Title: Statistique Descriptive Chapitre 2: Param
1Statistique DescriptiveChapitre 2 Paramètres de
tendance centrale
- Pr. Abdelkrim EL MOUATASIM
- EST FSE de Guelmim
- Maroc
2- Les paramètres statistiques ont pour but de
résumer, à partir de quelques nombres clés,
l'essentiel de l'information relative à
l'observation d'une variable quantitative.
3Principales grandeurs économiques du secteur
industriel dérivé de la pêche
Indicateurs A terre En mer
Effective unités 391 353
Effective emplois 70 000 10 000
Production (en tonne) 343 000 64 500
Chiffre daffaires (en Dh) 11 milliards 3,7 milliards
Source Etude des schémas régionaux daménagement
du territoire des provinces du sud, 2010.
4- On définira plusieurs sortes de paramètres
- Certains, comme la moyenne, seront dits de
tendance centrale car ils représentent une valeur
numérique autour de laquelle les observations
sont réparties. - D'autres, par exemple, seront dits de dispersion
car ils permettent de résumer le plus ou moins
grand étalement des observations de part et
d'autre de la tendance centrale.
5Objectifs de ce chapitre
Statistiques descriptives à une variable
paramètres de position
- Pouvoir résumer une série de données par un ou
plusieurs paramètres représentatifs (moyenne,
médiane)
6Plan de la partie
Paramètres de tendance centrale
Voici les chapitres que nous allons aborder
- Mode.
- Médiane.
- Moyennes.
7Introduction
- Les tableaux et graphiques contiennent la
totalité des données ils sont parfois durs à
interpréter. - On va chercher à résumer les données par quelques
valeurs numériques. - Dans cette partie, on sintéresse aux paramètres
de tendance centrale, i.e. aux paramètres
mesurant le centre des séries statistiques.
82.1 Le mode (Mo)
C'est la valeur dont la fréquence est la plus
élevée.
Détermination du mode
- Cas d'une variable discrète Le mode est
facilement repérable. Sur le tableau statistique,
c'est la valeur xi pour laquelle la fréquence est
la plus élevée
9Exemple
- Soit la série de chiffres
- 8, 8, 8, 7, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5,
6 - La valeur la plus fréquente est le 4
Mode
10Cas d'une variable continue
- les données sont groupées en classes on définit
la classe modale comme la classe correspondant à
la fréquence la plus élevée ni. En peut calculer
le Mode par la formule suivante - Borne inférieure de la classe modale
Amplitude de classe - d1ni ni-1 et
d2ni ni1
11Exemple Le Mode (valeurs groupées)
0.08,0.25 est la classe modale pour le débit
. Daprès la formule de le mode Mo 0.08
a(d1/(d1d2)) avec a 0.25-0.08 0.17
d1 22-0 22 et d2 22-8 14 donc Mo 0.08
0.1722/36 0.184
12- Si la distribution présente 2 ou plus maxima
relatifs, on dit qu'elle est bimodale ou
plurimodale. - Si la série na quun seul mode, elle est dite
unimodale. - On peut définir de même le mode pour un caractère
qualitatif.
13(No Transcript)
14 2.2 La médiane Me
- Si la série brute des valeurs observées est
triée par ordre croissant - La médiane Me dun série statistique est la
valeur qui partage cette série en deux séries de
même effectif.
15(No Transcript)
16- c'est-à-dire que
- Si n est impair, soit n 2 p 1 ,
- Me x(p1)
- Si n est pair, soit n 2 p, toute valeur de
l'intervalle médian x(p) x(p1) répond à la
question. - Afin de définir Me de façon unique, on choisit
souvent -
- soit le centre de l'intervalle médian.
17- Par exemple, la médiane de la série de tailles
ci-contre est - Me (m)
- Aurait-elle été différente si on avait noté par
erreur la plus petite taille 0.55 m au lieu de
1.55 ?
18 Cas d'une variable continue
- Pour des données groupées en classes, la classe
médiane est la classe qui contient la médiane. On
détermine la médiane par interpolation linéaire.
19- De manière générale, si a et b sont les bornes de
la classe contenant la médiane, F(a) et F(b) les
valeurs de la fréquence cumulée croissante en a
et b, alors -
20Dans le cas d'une variable groupée en classes, en
peut calculer la médiane par la formule
suivante
Lo Limite inférieure de la classe médiane ai
Amplitude de la classe médiane n Nombre total
des observations Ni-1 effectif cumulé croissant
de la classe inférieure à la classe médiane ni
effectif de la classe médiane
21La médiane est la valeur de rang (43 1) / 2
cest à dire 22, celle ci se trouve dans la
classe 6-8, la classe 6 - 8 est donc la classe
médiane. Me 6 2(21.5 13)/12
22(No Transcript)
23Moyenne Arithmétique
- Appelée moyenne notée
- Paramètre central qui concerne bien évidemment
uniquement des variables quantitatives. - Dans lunité de la variable.
- Calculable quelque soit la loi qui régit la
distribution. - Suivant la forme de présentation des
observations, différentes formules de calcul
peuvent être employées.
24Moyenne arithmétique
- On note
- n Nombre total de mesures.
- k Nombre de valeurs différentes observées.
- ni Nombre doccurrences de la valeur observée
i. - fi Fréquence relative (pourcentage) de la
valeur observée i.
252.3 La moyenne arithmétique
- La moyenne arithmétique d'une série statistique
(xi, ni) se calcule de la manière suivante
La moyenne s'exprime toujours dans la même unité
que les observations xi . Elles peut être
décimale, même si les xi sont entiers par nature.
26- Ainsi la moyenne arithmétique du nombre d'appels
reçus à un standard est 2,97 appels
27Plus généralement, lorsqu'on ne dispose que de
la distribution regroupée en classes
28- on calculera la moyenne par
- xi étant le centre de classe.
29Exemple
- Soit la série correspondant aux tailles en cm de
6 étudiants 160,170,180,180, 190, 200. - n 6 T 160170180180190200 1080
30Exemple
Le nombre de familles enquêtées est de 53. Le
nombre total denfants est de 77. La moyenne du
nombre denfants par famille est de 77/53
1,45. Attention aux arrondis ici si on arrondit
à une décimale la moyenne est de 1,5 enfants par
famille.
nombre d'enfants (xi) nombre de familles (ni) nixi
0 10 0
1 20 20
2 15 30
3 5 15
4 3 12
Total 53 77
31Remarque 1
- Pour plusieurs populations d'effectifs n1, n2,
....., nk, de moyennes respectives -
- moyenne globale moyenne des moyennes
32- Comparons le salaire moyen dans 2 entreprises
- Entreprise A
- 1/ 3 de femmes , salaire moyen 8000Dh
- 2/3 hommes, salaire moyen 11000
- Dans l'entreprise A le salaire moyen est de .
- Entreprise B
- 2/ 3 de femmes , salaire moyen 9000Dh
- 1/3 hommes, salaire moyen 12000
- Dans l'entreprise B le salaire moyen est de .
33- On constate donc que le salaire moyen de B est
égal à celui de A. Pourtant le salaire moyen des
hommes est supérieur en B à celui des hommes en
A. Il en est de même pour les femmes. - D'où vient ce résultat paradoxal ?
- Il s'agit d'un effet de structure cela vient du
fait que les femmes (au salaire plus bas) sont
plus nombreuses en B qu'en A.
34Exemple
- Les étudiants de première année de L1 santé sont
répartis dans 3 amphithéâtres avec les données
ci-dessous. Quelle est la moyenne de lâge en L1
santé ?
Effectifs Moyenne de l'âge en années
Amphi 1 1000 18,1
Amphi 2 500 19,5
Amphi 3 1000 18,3
- Les effectifs étant différents dans les 3
groupes, la moyenne recherchée nest pas la
moyenne des moyennes. - On calcule le total de lâge des 3 groupes réunis
T 18,11000 50019,5 18,31000 46 150. - Leffectif total est de 2 500.
- La moyenne recherchée est 46150/2500 18,5 ans
35Moyenne arithmétique
- Propriétés
- Centre de gravité de la distribution.
- La somme des écarts à la moyenne est nulle.
-
- La moyenne minimise les distances au carré
363. Moyennes
- Avantages
- Elle a de bonnes propriétés calculatoires comme
la linéarité - si est la moyenne dune série (xi, ni)
alors la moyenne de la série (axib, ni) est - Elle prend en compte lensemble des valeurs
(contrairement au mode).
373. Moyennes
- Inconvénient
- Elle est très sensible aux valeurs extrêmes .
- Exemple si dans votre entreprise les 10
salariés (dont vous faites partie) gagnent chacun
1500 par mois et que le patron gagne lui 7000
par mois, le salaire moyen mensuel est de 2000
38Exemple
- Dans une entreprise de 100 salariés, le salaire
moyen est égal à 8 400 Dh. - Supposons qu'une erreur se soit glissée lors de
la transcription des salaires. - Monsieur Dahbi est crédité d'un salaire de 108
000 DH au lieu de 8 000 Dh. - De combien augmenterait la moyenne ?
-
-
-
39- La nouvelle moyenne est de .
- Une seule valeur (sur 100) peut donc beaucoup
modifier la moyenne. - La moyenne arithmétique est sensible aux valeurs
extrêmes.
40Les autres moyennes
- Moyenne géométrique d'une série de valeurs
positives est la racine nième du produit des n
valeurs. Elle est toujours inférieure ou égale à
la moyenne arithmétique. - Moyenne harmonique d'une série de valeurs
positives est égale à l'inverse de la moyenne des
inverses. - Moyenne quadratique est la racine carré de la
moyenne arithmétique des carrés.
413. Moyennes
- Moyenne géométrique
- Avec les notations précédentes
- est la moyenne géométrique de la série
statistique.
Pour le calcul, on applique Log G
n1Logx1n2Logx2.nkLogxk
423. Moyennes
- Exemple
- Lessence a augmenté de 10 lan dernier et de
30 cette année. Quelle est le taux
daugmentation annuelle ? - Ce nest pas 20 ! La moyenne arithmétique ne
convient pas. - Si t est ce taux, on a bien sûr
- et donc t 0,19619,6.
- La bonne moyenne est ici la moyenne
géométrique.
433. Moyennes
- Moyenne harmonique
- Toujours avec les notations précédentes
- est la moyenne harmonique de la série
statistique.
443. Moyennes
- Exemple
- Si je fais un trajet aller-retour avec une
vitesse v1 à laller et une vitesse v2 au retour,
quelle est ma vitesse moyenne sur lensemble du
trajet ? - La réponse nest pas
- Mais qui est la moyenne harmonique de
- v1 et v2.
45- Positions respectives du mode, de la médiane et
de la moyenne pour une distribution unimodale. - Lorsque la distribution est symétrique les trois
paramètres sont confondus. - Lorsque la distribution est asymétrique, la
médiane est généralement située entre le mode et
la moyenne et plus proche de cette dernière.
46(No Transcript)
47Exemple
Jours absentéisme Nb. employés Fréquences relative Fréquences relative cumulées
0 5 19 19
1 8 30 49
2 6 22 71
3 3 11 82
4 2 7 89
5 1 4 93
6 2 7 100
- Ex Absentéisme dans le service Achats
- Le mode
- Le mode 1
- La médiane
- Médiane 2
- La moyenne arithmétique
- Moyenne 2
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48Quelle mesure de tendance retenir ?
- Tout dépend de ce quon veut étudier.
- Le mode peu utilisé
- Médiane stable
- Moyenne informative mais instable
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