Probabilidade

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Probabilidade

• Modelo matemático para incerteza
• Desenvolvimento relativamente recente
• Cardano (século XVI)
• Pascal (século XVII)
• Peter Bernstein, Against the Gods

2
Primeira Tentativa

• Espaço amostral (W) resultados possíveis para um
  experimento aleatório.
• Probabilidade número não negativo atribuído a
  cada um destes resultados, de modo que a soma
  seja 1 (intuição frequência a longo prazo)

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Primeira Tentativa

• Adequado para o caso discreto
• w1, w2, ...
• p1 p2 ... 1
• Para cada A ? W , P(A) ?wi ? A P(wi)

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Como atribuir probabilidades?

• Estatística estimar através de frequência
  observada
• Explorar simetria modelos equiprováveis
• W w1, w2, ..., wn
• p1 p2 ... pn 1/n
• Moedas, bolas em urnas, cartas, dados, etc

5
Exemplo

• Uma moeda honesta é lançada 3 vezes. Qual é a
  probabilidade de sair 2 caras?
• Espaço amostral W 0, 1, 2, 3 (número de
  caras)
• Probabilidade de sair 2 caras P(2) ¼.

6
Exemplo

• Uma moeda honesta é lançada 3 vezes. Qual é a
  probabilidade de sair 2 caras?
• Espaço amostral W 0, 1, 2, 3 (número de
  caras)
• Probabilidade de sair 2 caras P(2) ¼.

7
Exemplo

• Uma moeda honesta é lançada 3 vezes. Qual é a
  probabilidade de sair 2 caras?
• Espaço amostral
• W ccc, cck, ckc, kcc, ckk, kck, kkc, kkk
• Probabilidade de sair 2 caras P(cck, ckc,
  kcc) 3/8.

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Observação

• É óbvio que kkk e ckc têm a mesma chance de
  ocorrer?
• E kkkkkkkkkk e ckkckckckk?
• Mega-sena 1-2-3-4-5-6 e 7-16-24-28-41-52?
• Nassim Taleb, Fooled by Randomness

9
Caso contínuo

• Roleta real, com números de 0 a 360.
• Qual é a probabilidade de tirar resultado igual a
  316,43?
• Qual é a probabilidade de tirar resultado igual a
  maior que 300?

10
Caso contínuo

• Roleta real, com números de 0 a 360.
• Qual é a probabilidade de tirar resultado igual a
  316,43?
• zero
• Qual é a probabilidade de tirar resultado igual a
  maior que 300?
• 1/6

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Caso contínuo

• Probabilidade de eventos não pode ser calculada
  simplesmente somando as probabilidades associadas
  a pontos de W.
• Necessidade de atribuir probabilidades
  diretamente aos subconjuntos de W.
• Mas não a todos os subconjuntos (Teoria da
  Medida)

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Modelo Probabilístico Revisado

• Espaço amostral (W) conjunto de resultados
  possíveis para um experimento aleatório.
• s-álgebra de eventos (A) subconjuntos de W aos
  quais se atribui probabilidade.
• W ? A, A ? A ? Ac ? A , Ai ? A ? ? Ai
  ? A
• Probabilidade (P) função definida em A
• P(A) ? 0, P(W) 1, P(? Ai ) ?i P(Ai) (Ai
  disjuntos 2 a 2)

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Consequências

• P(Ac) 1 P(A)
• P(?) 0
• An ? A ? P(An) ? P(A)
• An ? A ? P(An) ? P(A)

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Caso discreto

• A todos os subconjuntos de W.
• Probabilidades pi atribuídas aos eventos
  unitários wi (como antes)

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Caso contínuo

• W R
• A menor s-álgebra que contém todos os
  intervalos (s-álgebra de Borel)
• Probabilidades atribuídas aos intervalos (ou aos
  intervalos da forma (?, x) (tipicamente através
  da integral de uma função de densidade)
• Por exemplo, no caso da roleta

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Probabilidade Condicional

• Probabilidade condicional do evento A na certeza
  do evento B
• Tudo se passa como se, na certeza de B, B fosse
  o novo espaço amostral.

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Exemplo

• Um dado é lançado 2 vezes. Dado que a soma é 4,
  qual é a probabilidade condicional de ter saído 1
  no primeiro lançamento?
• W (1,1), , (6, 6)
• A 1 no 1o (1, 1), , (1, 6)
• B soma 4 (1, 3), (2, 2), (3, 1)
• A?B (1, 3)

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Observação

• De , resulta
• P(A?B) P(B). P(A B) P(A) . P(B A)
• A e B são independentes quando P(A?B) P(A).
  P(B)

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Exemplo

• Em uma urna há 6 bolas brancas e 4 pretas. As
  bolas são retiradas sequencialmente, sem
  reposição.

20
Exemplo

• 1) Probabilidade de a 1a bola retirada ser branca?

21
Exemplo

• 2) Probabilidade de a 1a bola retirada ser branca
  e a 2a preta?

22
Exemplo

• 3) Probabilidade de a 2a bola retirada ser preta?

23
Exemplo

• 4) Probabilidade de a 1a bola retirada ter sido
  preta sabendo que a 2a foi branca?

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Teoremas

• Sejam B1, B2, disjuntos 2 a 2 tais que ?Bi W
• Probabilidade Total
• Bayes

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Exemplo

• Em uma população, 1 das pessoas têm uma certa
  doença. Um exame para esta doença tem
  probabilidade de falso-positivo igual a 2 e de
  falso negativo igual a 1. Se uma pessoa
  escolhida ao acaso é examinada e o exame dá
  positivo, qual é a probabilidade de que ela tenha
  a doença?

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Solução

• Dados
• P(Doente) 0.01
• P(PositivoDoente) 0.99
• P(PositivoDoentec) 0.02
• Pede-se
• P(DoentePositivo)

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Solução
P
0,99
D
0,01
0,01
P
0,99
0,02
Dc
0,98
28
Solução
P
0,99
D
0,01
0,01
P
0,99
0,02
Dc
0,98