Limite e Continuidade

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Ensino Superior
Cálculo 1
1.4- Limites Tendendo ao Infinito
Amintas Paiva Afonso
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Cálculo 1 - Limites

• Infinito e Limite (Sutil e profundo)
• O conceito de limite está intimamente atrelado ao
  conceito de infinito. Trata-se de um dos
  conceitos mais fecundos da matemática e o
  principal para o desenvolvimento do Cálculo
  Diferencial e Integral.
• Ele primeiro surgiu sob a forma de processos
  convergentes ilimitados.
• O primeiro testemunho literário encontra-se nos
  paradoxos de Zenão de Eléa, matemático e
  discípulo de Parmênides.

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Cálculo 1 - Limites

• O Paradoxo da Dicotomia
• O argumento desse paradoxo consiste basicamente
  na idéia de que aquilo que se move tem que chegar
  na metade de seu percurso antes de chegar ao fim.
• O raciocínio é o seguinte antes de percorrer
  todo o percurso, o objeto que se move deve
  percorrer metade do percurso. Antes de percorrer
  a metade que falta, deve percorrer a metade
  deste, ou seja, a metade da metade (um quarto do
  percurso inicial), e assim sucessivamente, o
  objeto deverá percorrer um conjunto infinito de
  intervalos.

...
M1
M2
M3
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Cálculo 1 - Limites

• O Paradoxo de Aquiles e a Tartaruga
• O paradoxo de Aquiles e a Tartaruga possui o
  mesmo argumento que o paradoxo da dicotomia,
  porém em vez de um objeto, temos dois objetos em
  movimento com velocidades diferentes.
• Ele é assim enunciado Numa corrida entre Aquiles
  e a Tartaruga em que a Tartaruga sai com uma
  certa vantagem, mesmo sendo mais lenta que
  Aquiles, este jamais a alcança pois aquele que
  persegue tem primeiro de chegar ao ponto de onde
  a fuga do mais lento começou, e o mais lento tem
  necessariamente de já estar a alguma distância à
  frente.

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Cálculo 1 - Limites

• O Paradoxo de Aquiles e a Tartaruga
• Suponha que Aquiles é 10 vezes mais rápido que a
  Tartaruga e que esta parte com uma vantagem de
  1000 m. Quando Aquiles percorre os 1000 m, a
  Tartaruga já está 100 m a sua frente. Aquiles
  percorre os 100 m que o separa da Tartaruga, mas,
  nesse tempo, a Tartaruga já percorreu 10 m,
  mantendo a vantagem. Aquiles percorre os 10 m,
  mas, nesse tempo, a Tartaruga está 1 m a sua
  frente e assim sucessivamente. Isto quer dizer
  que Aquiles nunca alcança a Tartaruga?

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Cálculo 1 - Limites

• Infinito e Limite
• Considere que o intervalo AB do primeiro paradoxo
  é igual a 1. O ponto M1 divide o intervalo ao
  meio, portanto a primeira metade equivale a ½. O
  segundo ponto, M2, divide a metade restante ao
  meio, portanto equivale a ¼ do comprimento
  original. Logo, o intervalo pode ser expresso
  como uma soma de intervalos que cresce
  ilimitadamente por partes que sempre são menores
  que a imediatamente anterior
• O paradoxo está no fato de a série não crescer
  até ao infinito, pois a sua soma sempre permanece
  menor que 1, por mais intervalos que por ventura
  viermos a adicionar.

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Cálculo 1 - Limites
Zenão de Eléa (501 - 425 a. C.)
Bertrand Russell 18/05/1872 02/02/1970
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Cálculo 1 - Limites

• Conceito intuitivo de Limite
• Vamos supor que temos que preencher um quadrado
  de lado L, hachurando sempre a metade da área
  restante

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Cálculo 1 - Limites

• Conceito intuitivo de Limite
• A próxima área a ser hachurada seria a metade
  daquela que restou, portanto

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Cálculo 1 - Limites

• Conceito intuitivo de Limite
• A próxima área a ser hachurada seria a metade
  daquela que restou, portanto

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Cálculo 1 - Limites

• Conceito intuitivo de Limite
• A próxima área a ser hachurada seria a metade
  daquela que restou, portanto

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Cálculo 1 - Limites

• A solução dos paradoxos
• A solução dos paradoxos têm a ver com o conceito
  de limite e convergência de séries numéricas.
• Para o pensamento ingênuo da Antiguidade, o
  entendimento puramente quantitativo segundo o
  qual quando alguma coisa sempre aumenta acabará
  por ultrapassar todos os limites é que conduz ao
  erro.
• O erro está em supor, intuitivamente, que a soma
  de infinitos intervalos deve ser necessariamente
  infinita.
• Tanto no caso do paradoxo da dicotomia quanto no
  de Aquiles a soma da série tende a convergir para
  um valor finito. É nesse ponto que Aquiles
  encontra a Tartaruga!

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Cálculo 1 - Limites

• Limite de f(x) quando x tende a mais infinito
• Considere, por exemplo, a função
• Perceba que, quando x tende a ?, isto é, quando
  x cresce
• indefinidamente, os valores a função f(x)
  tendem a se
• aproximar cada vez mais de 0.

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Cálculo 1 - Limites

• Os símbolos ? e - ? , não representam números
  reais, não
• podendo ser aplicadas a eles, portanto, as
  técnicas usuais de
• cálculo algébrico.
• Dado b ? IR, teremos as seguintes igualdades
  simbólicas
• b ( ? ) ?
• b ( - ? ) - ?
• ( ? ) ( ? ) ?
• (- ? ) (- ? ) - ?
• ( ? ) (- ? ) nada se pode afirmar
  inicialmente. O símbolo ? - ?,
• é dito um símbolo
  de indeterminação.
• ( ? ) . ( ? ) ?
• ( ? ) . 0 nada se pode afirmar
  inicialmente.
• É uma indeterminação.
• ? / ? nada se pode afirmar inicialmente.
• É uma indeterminação.

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Cálculo 1 - Limites

• No cálculo de limites de funções, é muito comum
  chegarmos a expressões indeterminadas, o que
  significa que, para encontrarmos o valor do
  limite, teremos que levantar a indeterminação,
  usando as técnicas algébricas. Os principais
  símbolos de indeterminação, são
• ? - ?
• ? . 0
• ? / ?
• ?0
• 0 ? 0
• 1?
• 1-?

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Cálculo 1 - Limites

• Exemplo
• Calcule o limite, se existir, de
• Não basta apenas substituir x por ?, pois ao
  fazer isto, teria uma indeterminação do tipo

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Cálculo 1 - Limites

• Portanto, o método aqui consiste em dividir o
  numerador e o denominador por x
• Para calcular o limite de f(x) quando x tende a
  menos infinito,
• o raciocínio é análogo.

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• Longe, ao norte, numa terra chamada
  INFINITO, existe uma rocha. Possui 100 Km de
  altura, 100 Km de largura e 100 Km de
  comprimento. A cada milênio um pássaro vem nela
  afiar o seu bico. Assim, quando a rocha estiver
  totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia na
  eternidade terá se passado. (Hendrick Van Loon)

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Noção Intuitiva
Sucessões numéricas Dizemos que
1, 2, 3, 4, 5, .... Os termos tornam-se cada vez maiores, sem atingir um limite x ? ?
Os números aproximam-se cada vez mais de 1, sem nunca atingir esse valor x ? 1
1, 0, -1, -2, -3, ... Os termos tornam-se cada vez menor, sem atingir um limite x ? - ?
Os termos oscilam sem tender a um limite
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Limites Intuitivos
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Limites Intuitivos
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Limites Infinitos
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Limites Infinitos
y tg x
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Limites no Infinito
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Limites Infinitos
Limites nos extremos do domínio da função
exponencial
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Limites Infinitos
Limites nos extremos do domínio da função
logarítmica
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Limite Trigonométrico Fundamental

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Limite Trigonométrico Fundamental
Demonstração
Consideremos um círculo de raio unitário e 0 lt x
lt ?/2. Verificamos que Área ?OPH ? Área do
setor OAP ? Área do ?OAT
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Limite Trigonométrico Fundamental
Como PH sen x OA 1 e AT tg x,
temos que Área ?OPH cos x.sen x
Área setor OAP x.1
2
2 e Área ?OAT 1.tg x .
2 Logo, cos
x.sen x lt x lt 1.tg x .
2 2 2 Dividindo todos
os membros por (sen x)/2 (gt0), vem

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Limite Trigonométrico Fundamental
cos x lt x lt _1_ .
sen x cos x
Como todos os termos são positivos, podemos
escrever 1/cosx gt(sen x)/x gt cos x. Visto
que 1/cosx e cos x tendem a 1 quando x tende a
0, pelo Teorema do Confronto concluímos que (sen
x)/x também tende a 1 quando x 0. De
maneira análoga, provamos também para x lt 0.
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Limite Exponencial Fundamental

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Limite Cálculo 1
Continuidade de uma função em um número
Uma função f é contínua em um número x0 se
a)
c)
b)
Nenhuma destas funções é contínua em x xo.
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Limite Cálculo 1
Continuidade de uma função em um intervalo aberto
Uma função f é contínua em um intervalo aberto
se for contínua em todos os pontos desse
intervalo.
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Limite Cálculo 1
Teorema do valor intermediário
Se f é uma função contínua num intervalo fechado
e N é um número qualquer entre f(a) e
f(b), então existe um número x0 ? para
o qual f(xo) N.
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(No Transcript)