Modles de choix discrets II

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Modèles de choix discrets (II)
Dynamique des systèmes complexes et applications
aux SHS modèles, concepts méthodes

• Mirta B. Gordon
• Laboratoire Leibniz-IMAG
• Grenoble

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plan

• introduction
• modèles en physique
• modèles en sciences sociales
• encore un modèle de Schelling !
• critical mass (p104)
• un modèle général
• modèle dun marché à bien unique
• modèle des acheteurs
• détermiation du prix par le monopoliste
• transitions de phases

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modèles en physique

• ingrédients minimalistes (modèle  simple )
• prédiction de propriétés observables
• expliquer comment des atomes  sans volonté  ni
   coordination  se rangent pour former un réseau
  cristallin
• expliquer comment des moments magnétiques
  microscopiques sordonnent pour donner lieu à
  lexistence daimants macroscopiques
• description mathématique abstraite
• déduire des résultats non ambigus et non
  intuitifs à partir dhypothèses simples
• généralisable à d'autres systèmes
• modèle dIsing du ferromagnétisme (E-½S i,k
  Jsisk)
• ? ordre-désordre dans les alliages
• ? croissance cristalline sur un substrat

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modèles en sciences humaines et sociales

• modèles deterministes
• équilibre général en microéconomie
• économie convexe (analogie avec la mécanique) -gt
  solution unique
• externalités -gt pour introduire des
  non-convexités
• modèles probabilistes
• déquilibre (mécanique statistique beaucoup de
  degrés de liberté)
• agents hétérogènes
• avec des interactions entre agents
• modèles de ségrégation et de masse critique de
  Schelling
• modèle de choix discrets (Föllmer et plus
  récents)
• dynamiques
• statistiques -gt trajectoires vers léquilibre
• dauto-organisation
• exemple simple ?

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"the dying seminar" (T. Schelling)

• situation
• des chercheurs doivent décider chaque samedi
  sils assistent ou non au séminaire du
  département
• chacun a un seuil de "masse critique" il
  nassiste que si la fraction de participants
  dépasse ce seuil
• questions
• combien de participants y aura-t-il les samedis
  successifs ?
• si lon connaît les seuils des autres
  parfaitement
• si on  apprend  à les connaître
• quelles observables utiliser pour  apprendre ?
• combien de fois doit-on  échantillonner  pour
  répondre correctement?

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formalisation

• N participants potentiels (i1,2,,N) au
  séminaire
• wi choix de chaque agent assister (wi 1)
  
• ne pas assister (wi0)
• seuil Hi e R fraction de participants au
  dessous duquel lagent i nassiste pas au
  séminaire
• fraction de personnes qui assistent
• décision individuelle

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quel est le nombre dassistants?

• on ordonne les individus par Hi croissants, et on
  représente lhistogramme du nombre de personnes
  pour chaque intervalle de seuils (H,HDH)
• lissons et normalisons (divisant par N)
  lhistogramme
• ? densité de probabilité des seuils dans la
  population f(H)
• ? courbe plus ou moins en  cloche  autour de la
  moyenne
• distribution cumulative F(H) fraction de
  chercheurs avec seuils inférieurs à H
• ? fonction sigmoïdale

fraction vs H
distribution uniforme
seuils 1
distribution normale tronquée
seuils 0 participants inconditionnels
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expérimentation

• Participation initiale 15 personnes
• Participation initiale 40 personnes
• Participation initiale 8 personnes

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exemple 1

• les seuils se trouvent répartis entre 0 et 1
• aucune personne a un seuil inférieur à 18
• 20 des personnes ont un seuil 1 ils
  nassistent que si tous assistent
• la participation se stabilise autour de 58

espéré réalisé h F(H)
taux de participation espéré F(H)
h F(H)
la distribution cumulative F(H) a une pente lt 1
au point de croisement
nombre de participants
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convergence vers léquilibre

espéré réalisé h F(H)
taux de participation espéré F(H)
h F(H)
la distribution cumulative F(H) a une pente lt 1
au point de croisement
nombre de participants
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exemple 2

• les seuils se trouvent répartis entre 0 et 1
• 18 des personnes ont un seuil 0 participants
  inconditionnels
• 20 des personnes ont un seuil 1
• la participation se stabilise autour de 0 ou de
  100

h F(H)
nombre de participants
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distribution logistique
s 1/b
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dying seminar distribution logistique

• deux solutions stables (extrêmes)
• une solution instable (au milieu)
• suivant la valeur moyenne et la variance de la
  distribution
• le séminaire meurt
• la participation est très forte
• les deux possibilités (courbe rouge)
• laquelle sera réalisée?
• problème de théorie des jeux

h F(H)
nombre de participants
h F(H)
nombre de participants
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modèle général dune population ayant à faire des
choix discretssous influence sociale

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définitions de base

• N agents (i1,2,,N)
• wi choix de chaque agent oui (?i 1)
• non (?i0)
• la notation si e 1,-1 est équivalente
• il suffit de remplacer dans toutes les équations
• suivant le contexte,  oui  et  non  veulent
  dire
• acheter ou pas,
• participer ou non,
• adopter un standard ou non,
• .... etc.

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population inhomogène

• au lieu des seuils de Schelling des préférences
  individuelles
• Hi e R envie du  oui  chez lindividu i
• distribution (gelée) des Hi dans la population
• H valeur moyenne des Hi
• dans la population
• s variance de la distribution
• f(qi) distribution des préférences
• autour de la moyenne

support compact ou infini
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influence sociale

• on peut traiter nimporte quel type de voisinage
  
• réseau de conexions ocales, régulier ou non
• réseau aléatoire, petit monde
• réseau global
• la préférence de lindividu i est représentée par
  la somme

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choix

• chaque individu maximise son utilité ou surplus
• où P est un seuil global, ou le prix dune unité
  (peut être nul)

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fin du premier cours