Statistique Descriptive Chapitre 2: Param

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Statistique DescriptiveChapitre 2 Paramètres de
tendance centrale

• Pr. Abdelkrim EL MOUATASIM
• EST FSE de Guelmim
• Maroc

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• Les paramètres statistiques ont pour but de
  résumer, à partir de quelques nombres clés,
  l'essentiel de l'information relative à
  l'observation d'une variable quantitative.

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Principales grandeurs économiques du secteur
industriel dérivé de la pêche
Indicateurs A terre En mer
Effective unités 391 353
Effective emplois 70 000 10 000
Production (en tonne) 343 000 64 500
Chiffre daffaires (en Dh) 11 milliards 3,7 milliards
Source Etude des schémas régionaux daménagement
du territoire des provinces du sud, 2010.
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• On définira plusieurs sortes de paramètres
• Certains, comme la moyenne, seront dits de
  tendance centrale car ils représentent une valeur
  numérique autour de laquelle les observations
  sont réparties.
• D'autres, par exemple, seront dits de dispersion
  car ils permettent de résumer le plus ou moins
  grand étalement des observations de part et
  d'autre de la tendance centrale.

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Objectifs de ce chapitre
Statistiques descriptives à une variable
paramètres de position

• Pouvoir résumer une série de données par un ou
  plusieurs paramètres représentatifs (moyenne,
  médiane)

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Plan de la partie
Paramètres de tendance centrale
Voici les chapitres que nous allons aborder

1. Mode.
2. Médiane.
3. Moyennes.

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Introduction

• Les tableaux et graphiques contiennent la
  totalité des données ils sont parfois durs à
  interpréter.
• On va chercher à résumer les données par quelques
  valeurs numériques.
• Dans cette partie, on sintéresse aux paramètres
  de tendance centrale, i.e. aux paramètres
  mesurant le  centre  des séries statistiques.

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2.1 Le mode (Mo)
C'est la valeur dont la fréquence est la plus
élevée.
Détermination du mode

• Cas d'une variable discrète Le mode est
  facilement repérable. Sur le tableau statistique,
  c'est la valeur xi pour laquelle la fréquence est
  la plus élevée

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Exemple

• Soit la série de chiffres
• 8, 8, 8, 7, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5,
  6
• La valeur la plus fréquente est le 4

Mode
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Cas d'une variable continue

• les données sont groupées en classes on définit
  la classe modale comme la classe correspondant à
  la fréquence la plus élevée ni. En peut calculer
  le Mode par la formule suivante
• Borne inférieure de la classe modale
  Amplitude de classe
• d1ni ni-1 et
  d2ni ni1

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Exemple Le Mode (valeurs groupées)
0.08,0.25 est la classe modale pour le débit
. Daprès la formule de le mode Mo 0.08
a(d1/(d1d2)) avec a 0.25-0.08 0.17
d1 22-0 22 et d2 22-8 14 donc Mo 0.08
0.1722/36 0.184
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• Si la distribution présente 2 ou plus maxima
  relatifs, on dit qu'elle est bimodale ou
  plurimodale.
• Si la série na quun seul mode, elle est dite
  unimodale.
• On peut définir de même le mode pour un caractère
  qualitatif.

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(No Transcript)
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2.2 La médiane Me

• Si la série brute des valeurs observées est
  triée par ordre croissant
• La médiane Me dun série statistique est la
  valeur qui partage cette série en deux séries de
  même effectif.

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(No Transcript)
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• c'est-à-dire que
• Si n est impair, soit n 2 p 1 ,
• Me x(p1)
• Si n est pair, soit n 2 p, toute valeur de
  l'intervalle médian x(p) x(p1) répond à la
  question.
• Afin de définir Me de façon unique, on choisit
  souvent
• soit le centre de l'intervalle médian.

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• Par exemple, la médiane de la série de tailles
  ci-contre est
• Me (m)
• Aurait-elle été différente si on avait noté par
  erreur la plus petite taille 0.55 m au lieu de
  1.55 ?

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Cas d'une variable continue

• Pour des données groupées en classes, la classe
  médiane est la classe qui contient la médiane. On
  détermine la médiane par interpolation linéaire.

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• De manière générale, si a et b sont les bornes de
  la classe contenant la médiane, F(a) et F(b) les
  valeurs de la fréquence cumulée croissante en a
  et b, alors

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Dans le cas d'une variable groupée en classes, en
peut calculer la médiane par la formule
suivante 
Lo Limite inférieure de la classe médiane ai
Amplitude de la classe médiane n  Nombre total
des observations Ni-1 effectif cumulé croissant
de la classe inférieure à la classe médiane ni 
effectif de la classe médiane
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La médiane est la valeur de rang (43 1) / 2
cest à dire 22, celle ci se trouve dans la
classe 6-8, la classe 6 - 8 est donc la classe
médiane. Me 6 2(21.5 13)/12
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(No Transcript)
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Moyenne Arithmétique

• Appelée moyenne notée
• Paramètre central qui concerne bien évidemment
  uniquement des variables quantitatives.
• Dans lunité de la variable.
• Calculable quelque soit la loi qui régit la
  distribution.
• Suivant la forme de présentation des
  observations, différentes formules de calcul
  peuvent être employées.

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Moyenne arithmétique

• On note
• n Nombre total de mesures.
• k Nombre de valeurs différentes observées.
• ni Nombre doccurrences de la valeur observée
  i.
• fi Fréquence relative (pourcentage) de la
  valeur observée i.

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2.3 La moyenne arithmétique

• La moyenne arithmétique d'une série statistique
  (xi, ni) se calcule de la manière suivante

La moyenne s'exprime toujours dans la même unité
que les observations xi . Elles peut être
décimale, même si les xi sont entiers par nature.
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• Ainsi la moyenne arithmétique du nombre d'appels
  reçus à un standard est 2,97 appels

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Plus généralement, lorsqu'on ne dispose que de
la distribution regroupée en classes
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• on calculera la moyenne par
• xi étant le centre de classe.

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Exemple

• Soit la série correspondant aux tailles en cm de
  6 étudiants 160,170,180,180, 190, 200.
• n 6 T 160170180180190200 1080

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Exemple
Le nombre de familles enquêtées est de 53. Le
nombre total denfants est de 77. La moyenne du
nombre denfants par famille est de 77/53
1,45. Attention aux arrondis ici si on arrondit
à une décimale la moyenne est de 1,5 enfants par
famille.
nombre d'enfants (xi) nombre de familles (ni) nixi
0 10 0
1 20 20
2 15 30
3 5 15
4 3 12
Total 53 77
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Remarque 1

• Pour plusieurs populations d'effectifs n1, n2,
  ....., nk, de moyennes respectives
• moyenne globale moyenne des moyennes

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• Comparons le salaire moyen dans 2 entreprises
• Entreprise A
• 1/ 3 de femmes , salaire moyen 8000Dh
• 2/3 hommes, salaire moyen 11000
• Dans l'entreprise A le salaire moyen est de .
• Entreprise B
• 2/ 3 de femmes , salaire moyen 9000Dh
• 1/3 hommes, salaire moyen 12000
• Dans l'entreprise B le salaire moyen est de .

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• On constate donc que le salaire moyen de B est
  égal à celui de A. Pourtant le salaire moyen des
  hommes est supérieur en B à celui des hommes en
  A. Il en est de même pour les femmes.
• D'où vient ce résultat paradoxal ?
• Il s'agit d'un effet de structure cela vient du
  fait que les femmes (au salaire plus bas) sont
  plus nombreuses en B qu'en A.

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Exemple

• Les étudiants de première année de L1 santé sont
  répartis dans 3 amphithéâtres avec les données
  ci-dessous. Quelle est la moyenne de lâge en L1
  santé ?

  Effectifs Moyenne de l'âge en années
Amphi 1 1000 18,1
Amphi 2 500 19,5
Amphi 3 1000 18,3

• Les effectifs étant différents dans les 3
  groupes, la moyenne recherchée nest pas la
  moyenne des moyennes.
• On calcule le total de lâge des 3 groupes réunis
  T 18,11000 50019,5 18,31000 46 150.
• Leffectif total est de 2 500.
• La moyenne recherchée est 46150/2500 18,5 ans

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Moyenne arithmétique

• Propriétés
• Centre de gravité de la distribution.
• La somme des écarts à la moyenne est nulle.
• La moyenne minimise les distances au carré

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3. Moyennes

• Avantages
• Elle a de bonnes propriétés calculatoires comme
  la linéarité
• si est la moyenne dune série (xi, ni)
  alors la moyenne de la série (axib, ni) est
• Elle prend en compte lensemble des valeurs
  (contrairement au mode).

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3. Moyennes

• Inconvénient
• Elle est très sensible aux valeurs  extrêmes .
• Exemple si dans votre entreprise les 10
  salariés (dont vous faites partie) gagnent chacun
  1500 par mois et que le patron gagne lui 7000
  par mois, le salaire moyen mensuel est de 2000

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Exemple

• Dans une entreprise de 100 salariés, le salaire
  moyen est égal à 8 400 Dh.
• Supposons qu'une erreur se soit glissée lors de
  la transcription des salaires.
• Monsieur Dahbi est crédité d'un salaire de 108
  000 DH au lieu de 8 000 Dh.
• De combien augmenterait la moyenne ?

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• La nouvelle moyenne est de .
• Une seule valeur (sur 100) peut donc beaucoup
  modifier la moyenne.
• La moyenne arithmétique est sensible aux valeurs
  extrêmes.

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Les autres moyennes

• Moyenne géométrique d'une série de valeurs
  positives est la racine nième du produit des n
  valeurs. Elle est toujours inférieure ou égale à
  la moyenne arithmétique.
• Moyenne harmonique d'une série de valeurs
  positives est égale à l'inverse de la moyenne des
  inverses.
• Moyenne quadratique est la racine carré de la
  moyenne arithmétique des carrés.

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3. Moyennes

• Moyenne géométrique
• Avec les notations précédentes
• est la moyenne géométrique de la série
  statistique.

Pour le calcul, on applique Log G
n1Logx1n2Logx2.nkLogxk
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3. Moyennes

• Exemple
• Lessence a augmenté de 10 lan dernier et de
  30 cette année. Quelle est le taux
  daugmentation annuelle ?
• Ce nest pas 20 ! La moyenne arithmétique ne
  convient pas.
• Si t est ce taux, on a bien sûr
• et donc t 0,19619,6.
• La  bonne  moyenne est ici la moyenne
  géométrique.

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3. Moyennes

• Moyenne harmonique
• Toujours avec les notations précédentes
• est la moyenne harmonique de la série
  statistique.

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3. Moyennes

• Exemple
• Si je fais un trajet aller-retour avec une
  vitesse v1 à laller et une vitesse v2 au retour,
  quelle est ma vitesse moyenne sur lensemble du
  trajet ?
• La réponse nest pas
• Mais qui est la moyenne harmonique de
• v1 et v2.

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• Positions respectives du mode, de la médiane et
  de la moyenne pour une distribution unimodale. 
• Lorsque la distribution est symétrique les trois
  paramètres sont confondus.
• Lorsque la distribution est asymétrique, la
  médiane est généralement située entre le mode et
  la moyenne et plus proche de cette dernière.

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(No Transcript)
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Exemple
Jours absentéisme Nb. employés Fréquences relative Fréquences relative cumulées
0 5 19 19
1 8 30 49
2 6 22 71
3 3 11 82
4 2 7 89
5 1 4 93
6 2 7 100

• Ex Absentéisme dans le service Achats
• Le mode
• Le mode 1
• La médiane
• Médiane 2
• La moyenne arithmétique
• Moyenne 2

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Quelle mesure de tendance retenir ?

• Tout dépend de ce quon veut étudier.
• Le mode peu utilisé
• Médiane stable
• Moyenne informative mais instable

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