2' Optimisation sans contrainte - PowerPoint PPT Presentation

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2' Optimisation sans contrainte

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Hypoth se: La fonction f est d finie sur l'intervalle [a, b] et est unimodal; ... choisir un certain nombre de points selon une start gie bas e sur les ... – PowerPoint PPT presentation

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Title: 2' Optimisation sans contrainte


1
  • 2. Optimisation sans contrainte
  • Fonctions à une seule variable

2
2.1. Méthodes nutililisant que les valeurs des
fonctions
  • Méthode de Fibonacci
  • Hypothèse La fonction f est définie sur
    lintervalle a, b et est unimodal
  • i.e., f ne possède quun
    seul minimum local dans a, b

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  • Lapproche consiste
  • à choisir un certain nombre de points
    selon une startégie basée sur les
  • nombres de Fibonacci
  • à évaluer séquentiellement la valeur
    de la fonction à ces points
  • avec lobjectif de réduire la longuer
    de lintervalle contenant le
  • minimum local en se basant sur la
    propriété dunimodalité de la
  • fonction

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  • Étant données les valeurs de la fonction en deux
    points de lintervalle, lunimodalité permet
    didentifier une partie de lintervalle où le
    minimum ne peut se retrouver

a
a
a
b
b
b
x1
x1
x1
x2
x2
x2
5

a
b
x1
x2
x3
x4
Choisir deux points x1 et x2 symétrique et à la
même distance de chaque extrémité de
lintervalle a, b
Choisir le prochain point symétriquement par
rapport au point déjà dans lintervalle
résultant.
6

a
b
x1
x2
x3
x4
Choisir le prochain point symétriquement par
rapport au point déjà dans lintervalle résultant.
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Stratégie optimale de sélection des points
dévaluation
  • Notation
  • d1 b a, la longueur de
    lintervalle initial
  • dk longueur de lintervalle après
    avoir utilisé k points dévaluation
  • Fk la suite des nombres de
    Fibonacci définie comme suit
  • F0 F1 1
  • Fn Fn-1 Fn-2
    n 2, 3, .
  • 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,
    21,

8
Stratégie optimale de sélection des points
dévaluation
  • Supposons que nous décidons au départ dutiliser
    N points dévaluation.
  • Procédure se résume comme suit
  • Les deux premiers points sont choisis symétriques
    à une distance
  • de chacune des extrémités de
    lintervalle a, b. Une partie de
  • lintervalle est éliminée en se basant
    sur lunimodalité de la fonction.
  • Il en résulte un intervalle de
    longueur .
  • Le troisième point est choisi symétriquement par
    rapport au point déjà dans lintervalle
    résultant. Ceci engendre un intervalle de
    longueur

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Stratégie optimale de sélection des points
dévaluation
  • Les deux premiers points sont choisis symétrique
    à une distance
  • de chacune des extrémités de
    lintervalle a, b. Une partie de
  • lintervalle est éliminée en se basant
    sur lunimodalité de la fonction.
  • Il en résulte un intervalle de
    longueur .
  • Le troisième point est choisi symétriquement par
    rapport au point déjà dans lintervalle
    résultant. Ceci engendre un intervalle de
    longueur
  • En général le point suivant est choisi
    symétriquement par rapport au point déjà dans
    lintervalle résultant.

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  • En général le point suivant est choisi
    symétriquement par rapport au point déjà dans
    lintervalle résultant.
  • Note Selon iii. , le dernier point N devrait
    être placé au centre de lintervalle
  • superposé à celui sy trouvant déjà.
    En effet, puisquen utilisant cette
  • stratégie de sélection des points
    dévaluation, nous avons que

11
  • Note Selon iii. , le dernier point N devrait
    être placé au centre de lintervalle superposé à
    celui sy trouvant déjà. En effet, puisquen
    utilisant cette stratégie de sélection des points
    dévaluation, nous avons que

12
  • En utilisant cette stratégie de sélection des
    points dévaluation,
  • et il est possible de démontrer que
  • est le plus petit intervalle quil est
    possible dobtenir en utilisant N
  • points dévaluations

13
  • En utilisant cette stratégie de sélection des
    points dévaluation,
  • Ainsi, lorsque le nombre de points
    dévaluation N devient très grand
  • pour tendre vers linfini, la suite
    des valeurs

14

0
1
N 5 1, 1, 2, 3, 5, 8
15

0
1
N 5 1, 1, 2, 3, 5, 8
16

0
1
N 5 1, 1, 2, 3, 5, 8
17

0
1
N 5 1, 1, 2, 3, 5, 8
18
  • Méthode de la section dorée
  • ( nombre dor t 1.618)
  • La méthode de la section dorée utilise la
    même stratégie que la méthode de Fibonacci pour
    selectionner les points dévaluation, mais le
    nombre de points dévaluation nest pas spécifié
    au départ.
  • Pour spécifier les deux premiers points,
    nous procédons comme dans la
  • méthode de Fibonacci en les prenant
    symétriques à une distance
  • de chaque extrémité en considérant que N ?
    8.

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  • La méthode de la section dorée utilise la même
    stratégie que la méthode de Fibonacci pour
    selectionner les points dévaluation, mais le
    nombre de points dévaluation nest pas spécifié
    au départ.
  • Pour spécifier les deux premiers points,
    nous procédons comme dans la
  • méthode de Fibonacci en les prenant
    symétrique à une distance
  • de chaque extrémité en considérant que N ?
    8.

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2.2 Méthode utilisant les dérivées
  • Méthode de bisection (ou de bipartition)
  • Méthode pour identifier le 0 dune fonction
    g(x) sur un intervalle a, b.
  • Si , alors la méthode
    de bisection peut être utilisée pour identifier
    un point où la dérivée dune fonction sannule.
  • Hypothèse Sur lintervalle a, b, la
    fonction g est continue et telle que
  • g(a) g(b) lt 0 (i.e.,

21
  • Principe de la méthode à chaque itération,
    réduire la longueur de

  • lintervalle contenant en la divisant en
    deux.

22

g
a
b
c
23

g
a
b
c
24

g
c
a
b
25

g
a
b
26
2.2 Méthode utilisant les dérivées
  • Méthode de bisection (ou de bipartition)
  • Méthode pour identifier le 0 dune fonction
    g(x) sur un intervalle a, b.
  • Si , alors la méthode
    de bisection peut être utilisée pour identifier
    un point où la dérivée dune fonction sannule.
  • Hypothèse Sur lintervalle a, b, la
    fonction g est continue et telle que
  • g(a) g(b) lt 0 (i.e.,

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  • Principe de la méthode à chaque itération,
    réduire la longueur de

  • lintervalle contenant en la divisant en
    deux.

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  • Puisque par hypothèse g est continue sur a, b
    et g(a) g(b) lt 0,
  • g change de signe entre a et b
  • g sannule en un point entre a et b
  • la méthode génère une suite
    dintervalles de longueur décroissante
  • jouissant de la même propriété
  • La suite des valeurs des longueurs des
    intervalles est la suivante

29

30
  • La suite des valeurs des longueurs dintervalle
    est la suivante

31

Hypothèse g(a) g(b)lt0 est essentielle
a
b
c
32

Hypothèse g(a) g(b)lt0 est essentielle
a
b
c
33

Hypothèse g(a) g(b)lt0 est essentielle
a
b
c
34

Hypothèse g(a) g(b)lt0 est essentielle
Uniquement lintervalle initial contient la
racine
a
b
35
  • Méthode de Newton
  • Rappel Formule de Taylor dordre n

36
  • Méthode de Newton
  • Hypothèses

37

qk
f
xk
38

qk
f
xk
xk1
39
Convergence de la méthode de Newton

40

41

42

43
Convergence de la méthode de Newton

44

45

46

47
  • Note
  • Méthode également utilisée pour déterminer un
    point où la fonction sannule. Il suffit de
    considérer la fonction

48

g
49
  • Importance de lhypothèse que x0 soit
    suffisemment près de x

50
  • Importance de lhypothèse que x0 soit
    suffisemment près de x

51
  • Importance de lhypothèse que x0 soit
    suffisemment près de x

52
  • Importance de lhypothèse que x0 soit
    suffisemment près de x

53
  • Importance de lhypothèse que x0 soit
    suffisemment près de x

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  • Importance de lhypothèse que x0 soit
    suffisemment près de x

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  • Méthode de la fausse position
  • Hypothèses

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58
Convergence de la méthodede la fausse position

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  • Importance de lhypothèse que x0 et x1 soit
    suffisemment près de x
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