LE CHOIX EN CONTEXTE D

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LE CHOIX EN CONTEXTE DINCERTITUDE (suite...)

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• Un individu qui a de laversion pour le risque
  (risquophobe) préférera un revenu certain R à une
  situation risquée despérance E(R) R.
• Un individu qui est neutre face au risque
  sera indifférent entre un revenu certain R et une
  situation risquée despérance E(R) R.
• Un individu qui est risquophile (aime le
  risque) préférera une situation risquée
  despérance E(R) R à un revenu certain R.

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(No Transcript)
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La prime de risque

• La personne qui a de laversion pour le risque
  est prête à payer une prime de risque.
• La prime de risque correspond à la différence
  entre lespérance de revenu E(R) dune situation
  risquée et léquivalent certain R qui procure le
  même niveau dutilité que la situation risquée.

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(No Transcript)
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Ex Assurance-collision dune voiture dont la
valeur est de 4000
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Supposons U f(R) R 1/3(individu risquophobe)

• Sans assurance
• Le revenu espéré est
• E(R) P1 R1 P2 R2
• 1/10 (0) 9/10 (4000)
• 3 600

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• Sans assurance
• Lutilité espérée est
• E(U(R)) P1 U(R1) Pb U(Rb)
• 1/10 (0)1/3 9/10 (4 000)1/3
• 0 14,29
• 14,29

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• Quel est léquivalent certain (revenu certain)
  qui me procure le même niveau dutilité ?
• U R 1/3 ? 14,29 R 1/3
• (14,29)3 R
• 2 918 R

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• La prime de risque correspond à
• E(R) sans assurance - R (revenu certain
  procurant le même niveau dutilité que la
  situation sans assurance)
• 3 600 - 2 918 682

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Attention !!!

• ICI
• Prime de risque ? prime dassurance
• La prime dassurance maximale quil sera prêt
  à payer correspond à
• Prime de risque coût de lassurance

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• Le coût de lassurance est de 400 qui
  correspond à la perte espérée de la police
  dassurance
• La valeur espérée de la police dassurance est
• 1/10 (-4000) 9/10 (0)
• - 400

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• Au départ, si lindividu ne sassure pas du
  tout, il supporte tout de même une perte espérée
  de 400 puisque le risque davoir un accident
  est là.
• Une assurance complète doit couvrir cette perte
  espérée puisque lassurance sert justement à
  transférer la totalité du risque à lassureur.

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• Il est par conséquent prêt à payer jusquà
• 682 400 1 082
• pour son assurance.
• Si un assureur lui offre de payer une prime lt 1
  082 , lindividu choisira de sassurer.
• Si la prime gt 1 082 , lindividu choisit de ne
  pas sassurer.

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• La prime dassurance maximale quun individu
  est prêt à payer correspond au coût de
  lassurance (fonction du risque en tant que tel)
  la prime de risque que lindividu est prêt à
  payer. (elle est directement fonction de la
  préférence de lindividu face au risque)

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Même exemple, mais avec U f(R) R 1/ 2

• Sans assurance
• Le revenu espéré est toujours de
• E(R) P1 R1 P2 R2
• 1/10 (0) 9/10 (4 000)
• 3 600

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• Sans assurance
• Lutilité espérée est
• E(U(R)) P1 U(R1) Pb U(Rb)
• 1/10 (0)1/2 9/10 (4000)1/2
• 0 63,24
• 56,92

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• Quel est léquivalent certain (revenu certain)
  qui me procure le même niveau dutilité ?
• U R 1/2 ? 56,92 R 1/2
• (56,92)2 R
• 3 240 R

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• La prime de risque correspond à
• E(R) sans assurance - R (revenu certain
  procurant le même niveau dutilité que la
  situation sans assurance)
• 3 600 - 3 240 360

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• Il est par conséquent prêt à payer jusquà
• 360 400 760
• pour son assurance.
• (Le premier montant correspond à la prime de
  risque de lindividu et le deuxième correspond au
  coût de lassurance).

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• Même un individu qui est neutre face au risque
  sera prêt à payer un maximum de
• 400 pour une police lui permettant de
  couvrir un risque de 400 (perte espérée sans
  assurance).
• Il serait indifférent entre la situation
  risquée sans assurance E(R) 3 600 et la
  situation certaine (lassurance dont la prime est
  de 400 ) puisque son revenu certain sera alors
  de 3 600 .

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Ex U f(R) R/100(individu neutre face au
risque)

• Lutilité espérée devient
• E(U(R)) P1 U(R1) P2 U(R2)
• 1/10 (0) 9/10 (40)
• 36

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• Quel est léquivalent certain qui me procure
  le même niveau dutilité ?
• R/100 36 ?? R 3 600
• La prime de risque de cet individu est
• 3 600 - 3 600 0

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• La prime de risque est nulle parce que, par
  définition, lindividu neutre face au risque est
  indifférent entre une situation certaine de
  revenu R 3 600 (avec assurance dont le coût
  est de 400 ) et une situation risquée de revenu
  espéré E(R) 3 600 (situation sans assurance)
• Par conséquent, il nest prêt quà payer le
  coût de lassurance, soit 400 .

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• Au contraire, lindividu qui a de laversion
  pour le risque nest pas indifférent entre la
  situation certaine de revenu R 3 600 et la
  situation risquée de revenu espéré E(R)
• 3 600 (par définition, il préfère la
  situation certaine).
• Il est prêt à payer une prime pour se
  retrouver dans la situation certaine. Cette
  prime (maximale) est ici de 682 .

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Interprétation de la prime de risque

• On peut également dire quil faut compenser
  les individus qui ont de laversion pour le
  risque par une prime de risque adéquate pour
  quils acceptent de prendre un risque.

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• Reprenons notre exemple de départ.
• Si notre individu dispose dun revenu certain de
  2 918 , il faut lui offrir un rendement espéré
  plus élevé dau moins
• 682 pour quil choisisse la situation
  risquée de notre exemple.
• Selon son aversion pour le risque, la
  compensation doit être dau moins 682 .

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• Ou encore, il est vrai de dire que, face à la
  situation risquée de notre exemple, notre
  individu est prêt à renoncer (ou sacrifier) à 682
  (la prime de risque) de revenu espéré pour se
  retrouver dans la situation certaine.
• ? ? vous êtes indifférent entre la situation
  riquée despérance E(U) 3 600 et le revenu
  certain de 2 918 .

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Autre exemple

• Vous avez un emploi qui vous rapporte un salaire
  fixe de 20 000 par année.
• On vous offre un emploi dont le salaire est
  variable. Il y a alors une chance sur deux
  dobtenir un salaire de 15 000 et une chance
  sur 2 dobtenir un salaire de 27 000
• Si votre fonction dutilité est Uf(R)R 1/2,
• accepterez-vous cet emploi ?

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Le salaire espéré de ce nouvel emploi
est E(R) P1 R1 P2 R2 1/2
(15 000) 1/2 (27 000) 21 000
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• Lutilité espérée de ce nouvel emploi est
• E(U(R)) P1 U(R1) P2 U(R2)
• 1/2 (15 000)1/2
• 1/2 (27 000)1/2
• 143,39

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• Lutilité de votre emploi actuel est
• R1/2 (20 000) 1/2 141,42
• Puisque 143,39 gt 141,42 vous accepterez cet
  emploi.

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• On peut également dire qu il faut compenser
  les individus qui ont de laversion pour le
  risque si on veut quils prennent un risque en
  leur offrant un revenu espéré plus élevé (on
  parle toujours de prime de risque, i.e. dune
  prime de rendement pour le risque).

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Demande pour les actifs risqués

• Il existe une demande pour des actifs risqués
  (dont les flux de revenu sont incertains) dans la
  mesure ou ceux-ci compensent adéquatement
  linvestisseur pour le risque, en leur offrant un
  rendement espéré plus élevé que le rendement sur
  les actifs plus sûrs.

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Exemple

• Un investisseur a 10 000 à investir.
• Deux placements possibles
• Une obligation du gouvernement portant intérêt
  à 5 .
• VS
• Acheter 1 000 actions de la compagnie ABC à 10
  .

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• Supposons que la compagnie ABC développe un
  nouveau logiciel dapplication multimédia.
• Si le produit atteint le stade de la
  commercialisation, le prix de laction montera à
  20 ?? probabilité de 60 .
• Si le produit développé est un échec, le prix
  de laction chute à 3 ? probabilité de
• 40 .

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• Lobligation offre un revenu certain de
• 10 000 (1 0.05) 10 500
• Laction offre un revenu espéré de
• (1000 x 3 ) x 0.4 (1000 x 20 ) x 0.6
• 13 200
• Si linvestisseur a une fonction dutilité
• U f(R) R 1/ 2
• Quel placement choisira-t-il ?

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• Lutilité du revenu certain de lobligation
  est de
• U (10 5000) 1/2 102,47
• Lutilité espérée des revenus incertains
  procurés par laction dABC est de
• E(U) 0.4 x (1000 x 3)1/2
• 0.6 x (1000 x 20)1/2
• 21.90 84.85
• 106.75

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• Puisque
• 106.75 gt 102.47
• linvestisseur choisira dinvestir dans les
  actions de la compagnie ABC.
• Ici, la prime de rendement (rendement espéré)
  offerte par les actions dABC
• 13 200 - 10 500 2 700
• est suffisante pour compenser le risque que
  prend linvestisseur.

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À retenir

• - Dans un contexte dincertitude, les individus
  fondent leurs décisions sur lutilité espérée.
• - La forme des courbes dutilité selon quun
  individu est risquophobe, neutre au risque ou
  risquophile.
• - Comment calculer la prime de risque