , y finalmete un elemto
  del k-ésimo conjunto que tiene nk elemetos, en
  DONDE EL ORDEN COMO SE SELECCIONA ES IMPORTANTE
• n1 n2 ...... nk

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Ejemplo 3.1
1) Sean A,B sucesos de un mismo modelo de
probabilidad (?, ?, P) tales que P(B)0,4
P(A?B)0,7 P(A/B)0,75 Determinar P(AC)
P(A-B) P(AC?BC) P(A/BC)
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Solución
P(AC) 1 - P(A) P(A?B) P(A) P(B) -
P(A?B) P(A?B) P(A/B) P(B) 0,75 0,4
0,3 P(A) 0,7 - 0,4 0,3 0,6 P(AC)
0,4 P(A-B) P(A?BC) P(A) - P(A?B) 0,6 - 0,3
0,3 P(AC?BC) P(AC) P(BC) -
P(AC?BC) P(AC?BC) P(BC) - P(A?BC) 0,6 - 0,3
0,3 Luego P(AC?BC) 0,4 0,6 - 0,3
0,7 P(A/BC) P(A?BC) 0,3 0,5
P(BC) 0,4
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Ejemplo 3.2 Un procesador para computadores
puede provenir de cualquiera de tres fabricantes
con probabilidades p1 0,25 p2 0,50 p3
0,25. Las probabilidades de que un procesador
funcione correctamente durante 10.000 horas es
0,1 0,2 y 0,4 respectivamente para los 3
fabricantes i) Calcular la probabilidad de que
un procesador elegido al azar funcione durante
10.000 horas. ii) Si el procesador funcionó
correctamente durante el período de 10.000 horas
cuál es la probabilidad de que haya provenido
del 3er fabricante?
28
Solución
i) P(C) 0,10,25 0,20,5
0,40,25 0,225. ii) P(F3/C) P(C/F3)
P(F3) P(C) 0,4 0,25
0,444. 0,225
29
Independencia Probabilística

• Sean A, B dos eventos del modelo probabilístico
  (?, ?, P). A, B se dicen
  probabilísticamente independientes ssi
• P(A?B) P(A) P(B) ? P(A
  B) P(A)
• P(B A) P(B)

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Observaciones

• Independencia probabilística Conjunta ?
  Independencia
• 
  de a pares
• 2. Independencia probabilística de a pares ?
  Independencia probabilística Conjunta
• 3. Si A, B son eventos independientes
  probabilísticamente.
• Entonces se tiene
• - A, BC son independientes.
• - AC, BC son independientes
• - AC, B son independientes
• 4. Sea (?, 2?, P) modelo de probabilidad.
• Estudiar independencia conjunta y de a pares.

31
Independencia Probabilística
Ejemplo 3.3 Sea (?, 2?, P) modelo de
probabilidad. ? ? (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)
(1,1,1) ? P(?wi ?) 1/4 ? i 1, 4 Sean A1,
A2, A3 eventos de (?, 2?, P) A1 1era coord.
es 1 A2 2da coord. es 1 A3 3era
coord. es 1 Estudiar independencia conjunta y de
a pares.
32
Ejemplo 3.4 Independencia Probabilística
Probabilidad de cerrar los relés 1,2,3 y 4 es
p. Si todos los relés funcionan
independientemente , cuál es la probabilidad que
pase corriente de A a B
33
Variaciones

• Def Sea A un conjunto ,
  se llama variación simple o sin repetición a todo
  subconjunto de n elementos distinguiéndose estos
  entre si, en los elementos que lo componen y
  en el orden en que estos elementos van colocados
• Ax1,x2,.......xn V(n,2) n(n-1) V(n,3)
  n(n-1)(n-2)...
• V(n,k) n(n-1)(n-2)......(n-k1)
• Obs Si las variaciones son con repetición
  V1(n,k) nk

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Permutaciones
Número de maneras distintas de sacar r elementos
de lote de n ? CUANDO EL ORDEN IMPORTA Nota
Estudiar permutaciones con repetición
n objetos
35
Combinaciones
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Construcción Modelos de Probabilidad

• Sea ? una medida en el Espacio Muestral tal que
  ? (?) lt ? Longitud Superficie Volumen. etc.
• Entonces existe un función definida en IR
• P IR IR
• es una medida de Probabilidad

?(A )

P(A )
?(W )
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Ejemplo 3.5

• Problema del encuentro
• Dos estudiantes acuerd 9 10 an
  encontrarse en la biblioteca de la UTFSM entre
  las 9 A.M. y las 10 A.M. un día lunes. El
  primero que llega a la biblioteca , espera al
  otro 10 minutos (dentro del intervalo de tiempo
  pactado). Si se supone que cada uno llega al azar
  en el intervalo de tiempo convenido y que los
  tiempos de llegada son independientes.
• Cuál es la probabilidad que estos
  estudiantes se encuentren ?
• Solución X(t) Llegada del estudiante 1
• Y(t) Llegada del
  estudiante 2
• X(t)Y(t) ? 9 10x 9
  10 0 60X 0 60?
• AX(t)Y(t)
  X(t)Y(t)lt 10
• P(A) ????????? 11/ 36