Finanzas

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• Finanzas
• Santiago, Chile
• 2002
• Profesor Rodrigo Sanchez H.

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I. Matemática Financiera

• Interés Simple
• Interés Compuesto
• Real vs Nominal
• Perpetuidades
• Anualidades

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Interés Simple

• Si se invierte un monto X, los intereses
  acumulados al cabo de n períodos usando tasa de
  interés simple r serán
• Intereses X r n

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Interés Simple Ejemplo

• Un banco le ofrece una tasa de 1,1 mensual (30
  días), con interés simple para un depósito a
  plazo por 100.000. Cuál sería el interés
  obtenido al cabo de 40 días?

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Interés Simple

• Hay que notar que al dividir la tasa por 30, se
  ha transformado la tasa mensual a tasa diaria
  para mantener una consistencia en el cálculo.
• También se podría haber expresado los cuarenta
  días en términos de meses.

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Interés Simple

• Otra forma de ver lo mismo. Si invertimos un
  monto X a una tasa fija anual de r, al cabo de n
  años tendremos
• Valor Futuro X(1 rn)

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Interés Simple Ejemplo

• Invierte 100.000 en un instrumento financiero
  con vencimiento a 90 días. La tasa que entrega
  este instrumento es 1,2 mensual. Cuánto será el
  monto final de la inversión al cabo de los 90
  días?

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Interés Compuesto

• Si invertimos un monto X a una tasa fija anual de
  r, y el interés se calcula una vez al año, al
  cabo de n años tendremos un saldo final
• Valor Futuro X(1 r)n

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Interés Compuesto Ejemplo

• Se deposita 140.000 en una institución
  financiera durante 5 meses, a una tasa de 1,2
  mensual, con interés compuesto y capitalización
  mensual. Cuál será el saldo final al término de
  los 5 meses?

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Interés Compuesto

• Si invertimos un monto X a una tasa fija anual de
  r, y el interés se calcula m veces al año, al
  cabo de n años tendremos

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Interés Compuesto Ejemplo

• Si depositamos 150.000 en el banco a la tasa del
  8 anual durante un año, con interés compuesto
  capitalizado trimestral-mente cuál será el saldo
  al final del año?

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Interés Real y Nominal

• Si el mercado financiero es eficiente, debe
  cumplirse la siguiente equivalencia
• i tasa de interés nominal
• r tasa de interés real
• p tasa de inflación

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Interés Real y Nominal Ejemplo

• Un banco ofrece una tasa nominal de 4,6 mensual,
  se espera que la inflación sea 3,2 durante el
  próximo mes. Qué tasa de interés real está
  ofreciendo el banco?

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Formulas de Valor Presente

• Dado el valor del dinero en el tiempo (un peso
  hoy vale más que uno mañana), flujos que se
  recibirán en el futuro deben ser descontados.
• La idea es tratan hacer comparable flujos que se
  recibirán en distintos instantes, llevándolos a
  un mismo período.

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Fórmulas de Valor Presente

• Las fórmulas más usadas son
• Perpetuidad constante
• Perpetuidad creciente
• Anualidad constante
• Anualidad creciente

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Perpetuidad constante

• Una perpetuidad, se refiere a flujos que se
  recibirán todos los períodos hasta el infinito.
• Si los flujos son iguales todos los períodos,
  decimos que es una perpetuidad constante.
• El valor presente de una perpetuidad cons-tante
  se calcula

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Perpetuidad ejemplo

• Le ofrecen una acción de la empresa RIESGO S.A.
  que reparte 20 en dividendos todos los años. Se
  sabe que la tasa de interés apropiada para esta
  inversión es 16 al año. Cuánto pagaría por esta
  acción?

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Perpetuidad creciente

• Hablamos de perpetuidad creciente si los flujos
  que entrega van aumentando a medida que pasa el
  tiempo.
• Si los flujos aumentan a una tasa constante g,
  valor presente se puede calcular

• Observación La tasa de crecimiento no puede ser
  mayor a la tasa de descuento.

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Perpetuidad ejemplo

• Le ofrecen una acción de la empresa JUGO S.A. se
  espera que reparta 20 en dividendos el próximo
  año y éstos crezcan al 8 todos los años. Se sabe
  que la tasa de interés apropiada para esta
  inversión es 16 al año. Cuánto pagaría por esta
  acción?

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Anualidades

• Nos referimos flujos de caja que se recibirán por
  un período limitado de tiempo T.
• En general, para cualquier conjunto de flujos el
  valor presente se puede calcular como

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Anualidades

• Si todos los flujos que se recibirán son iguales,
  la sumatoria anterior se puede simplificar.
• Si designamos como F el flujo a recibir por T
  períodos, la fórmula de valor presente es

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Anualidades ejemplo

• Le ofrecen un crédito de 12 cuotas iguales de
  15.000. La tasa de interés mensual es 1,3,
  compuesta con capitalización mensual. Cuál es el
  valor actual del préstamo?

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Anualidades ejemplo

• Una empresa decide vender un bien en 1.200 al
  contado. Uno sus clientes le solicita crédito en
  3 cuotas iguales a 30, 60 y 90 días. La empresa
  decide entregar el crédito cobrando una tasa de
  interés de 2 mensual, compuesto con
  capitalización mensual. Cuál debería ser la
  cuota que se le ofrece al cliente?

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Anualidades ejemplo

• Debemos despejar F de la fórmula anterior, para
  poder encontrar la cuota correspon-diente.

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Anualidades ejemplo

• Queremos comprar un televisor en Almacenes París.
  El precio contado es 137.600.
• Usando la tarjeta de Almacenes París, le ofrecen
  pagar el mismo televisor en 12 cuotas de 13.736.
• Si utiliza la tarjeta de crédito Visa, la tasa de
  interés es 2,6 mensual.
• Cuál debería elegir?

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Anualidades ejemplo

• Primero hay que calcular el interés implícito en
  la cuota de Almacenes París.
• Generalmente es muy difícil despejar la tasa de
  interés. Sin embargo, cualquier calculadora
  financiera puede encontrar el resultado

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Anualidades ejemplo

• Usando Excel (función tasa) o una calculadora
  financiera (función IRR), obtenemos una tasa de
  interés de 2,89 mensual.
• Como la tasa de Almacenes París es mayor que la
  tasa de 2,6 ofrecida por la tarjeta VISA,
  preferimos esta última.

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Anualidades crecientes

• Si los flujos que se recibirán van aumentando a
  una tasa constante g, siempre que sea menor a la
  tasa de descuento r podemos usar la fórmula
  siguiente.

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Uso de Excel

• Funciones más usadas en Excel
• Pago(tasaperíodosva) se utiliza para calcular
  la cuota, dado la tasa de interés, número de
  períodos y el valor actual.
• Tasa(períodospagova) Se usa para calcular la
  tasa implícita dados los flujos, número de
  períodos y el valor actual. Supone todos los
  flujos iguales.

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Uso de Excel

• VA(tasaperíodospago) permite calcular el valor
  actual de pagos de un préstamo, dado el número de
  períodos y la tasa de descuento.
• VNA(tasaflujo1flujo2flujo3flujon) esta es
  equivalente a la fórmula general de valor
  presente. Calcula el valor actual de una serie de
  flujos, dada una tasa de descuento.
• TIR (flujos) Calcula la TIR para una serie de
  flujos.

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Criterios de Evaluación de Inversiones

• Payback
• Valor presente neto
• TIR
• Razón beneficio a costo
• Costo anual equivalente

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Payback

• Es el número períodos en que se recupera la
  inversión inicial.
• Se debe elegir el proyecto con menor payback.
• Da una medida de la rapidez con que se recuperan
  los fondos invertidos.
• El problema es que no considera el valor del
  dinero en el tiempo.

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Valor presente neto

• Consiste en descontar los flujos a una tasa
  apropiada y restarles la inversión inicial.
• Si no existen restricciones, debe llevarse a cabo
  todos los proyectos con VANgt0.
• Problema 1 Qué tasa de descuento usar?
• Problema 2 Qué pasa con proyectos de distinta
  vida?

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Tasa interna de retorno (TIR)

• Es el resultado de buscar la tasa que hace cero
  el valor presente de un proyecto o inversión.
• Se debe comparar esta tasa (TIR) con un
  rendimiento exigido a la inversión. Si no existen
  restricciones y la TIR es mayor debe llevarse a
  cabo el proyecto.

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Tasa interna de retorno (TIR)

• Si no existen restricciones, lleva a la misma
  decisión que el criterio de valor presente.
• Problema 1 Puede haber varias tasas que cumplan
  con la condición VAN0.
• Esto dependerá de los flujos de caja. Habrá
  tantas tasas como cambios de signo existan.
• Problema 2 Si hay proyectos excluyentes, este
  criterio no asegura la máxima riqueza.

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Razón beneficio a costo

• Es la razón entre el valor actual de los
  beneficios, dividido por el valor actual de los
  costos más la inversión inicial.
• Si la razón calculada es mayor a uno, conviene
  hacer el proyecto, si es menor a uno, no conviene.

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Costo anual equivalente