Sistemas de ecuaciones lineales

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Sistemas de ecuaciones lineales

• Def.
• Un sistema de ecuaciones lineales es una
  colección de ecuaciones lineales que usan las
  mismas variables. Una solución a dicho sistema
  será aquella que al asignar valores a las
  variables, todas las ecuaciones sean satisfechas.

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Sistemas de ecuaciones lineales

• Un sistema lineal se puede comportar de las
  siguiente manera
• El sistema puede tener varias soluciones
• El sistema puede tener sólo una solución
• El sistema puede no tener solución

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Sistemas de ecuaciones lineales

• Para un sistema que consiste de dos variables
  (x y y) cada ecuación determina una línea en
  el plano xy. Como la solución a un sistema debe
  satisfacer todas las ecuaciones, la solución al
  sistema es la intersección de estas líneas, por
  lo tanto puede ser un punto, una línea o el
  conjunto vacío.

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Sistemas de ecuaciones lineales
Para el siguiente sistema x y 1 3x y
9 la solución es la intersección de las dos
líneas, el punto (2,3).
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Sistemas de ecuaciones lineales

• Para un sistema que contiene tres variables, cada
  ecuación determina un plano en un espacio
  tridimensional, por lo tanto la solución será la
  intersección de dichos planos. De esta manera la
  solución podría ser un plano, una línea, un punto
  o el conjunto vacío.

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Solución a sistemas de ecuaciones lineales

• Ejemplo

6x 8y 16 x 5y 7
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Solución a sistemas de ecuaciones lineales

• Sustitución

6x 8y 16 x 5y 7
x 7 - 5y
x 7 - 5y
y 13/19
6(7 - 5y) 8y 16
x 7 5(13/19) 68/19
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Solución a sistemas de ecuaciones lineales

• Método de Suma y Resta

6x 8y 16 -6(x 5y 7)?
6x 8y 16 -6x - 30y -42?
- 38y -26
y 26/38 13/19
x 5(13/19) 7
x 68/19
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Solución a sistemas de ecuaciones lineales

• Método de Cramer

6x 8y 16 x 5y 7
6 8 1 5
D
38
16 8 7 5
x 136/38 68/19
Dx
136
6 16 1 7
y 26/38 13/19
Dy
26
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Solución a sistemas de ecuaciones lineales

• Método de Gauss-Jordan

(
)?
6 -8 16 1 5 7
6x 8y 16 x 5y 7
(
)?
6 -8 16 0 19/3 13/3
L2 - 1/6L1
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(
)?
6 0 408/19 0 19/3 13/3
L1 - 24/19L2
6x 408/19
x 68/19
y 13/19
19/3y 13/3
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Solución a sistemas de ecuaciones lineales

• Describir la solución
• x3y-2z5
• 3x5y6z7

-3x-9y6z15 3x5y6z7
-4y12z-8
y3z2
Sustitución en x3y-2z5 x9z6-2z5
x7z-1 x-7z-1
Por lo tanto la solución al sistema puede
describirse por las sig. Ecuaciones y3z2
y x-7z-1
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Sistemas de ecuaciones lineales

• Fuentes consultadas
• Wikipedia
• http//en.wikipedia.org/wiki/System_of_linear_equa
  tions
• http//en.wikipedia.org/wiki/Gauss-Jordan_eliminat
  ion