Choix en incertitude

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Choix en incertitude
2
Sujets à aborder

• Définition du risque
• Préférences face au risque
• Réductions du risque
• Assurance

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Définition du risque

• Pour mesurer un risque on doit connaître
• 1) Tous les résultats possibles.
• 2) La probabilité doccurrence de chaque
  résultat.

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Définition du risque

• Probabilité
• Possibilité doccurence dun événement
• Probabilité Objective
• Basée sur une fréquence observée dévénements
  passés (ex. jours de pluie)
• Probabilité Subjective
• Basée sur la perception ou lexpérience, avec, ou
  non, une fréquence passée observée
• Différentes informations ou différentes capacités
  à traiter la même information peuvent influencer
  la probabilité subjective (ex. cours boursiers)

5
Définition du risque

• Espérance mathématique
• Moyenne pondérée des payoffs ou des valeurs
  résultant de tous les résultats (outcome)
  possibles
• Les probabilités de chaque outcome sont les
  coefficients de pondérations
• Lespérance mathématique mesure la tendance
  centrale la valeur moyenne.

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Définition du risque

• Exemple
• Lancement dun nouveau parfum
• Deux résultats possibles
• Succès -- le prix de laction passe de 30 à 40
• Echec -- le prix de laction passe de 30 à 20
• Probabilité Objective
• 20 lancements, 5 succès et 15 échecs
• Probabilité (Pr) de succès 1/4 et probabilité
  déchec 3/4
• E 1/4 40 3/4 20 25 / action

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Définition du risque

• Généralisation
• Soit deux résultats possibles avec des payoffs X1
  and X2
• Les probabilités de chaque résultat sont données
  par Pr1 Pr2
• Lexpérance mathématique sécrit

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Définition du risque

• Déviation
• Difference entre le payoff attendu (la moyenne)
  et le payoff observé
• Ecart-type
• Racine carrée des carrés des déviations des
  payoffs associés à chaque résultat, par rapport à
  la moyenne.

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Définition du risque

• Exemple
• Soit 2 jobs ayant le même revenu moyen attendu
  (1,500)
• Le premier paie à la commission 1,000 si
  mauvaises ventes (50 proba), 2,000 si bonnes
  ventes (50 proba)
• Le second est salarié 1,510 en principe (99)
  ou 510 en cas de faillite de lentreprise (1
  proba)

10
Définition du risque
Calcul des espérances mathématiques

• Job 1 - Commissions

• Job 2 - Salaire

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Déviations par rapport aux revenus attendus
Définition du risque
Etat 1 Déviation Etat 2
Déviation

• Job 1 2,000 500 1,000 -500
• Job 2 1,510 10 510 -900

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Définition du risque

• Calcul des écarts-types des 2 jobs

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Définition du risque

• Prise de décision
• Un invidividu évitant le risque choisira le job
  2 même revenu moyen, mais plus grand risque.

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Définition du risque - Exemple

• Imaginez une ville voulant éviter les
  stationnements interdits.
• Hypothèses
• 1) Le parking sauvage rapporte 5 au
  conducteur en gain de temps.
• 2) Le conducteur est neutre au risque.
• 3) La crainte de lamende est nulle.
• Dans ce cas, une amende certaine de 5.01 suffit
  à éviter linfraction.

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Définition du risque

• Accroître lamende peut réduire le coût de la
  prévention. La pénalité moyenne de 5 est la
  même dans
• 50 avec une probabilité de 0.1
• 500 avec une probabilité de 0.01
• Plus les conducteurs sont averses au risque,
  moins lamende doit être élevée pour être
  efficace.

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Préférences face au risque

• Choix parmi plusieurs alternatives risquées
• Hypothèses
• Consommation dun seul bien
• Le consommateur connaît toutes les probabilités
• Les payoffs sont mesurés en termes dutilité
• La fonction dutilité est donnée

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Préférences face au risque
Exemple

• Une personne gagne 15,000, ce qui lui rapporte
  13 unités dutilité.
• Elle envisage un autre job, plus risqué.
• Elle a 50 de chance daccroître son revenu à
  30,000, et 50 de chance de le diminuer à
  10,000.

18
Préférences face au risque

• Elle déterminera son choix en fonction de
  lespérance de lutilité (E(u)) apportée par le
  résultat. A savoir
• Lespérance de lutilité sécrit
• E(u) (1/2)u(10,000) (1/2)u(30,000)
• 0.5(10) 0.5(18) 14
• E(u) du nouveau job est 14, supérieur à 13,
  lutilité actuelle 13. Elle choisira donc le
  nouveau job.

19
Préférences face au risque

• L espérance de lutilité est la somme des
  utilités associées à chaque état pondérées par
  les probabilités de chaque état.
• Sécrit E(U) . ! A ne pas confondre avec U (E),
  qui est lutilité associé à lespérance
  mathématique du résultat, qui néglige laspect
  risque. Voir plus loin.

20
Préférences face au risque

• Les préférences sont différentes face au risque
• Les gens peuvent être averses, neutres, ou
  favorables au risque.
• Averse au risque préférer un revenu certain à
  un revenu risqué, de la même expérance
  mathématique.
• Lutilité marginale du revenu est décroissante
  chez les personnes averses au risque.

21
Préférences face au risque
Aversion au risque
U(E) courbe des revenus certains
Utilité
E(U) courbe des gains moyens
Revenu (1,000)
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Préférences face au risque

• Mesure de laversion au risque
• RA (w) - u (w)
• u (w)
• où w est la fortune u la fonction dutilité
  concave
• Une personne est neutre au risque si elle ne
  montre pas de préférence entre un revenu certain,
  et un revenu incertain de même espérance
  mathématique. Dans ce cas E(u)U(E).

23
Préférences face au risque
Neutralité au risque
E
Utilité
18
C
12
A
6
Revenu (1,000)
0
10
20
30
24
Préférences face au risque

• Une personne est dite aimer le risque si elle
  montre une préférence pour un revenu incertain,
  par rapport à un revenu certain de même espérance
  mathématique. Dans ce cas E(u)gtU(E).
• Exemples Jeu, certains délits

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Préférences face au risque
Lamour du risque
Utilité
E
18
C
8
A
3
Revenu (1,000)
10
20
30
0
26
Préférences face au risque

• La prime de risque est le montant quune personne
  averse au risque est prête à payer pour éviter de
  prendre un risque.
• Soit lexemple du job risqué
• 30,000 à 50 et probabilité et 10,000 à 50
  (revenu moyen 20,000).
• Lespérance de lutilité de cette distribution de
  revenus vaut
• E(u) .5(18) .5(10) 14
• Combien lindividu est-il prêt à payer pour
  éviter le risque?

27
Préférences face au risque
Prime de risque ici de 4,000 parce quun revenu
certain de 16,000 donne à lindividu la même
utilité quun revenu incertain despérance
mathématique de 20,000
Utilité
Revenu (1,000)
0
10
16
28
Préférences face au risque

• La variabilité des payoffs potentiels accroit la
  prime de risque.
• Exemple
• Un job à 50 de probabilité de rapporter 40,000
  (u20) et 50 de probabilité de rapporter 0
  (u0).
• Lespérance du revenu reste à 20,000, mais
  lespérance de lutilité (E(u)) tombe à 10.
• E(u) .5u(0) .5u(40,000)0 .5(20)10

29
Préférences face au risque
Prime de risque ici de 10,000 parce quun revenu
certain de 10,000 donne à lindividu la même
utilité quun revenu incertain despérance
mathématique de 20,000
Prime de risque
Utilité
G
20
18
E
C
14
A
F
10
Equivalent certain
Revenu (1,000)
0
10
16
30
40
20
30
Préférences face au risque

• Le revenu certain apportant la même utilité
  quune loterie est son équivalent certain.
• La concavité des courbes dutilité indique le
  trade-off entre risque et espérance mathématique,
  et donc laversion au risque.
• A noter aussi que la concavité des courbes
  dutilité traduit également la décroissance de
  lutilité marginale.

31
Aversion au risque et courbes dindifférences
U3
Grande aversion au risque laccroissement du
risque demande beaucoup daccroissement de revenu
pour maintenir le même niveau dutilité.
Espérance de revenu
U2
U1
Ecart-type du revenu
32
Aversion au risque et courbes dindifférences
Espérance de revenu
Moindre aversion au risque laccroissement du
risque demande un plus faible accroissement de
revenu pour maintenir le même niveau dutilité.
U3
U2
U1
Ecart-type du revenu
33
Managers et choix du risque

• Etudes sur 464 managers exécutifs
• 20 sont neutres au risque
• 40 sont favorables au risque
• 20 sont averses au risque
• 20 nont pas répondu
• Si les gains espérés sont les mêmes, ils optent
  pour les situations moins risquées.
• Font des efforts importants pour réduire le
  risque en reportant des décisions et en
  rassemblant plus dinformations.

34
Réduction du risque

• Les trois façons pour les individus de réduire le
  risque sont
• 1) La diversification
• 2) Lassurance
• 3) Lobtention de plus dinformation

35
Réduction du risque
Diversification

• Une firme peut réduire son risque en diversifiant
  ses activités dans des domaines peu liés entre
  eux.
• Exemple vente dair conditionné et de
  chauffages.
• Application le marché des actions - voir
  chapitre suivant.

36
Réduction du risque
Assurance

• Des individus averses au risque sont prêts à
  payer pour éviter un risque.
• Si le coût de lassurance égale la perte
  attendue, alors les individus averses ou neutres
  au risque achèteront suffisamment dassurance
  pour couvrir totalement leur perte potentielle.

37
Réduction du risque - Assurance

• Eléments de choix dune assurance à termes fixes
  
• probabilité du sinistre ?
• en cas de sinistre perte de l
• prime dassurance L
• sans assurance perte de l avec une
  probabilité ?, et conservation de la fortune sans
  sinistre
• en 2de période w1 w0.(1- ?) (w0-l). ?
• avec assurance paiement de la prime dans tous
  les cas et pas de perte en cas de sinistre
• en 2de période w1 w0-L, avec certitude

38
Réduction du risque - Assurance

• Graphiquement

Prime dassurance max. pour une couverture
complète
Utilité
U(w0)
E
C
U (W0-?.l) U(W0-L)
On voit que, plus l aversion au risque croît,
plus lindividu est prêt à payer pour une
assurance, au-delà de lespérance mathématique du
sinistre.
F
A
U(W0 - l)
Revenu (1,000)
0
W0
W0-?.l
W0 - l
W0-L
39
Réduction du risque - Assurance

• La prise dune assurance transfère de la richesse
  et accroît lutilité attendue.
• Par la loi des grands nombres et les données
  historiques, le risque peut être prédit par type
  dévénement (mortalité, accidents, vols).
• Cependant, le comportement de lassuré, débarassé
  du risque, peut se modifier et accroître la
  probabilité de sinistre problème daléa moral
  et dasymétrie dinformation entre assureur et
  assuré.

40
Réduction du risque
Valeur de linformation

• Valeur de linformation complète
• Difference entre la valeur attendue dun choix
  avec information complète, et la valeur attendue
  avec information incomplète.

41
Réduction du risque
Valeur de linformation - Exemple

• Soit le patron de Zara. Combien de costumes
  dautomne commander ?
• Commande 100 costumes 180 /pièce
• Commande 50 costumes 200 /pièce
• Le prix de vente est de 300 .
• Invendus remboursables à 1/2 prix.
• Probabilité subjective de vente de chaque
  quantité 50.

42
Réduction du risque

• Achat de 50 Coût 10,000
• Achat de 100 Coût 18,000
• Vente de 50 C.A. 15,000
• Vente de 100 C.A 30,000
• Matrices des profits

Vente de 100
Vente de 50
Achat de 50
5,000
5,000
Achat de 100
1,500
12,000
43
Réduction du risque

• En information incomplète
• Neutralité au risque achat de 100 costumes
  (profit max. supérieur)
• Aversion au risque achat de 50 costumes
• Espérance mathématique du profit en incertitude
  0.512,000 0.51,500 6,750
• En information complète (certitude)
• Profit 0.55,000 0.512,000 8,500
• Valeur de linformation complète 1,750