MUESTREO ESTRATIFICADO

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MUESTREO ESTRATIFICADO

• El muestreo estratificado consiste en dividir la
  población en L subconjuntos o estratos, y de cada
  uno de ellos seleccionar una muestra
  probabilística de manera independiente de un
  estrato a otro.
• Existen tres razones importantes para utilizar
  este tipo de muestreo
• estadísticas,
• marcos y de
• costos.

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MUESTREO ESTRATIFICADO

• La razón estadística ocurre cuando la población
  está constituida por unidades heterogéneas y
  podemos tener una idea previa de los grupos de
  unidades más homogéneas entre sí, entonces es
  conveniente formar estratos.
• Los estratos son subconjuntos de la población
  que agrupan unidades homogéneas, aunque sean
  heterogéneas entre estratos.
• Cada estrato se muestrea por separado y se
  obtienen los estimadores de parámetros (totales,
  medias, proporciones) para cada estrato.

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MUESTREO ESTRATIFICADO
Se supone que se conoce el número de unidades en
cada estrato (Nh). Aunque esto se verá
después, es importante señalar que si se usan
estimadores de razón o de regresión o si el
muestreo se hace con probabilidad proporcional al
tamaño, los estratos se forman con subconjuntos
de unidades donde sea constante la
proporcionalidad de Y a X, aunque esa
proporcionalidad cambie de estrato a estrato.
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MUESTREO ESTRATIFICADO
Como ejemplos de la razón estadística para usar
estratos, considérense (a) En un muestreo
donde interesa conocer alguna característica de
los hogares en la Ciudad de México (por ejemplo
gastos en alimentos, ropa, ingresos, tipo de casa
habitación, años de escolaridad del padre, número
de hijos, etcétera). Se sabe que esas
características dependen fuertemente del nivel
socioeconómico de las familias, por lo tanto
conviene hacer estratos considerando áreas de la
ciudad con niveles socioeconómicos semejantes.
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MUESTREO ESTRATIFICADO
Así, las colonias se pueden clasificar a priori
con relación al nivel socioeconómico como muy
alto, alto, medio, medio bajo y bajo, formando de
esta manera cinco estratos. La encuesta se
planea para cada estrato por separado. El efecto
de formación de estratos es reducir la
variabilidad de los estimadores. La variabilidad
de se puede reducir mucho si los estratos
son muy homogéneos dentro de cada uno de ellos y
heterogéneos entre los mismos.
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MUESTREO ESTRATIFICADO

• (b) En un muestreo para estimar la cosecha total
  de café en México, se conocía que el estado
  fisiológico, edad y estado de sanidad de los
  árboles influye mucho en su producción. Entonces,
  se tomaron como estratos, categorías de árboles
  bien definidas y homogéneas en lo que respecta a
  edad, estados fisiológicos y de sanidad. Además,
  los predios se agruparon en estratos de acuerdo a
  la región ecológica donde estaban ubicados. Esto
  es porque la productividad del café varía según
  las condiciones ecológicas como altura sobre el
  nivel del mar, vientos, temperaturas extremas,
  etcétera.

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MUESTREO ESTRATIFICADO

• (c) En una encuesta para estimar el consumo de
  energía eléctrica es conveniente agrupar las
  fábricas en estratos, así quedarían agrupadas en
  fábricas grandes, fábricas pequeñas, empresas de
  producción familiar y un estrato final
  constituido por casa-habitación. Esto, porque
  sabemos que el consumo de electricidad va a ser
  muy variable entre estratos, y esperamos que sea
  menor dentro de estos.

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MUESTREO ESTRATIFICADO

• Otra razón poderosa para formar estratos es la
  disponibilidad de marcos.
• Si para una parte de la población se tiene un
  buen marco, éste se usa para el muestreo de esa
  parte y la o las otras partes de la población se
  muestrean usando otros marcos más imprecisos y,
  posiblemente distintos esquemas (diseños) de
  muestra.

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MUESTREO ESTRATIFICADO

• Por ejemplo, en encuesta de hogares se cuenta
  con un buen marco para la zona urbana de
  construcción antigua pero las zonas rurales y
  las urbanas de construcción reciente no tienen un
  marco adecuado.
• Entonces se utilizan planos catastrales para las
  zonas urbanas antiguas (un estrato), se usan
  fotografías aéreas para zonas rurales (otro
  estrato) y las áreas de posible nueva
  urbanización (otro estrato) se delimitan como
  otro marco se muestrean áreas y se investigan
  las nuevas urbanizaciones (muestreo en etapas o
  conglomerados).

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MUESTREO ESTRATIFICADO

1. Otra razón más para construir estratos puede ser
   el costo de localizar y levantar la información
   de las unidades, por ejemplo si en una encuesta
   de predios agrícolas hay una región cuyo acceso
   es difícil (por avión o a caballo únicamente),
   esa región puede constituir un estrato, que será
   muestreado con un tamaño de muestra pequeño.

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MUESTREO ESTRATIFICADO

• Lo más frecuente es que los tres criterios para
  formación de estratos coincidan, de modo que los
  estratos formen unidades homogéneas con un mismo
  tipo de marco y con costos de localización y
  captación de información semejantes.

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MUESTREO ESTRATIFICADO

• Se pueden utilizar diferentes formas de muestreo
  en los diferentes estratos, sin embargo, se
  considerará en este escrito como una introducción
  al tema, aquel en el cual cada estrato se
  muestrea usando mas.
• Más adelante se consideran las muestras
  complejas, donde se amplia el uso de estratos.

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MUESTREO ESTRATIFICADO

• Considérese la siguiente notación
• Nh número de unidades en estrato h-ésimo
• h1,2,...,L
• L número de estratos.

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• Valores Poblacionales
• valor de la medición en el elemento
• i-ésimo del estrato h-ésimo.
• total de unidades en la población.
• media poblacional del estrato h-ésimo.

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MUESTREO ESTRATIFICADO

• total poblacional del estrato
• h-ésimo.
• varianzas poblacionales del
• estrato h-ésimo.

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MUESTREO ESTRATIFICADO

• total de toda la población.
• media de los valores Yhi
• en toda la población.

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MUESTREO ESTRATIFICADO

• proporción del tamaño del estrato h-ésimo.

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MUESTREO ESTRATIFICADO

• Valores muestrales
•  
• En esta parte se considera cualquier estrategia
  de muestreo probabilístico en cada estrado,
  incluso pueden ser diferentes de un estrato a
  otro.

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MUESTREO ESTRATIFICADO

• Supóngase que de manera independiente se toman
  muestras de cada estrato. Sea nh el tamaño de
  muestra en el estrato h-ésimo.
• La muestra total es

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MUESTREO ESTRATIFICADO
Supóngase que se quiere estimar el total de la
población, esto es Para esto con la muestra
de cada estrato se estima el total, sea el
estimador insesgado o con sesgo despreciable para
el caso de estimadores de razón o de regresión,
su varianza , además, sea un
estimador de esa varianza.
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MUESTREO ESTRATIFICADO

• El estimador del total es
• la suma de los estimadores de los totales de los
  estratos (es un estimador insesgado).
• Esto es válido con cualquier diseño de muestra y
  estimadores por estrato, los que pueden ser
  distintos en los diferentes estratos.

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MUESTREO ESTRATIFICADO

• La varianza del estimador del total es
• ,
• que es la suma de las varianzas de los
  estimadores de los totales de estratos.
• Esto es por tener muestras independientes en los
  estratos.

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MUESTREO ESTRATIFICADO

• Además el estimador de la varianza del estimador
  del total es

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MUESTREO ESTRATIFICADO

• Suponiendo distribución normal de se tiene
  

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MUESTREO ESTRATIFICADO

• Si no se puede suponer normalidad úsese el valor
  4.4 en lugar de 1.96 (T. Tchebycheff).
• Estas expresiones para son válidas para
  cualquier forma de muestrear estratos.

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MUESTREO ESTRATIFICADO

• La primera aproximación al uso de estratos es
  considerar que se usa mas en cada estrato
  entonces
• donde yhi son los valores observados en la
  unidad i-ésima de la muestra (tamaño nh) del
  estrato h-ésimo.

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MUESTREO ESTRATIFICADO

• El estimador del total poblacional es
• (6.1)

donde corresponde al factor de expansión,
de las unidades obtenidas en cada estrato.
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MUESTREO ESTRATIFICADO

• Su varianza teórica es
• (6.2)
• Esta varianza se estima al sustituir S2h por
  su estimador en cada estrato.

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MUESTREO ESTRATIFICADO

• El estimador insesgado de S2h es
• .
• Nótese que es la misma expresión que S2h,
  pero la primera es con valores de la muestra y la
  segunda con los valores de todo el estrato
  h-ésimo.

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MUESTREO ESTRATIFICADO

• Recurriendo al Teorema central del límite, para
  cada estrato , se tendrá
  que
• .
• Esto es mucho más factible aunque cada
  
• no tenga distribución normal, si se tienen
  muchos estratos. Se puede decir que los errores
  de estimación tienden a cancelarse de un estrato
  a otro.

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6. MUESTREO ESTRATIFICADO

• Si se estima , se puede construir un
  intervalo de confianza aproximado para el total
  de la población
• Al dividir cada término de (6.3) entre
  , tenemos el intervalo de confianza para
  
• , la media de la población.

(6.3)
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6. MUESTREO ESTRATIFICADO

• Si se considera que la muestra es grande en cada
  estrato, la muestra total será mayor aún. Esto
  justifica el uso del valor 1.96 en lugar del
  valor de las tablas de t. Nótese que
• (6.4)

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6. MUESTREO ESTRATIFICADO

• Si lo que se quiere estimar es , se tendrá
  que,
• (6.5)
• donde proporción del tamaño de
  estrato h-ésimo.

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6. MUESTREO ESTRATIFICADO

• Nótese que (6.5) es un promedio ponderado de los
  promedios muestrales y su varianza es
• (6.6)
• la que se estima con
• (6.6a)

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6. MUESTREO ESTRATIFICADO

• De manera semejante, el intervalo de confianza
  aproximado para es el siguiente
• Aún con muestras chicas en cada estrato (nh
  2,3,4) si se tienen mas de 10 estratos se puede
  tener normalidad para , esto en virtud de la
  compensación de errores.

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6. MUESTREO ESTRATIFICADO

• Proporciones
•  
• Si lo que se requiere estimar es P, la
  proporción de elementos de la población que
  tienen una característica determinada, se usan
  las equivalencias dadas por

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6. MUESTREO ESTRATIFICADO

• Estas equivalencias surgen al considerar que
•  
•  
• 1 Si la unidad i-ésima del estrato h
• Yhi tiene la característica
• 0 De otro modo

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6. MUESTREO ESTRATIFICADO

• Sólo si las Ph son muy diferentes de estrato a
  estrato, vale la pena estratificar.
• Si , no conviene usar
  los estratos.

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6.1 Distribución (afijación) de la Muestra a los
Estratos

• Antes de considerar el problema de la
  determinación del tamaño de muestra, se discute
  la forma de distribuir el tamaño de muestra
  total, n, a los diferentes estratos.

40
6.1.1.    Distribución Proporcional

• Un criterio es lo que se le llama distribución
  (afijación) proporcional, donde la muestra se
  divide de manera proporcional a los tamaños de
  los estratos Nh.

41
6.1.1.    Distribución Proporcional

• Se busca que se cumpla la relación
• De esta relación se tiene
• (6.7)

42
6.1.1.    Distribución Proporcional

• Esta distribución de la muestra total se usa
  cuando no se tiene información sobre la magnitud
  de las S2h, o que esas S2h sean semejantes se
  usa además cuando los costos de muestrear las
  unidades en los diferentes estratos son
  semejantes.

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6.1.1.    Distribución Proporcional

• También se emplea cuando el muestreo o encuesta
  va a determinar varias características (varias
  mediciones) en cada unidad de la población,
  incluso cuando se quiere que sea autoponderado,
  es decir, todos los elementos de la muestra
  tienen un mismo factor de expansión

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6.1.1.    Distribución Proporcional

• Con esta distribución proporcional se tiene
• donde

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6.1.2 Distribución Óptima

• Cuando se tienen costos muy diferentes para el
  muestreo de unidades en los diferentes estratos,
  se usa la distribución (afijación) óptima.
• Si el costo para obtener información de una
  unidad en el estrato h-ésimo es Ch, el costo
  total será
•   (6.8)
• C0 es costo administrativo, de instalación,
  etcétera, general.

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6.1.2 Distribución Óptima

• La minimización (variando las nh, sin cambiar
  otras condiciones), de la varianza del estimador
  (6.2) con costo fijo (6.8) o viceversa, produce
  la distribución óptima que es
• (6.9)
• Esto es para muestreo mas en todos los estratos.

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6.1.2 Distribución Óptima

• Para cualquier diseño de muestreo en los
  estratos, la varianza del estimador del total se
  podrá expresar como
• Entonces la distribución óptima es

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6.2 Tamaño de Muestra Total

• Si lo que se quiere es encontrar aquel valor de
  n que produce la mínima varianza para un costo
  total fijo C0, se deberá usar la expresión (6.9)
  y sustituir en (6.8).

49
6.2 Tamaño de Muestra Total

• Entonces tenemos
• Esto es usando la distribución óptima.
• Los valores de Sh se deberán obtener con base en
  muestras piloto de cada estrato, o bien por
  conocimiento previo de la forma de la
  distribución en cada estrato y el rango de
  variación.

(6.10)
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6.2 Tamaño de Muestra Total

• Si lo que se quiere es encontrar el valor de n
  que produce el costo mínimo para un error de
  estimación d determinado, entre el estimador del
  total y el verdadero total, entonces se tiene
  .
• Si se sustituye la varianza de la expresión (6.2)
  con distribución óptima, se obtiene

(6.11)
51
6.2 Tamaño de Muestra Total

• Las expresiones (6.10) y (6.11) se refieren a la
  estimación del total. Para estimar un promedio,
  , la expresión (6.10) sigue siendo válida pero
  la (6.11) debe modificarse

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6.2 Tamaño de Muestra Total

• Sustituyendo la varianza por la expresión (6.6) y
  con nh óptimo se tiene

(6.11)
Donde ahora d es el error máximo permisible, con
confianza del 95, entre el estimador del
promedio , y el promedio poblacional .
Nótese que las d en expresiones (6.11) y
(6.11) son muy diferentes.
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6.2 Tamaño de Muestra Total

• Las expresiones (6.10), (6.11) y (6.11) se usan
  cuando se quiere optimizar algo que involucra el
  costo.
• Si el costo no es determinante y si se usa la
  distribución óptima para Ch constante, (6.10) no
  deberá usarse.
• Es importante enfatizar que en (6.10), (6.11) y
  (6.11) se usa la distribución óptima.

54
6.3 Distribución Proporcional

• Si se va a usar la distribución proporcional se
  puede recurrir a la expresión de la varianza que
  es
• Si se sustituye se tiene

(6.12)
(6.12)
55
6.3 Distribución Proporcional

• Con este valor en lugar de las S2, se pueden usar
  las expresiones (5.3) y (5.4) para obtener n.
• Si se quiere tener un coeficiente de variación
  fijo (CVo), sin tomar en cuenta el tipo de
  distribución del estimador , se tendrá

56
6.3 Distribución Proporcional

• de donde

(6.13)
57
6.3 Distribución Proporcional

• Si se considera que y se
  desea tener
• de aquí se tiene que

58
6.3 Distribución Proporcional

• de donde a partir de se obtiene que n
  debe de ser

(6.14)
59
6.3 Distribución Proporcional

• Es relativamente sencillo modificar las
  expresiones (6.13) y (6.14) para considerar la
  estimación de . El cambio fundamental está en
  que se debe sustituir por que es ,
  entonces

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6.4 Conclusiones

• Si se considera que el costo es importante, esto
  es, hay costos diferenciales en los estratos,
  conviene usar la distribución óptima (6.9) y
  determinar el tamaño de muestra con expresiones
  (6.10), (6.11) o (6.11).
• Si no hay costos diferenciales muy marcados y se
  decide usar la distribución proporcional (6.7)
  para determinar el tamaño de muestra total, se
  usará (6.13), si se quiere fijar el coeficiente
  de variación, sin consideraciones sobre la
  distribución de los estimadores.

61
6.4 Conclusiones

• Si se quiere fijar la precisión (? ) y la
  confiabilidad (1-?) considerando distribución
  normal para el estimador, se usará la expresión
  (6.14).
• Debe tenerse cuidado al señalar que todas las
  expresiones anteriores determinan el tamaño de
  muestra para estimadores globales de toda la
  población. Las inferencias no son para cada
  estrato con esas muestras.

62
6.4 Conclusiones

• Si lo que se desea es estimar media o totales en
  cada estrato, las expresiones anteriores no se
  deben usar, lo que se debe emplear son fórmulas
  (5.3) y (5.4) para cada estrato por separado y
  así determinar las nh a usarse en cada uno de
  ellos. Por supuesto que en este último caso la
  muestra total n es mucho más grande. Esto es de
  esperarse, puesto que ahora se están haciendo
  inferencias por separado para L poblaciones.