Raisonnement flou

1
Raisonnement flou

• Variables linguistiques et propositions floues
• Variables linguistiques
• Proposition floue générale
• Implication floue
• Raisonnement Flou
• Modus ponens classique
• Modus ponens généralisé
• Application du Modus ponens généralisé

2
Variable linguistique

• Une variable linguistique est représentée par un
  triplet (V, XV, TV)
• V nom de la variable (age, taille, température,
  longueur,...)
• XV univers des valeurs prises par V (R,...)
• TV A1, A2, ... ensemble de sous-ensembles
  flous de XV, utilisés pour caractériser V.
• Par exemple (Age-Personne, 0,130, Très-jeune,
  Jeune, Agé)

3
Proposition floue

• Proposition floue élémentaire qualification
   V est A  d'une variable linguistique (V, XV,
  TV)
• Par exemple  Age-personne est jeune 
• Proposition floue générale composition de
  propositions floues élémentaires de variables
  linguistiques qui peuvent être distinctes
• Soit  V est A  p.f.e. de (V, XV, TV), et  W
  est B  p.f.e. de (W, XW, TW),
• Exemples de proposition floue générale
•  V est A et W est B 
•  V est A ou W est B 

4
Valeur de vérité dune proposition floue

• Proposition classique valeur de vérité ? 0,
  1 (FAUX ou VRAI)
• Proposition floue la valeur de vérité est un
  sous-ensemble flou à valeurs dans 0,1
• Valeur de vérité pA de  V est A  fA
  fonction d'appartenance de A
• Négation  V n'est pas A  pAc fAc 1-fA
• Valeur de vérité p d'une proposition floue
  générale agrégation des valeurs de vérité pA et
  pB de chaque proposition floue élémentaire
• Le type d'agrégation dépend de la composition
  réalisée (et, ou,...)
• Conjonction  V est A et W est B  pA?B
  min(pA, pB)
• Disjonction  V est A ou W est B  pA?B
  max(pA, pB)

5
Implication floue

• Règle de production lien particulier
  (implication) entre 2 propositions floues
•  V est A ? W est B  est lue  si V est A alors
  W est B 
•  V est A  est la prémisse
•  W est B  est la conclusion
• Par exemple  si Age-personne est Jeune alors
  Salaire est Bas 
• Valeur de vérité de l'implication  V est A ? W
  est B  évaluée par une fonction implicative fI
  X x Y ? 0,1
• x ? X, ? y ? Y, fI(x, y) ?(fA(x), fB(y))
• ? est une fonction 0,1x0,1? 0,1 qui est
  équivalente à l'implication classique quand les
  propositions sont classiques.

6
Principales fonctions d'implication floue
fI(x, y) ?(?A(x), ?B(y))
7
Logique classique vs Logique floue
8
Mode de raisonnement classique

• Modus ponens de la logique classique
• Règle Prémisse ? Conclusion
• Observation Prémisse-observée
• Déduction Conclusion
• Modus ponens règle de déduction pour inférer
  de la connaissance
• Règle H est humain ? H est mortel
• Observation Socrate est humain
• Déduction Socrate est mortel

9
Mode de raisonnement flou

• Modus ponens généralisé extension du MP aux
  propositions floues
• Soient (V, XV, TV) et (W, XW, TW) deux variables
  linguistiques
• Règle floue V est A ??W est B
• fA fB
• Observation floue V est A'
• fA'
• Déduction W est B'
• fB'
• fA, fB, et fA' sont connus, on recherche la
  valeur de fB'(y), ? y ? Y

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Modus ponens généralisé

• Règle floue  V est A ??W est B 
• Implication ?x ? X, ? y ? Y, fI(x,y) ?(fA(x),
  fB(y))
• Le MPG combine la règle floue avec l'observation
   V est A'  pour construire la conclusion B'
• Opérateur de modus ponens généralisé fonction
  T de 0,1x0,1 dans 0,1 pour combiner fI et
  fA'
• T est une t-norme
• T est liée à fI pour que le MPG soit compatible
  avec le modus ponens classique.
• On a, pour tout y ? Y
• fB' supx ? X T(fI(x,y), fA'(x))

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Une règle
12
Plusieurs règles
13
Exemple dun système de règles floues
14
Max-Min inférence exemple
15
Max-Min inférence autre exemple
16
Exemples d'opérateurs de MPG

• Zadeh ? u,v ? 0,1, T(u,v) min(u,v)
• Utilisé avec les implications de Mamdani,
  Larsen,...
• Lukasiewicz ? u,v ? 0,1, T(u,v)
  max(uv-1,0)
• Utilisé avec les implications de Lukasiewicz,
  Reichenbach, Mamdani, Larsen,...

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Applications du modus ponens généralisé

• Commande floue ensemble de règles floues
  entrée numérique sortie numérique
• Contrôle flou de processus
• Phase de défuzzification nécessaire
• Systèmes experts flous ensemble de règles
  floues entrée floue sortie floue
• Raisonnement flou, inférence de connaissances
• Pas de défuzzification
• Raisonnement par analogie ensemble de règles
  floues entrée floue sortie floue
• B' est à B ce que A' est à A
• ressemblance (A,A') doit être la même que
  ressemblance(B,B')

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Imprécisions et incertitudes

• Théorie des sous-ensembles flous
• Modélisation des connaissances imprécises (
  environ 20 ans ) ou vague ( jeune )
• traitement dans un même cadre des connaissances
  numériques et des connaissances symboliques
• Ne permet pas de manipuler dans un même
  formalisme imprécisions et incertitudes
• ce qui est très généralement lié je suis sûr
  que nous sommes en fin d'après-midi mais je
  ne suis pas certain qu'il soit exactement 17h30
• De plus, un raisonnement basé sur des
  connaissances imprécises engendre souvent des
  incertitudes
• Mon train est à 9h32, si je pars de chez moi
  vers 9h quelle est la certitude que je puisse
  l'avoir?

19
Théorie des possibilités

• Introduite en 1978 par L. A. Zadeh (puis
  popularisée par Dubois et Prade), en liaison avec
  la théorie des sous-ensembles flous
• But raisonner sur des connaissances imprécises
  ou vague, en introduisant un moyen de prendre en
  compte des incertitudes sur les connaissances.
• Incertitudes non-probabilistes sur des événements
  impossibilité d'évaluer correctement leur
  probabilité de réalisation.
• Serais-je en salle 506 lundi 24 Novembre à 14h
  ?
• Probabilité ici, peu réaliste à évaluer
• Il est relativement possible que je sois dans
  cette salle, et c'est même assez certain.

20
Mesure de possibilité

• Soit un ensemble de référence fini X
• On souhaite attribuer à chaque sous-ensemble de
  X (on parle alors d'événements) un coefficient
  compris entre 0 et 1 évaluant à quel point cet
  événement est possible.
• Pour définir ce coefficient, on introduit une
  mesure de possibilité ? définie sur P(X),
  l'ensemble des parties de X, à valeur dans 0,1,
  telle que
• ?(Ø)0, et ?(X)1
• ?(A,B)? P(X)2, ?(A?B) max(?(A), ?(B))
• Un événement est tout à fait possible si la
  mesure de sa possibilité est égale à 1.

21
Mesure de possibilité propriétés

• Une mesure de possibilité vérifie
• ?(A,B)? P(X)2, ?(AnB) min(?(A), ?(B))
• En particulier, l'occurrence simultanée de 2
  événements possibles peut être impossible
• Monotonie relativement à l'inclusion des parties
  de X
• Si A ? B alors ?(A) ?(B)
• ? A ? P(X), max(?(A), ?(Ac)) 1
• ? A ? P(X), ?(A) ?(Ac) 1

22
Mesure de nécessité

• Une mesure de possibilité fournit une information
  sur l'occurrence d'un événement mais elle ne
  suffit pas pour décrire l'incertitude existante
  sur cet événement
• ?(A) 1 et ?(Ac)1 peuvent être vérifiés en même
  temps indétermination complète sur la
  réalisation de A.
• On attribue à chaque événement un coefficient
  évaluant à quel point la réalisation de cet
  événement est certaine.
• Pour définir ce coefficient, on introduit une
  mesure de nécessité N définie sur P(X), à valeur
  dans 0,1, telle que
• N(Ø)0, et N(X)1
• ?(A,B)? P(X)2, N(AnB) min(N(A), N(B))

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Mesure de nécessité propriétés

• Une mesure de nécessité vérifie
• ?(A,B)? P(X)2, N(A?B) max(N(A), N(B))
• Monotonie relativement à l'inclusion des parties
  de X
• Si A ? B alors N(A) N(B)
• ?A ? P(X), min(N(A), N(Ac)) 0
• ?A ? P(X), N(A) N(Ac) 1

24
Relations possibilité / nécessité

• Une mesure de nécessité N peut être obtenue à
  partir d'une mesure de possibilité ? par
• ?A ? P(X), N(A) 1 - ?(Ac)
• Plus un événement A est affecté d'une grande
  nécessité, moins son complémentaire Ac est
  possible.
• On a de plus
• ? A ? P(X), ?(A) N(A)
• ? A ? P(X), max(?(A), 1-N(A))1

25
Distribution de possibilité

• Une mesure de possibilité est totalement définie
• si on attribue un coefficient de possibilité à
  toute partie de X.
• si on indique un coefficient seulement aux
  parties élémentaires de X, une partie quelconque
  étant l'union de parties élémentaires.
• Une distribution de possibilité ? est une
  fonction définie sur X, à valeur dans 0,1,
  telle que
• supx?X ?(x) 1
• A partir d 'une distribution de possibilité ?, on
  construit une mesure de possibilité ??
• ?A ? P(X), ?(A) supx?A ?(x)

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Possibilité de sous-ensemble flou

• Possibilité et nécessité ont été introduites pour
  quantifier la certitude sur un événement, elles
  s'appliquent à des sous-ensembles ordinaires de X
• Pour des sous-ensembles flous de X, on peut
  indiquer dans quelle mesure ils sont possibles
  et/ou certains, à partir d'une connaissance
  préalable donnée sur X.
• Ainsi, étant donnée une référence, i.e. un s.e.f.
  A de X, un autre s.e.f. B de X sera d'autant plus
  acceptable qu'il sera compatible avec A.
• On évalue alors la possibilité de B relative à A
  par
• ?(B A) supx?X min (fB(x), fA(x))
• ?(B A) mesure le degré maximal avec lequel un
  élément x de X peut appartenir à la fois à A et à
  B.

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Nécessité de sous-ensemble flou

• Étant donnée une référence, i.e. un s.e.f. A de
  X, un autre s.e.f. B de X sera d'autant plus
  acceptable qu'il sera compatible avec A.
• On évalue alors la nécessité de B relative à A
  par
• ?(B A) 1- ?(Bc A) infx?X max (fB(x), 1-fA(x))
• N(B A) mesure le degré avec lequel B est inclus
  dans A.

28
Exemple

• On représente le concept de vitesse rapide
  par un s.e.f. Sur l'espace des vitesses.
• Une moto roule à env. 100km/h.
• Questions
• Avec qu'elle certitude peut on dire que la moto
  roule avec une vitesse rapide?
• Avec quel degré env. 100km/h signifie-t-il
  vitesse rapide ?

Rapide
100 km/h
1
0
km/h
100
90
110
29
Exemple possibilité et nécessité
?(env.100 Rapide) supx?X min (fenv.100(x),
fRapide(x)) 0,6
100 km/h
Rapide
1
?(env.100 Rapide) infx ? X max (fenv.100(x),
1-fRapide(x)) 0
30
Apprentissage non supervisé

• Étant donné un ensemble d'exemples (des points
  dans un plan, ...)
• On ne connaît pas de classe à associer aux
  exemples
• Il faut découvrir des classes, faire des
  regroupements d'éléments similaires
• Clustering construction de paquets

31
Méthodes de C-moyennes

• Une des plus anciennes méthodes de clustering
  existantes (1967). Algorithme des C-means.
• Partition d'une population
• Affectation sans équivoque (? ou ?) de chaque
  exemple à une classe
• L'algorithme
• Sélection de c points (au hasard) centroïdes.
• Affectation de chaque exemple au centroïde le
  plus proche (distance). Constitution de clusters.
• Calcul de nouveaux centroïdes on prend la
  moyenne, composante par composante, pour tous les
  exemples d'un cluster.
• Retour à l'étape 2 jusqu'à stabilisation des
  frontières entre les clusters.

32
C-moyennes étape 1
33
C-moyennes étape finale
X
34
Méthodes des C-moyennes Inconvénients

• Problèmes de prise en compte des variables
  non-numériques (nécessité de posséder une mesure
  de distance)
• Traduction en valeurs numériques
• Construction de matrices de distances
• Problème du choix du nombre de centroïdes c
• Problème du choix de la normalisation dans le
  calcul de la distance (même poids pour chaque
  composante)
• Pondération, normalisation, agrégation

35
Méthode des C-moyennes floues

• Généralisation de l'algorithme des C-moyennes
• Partition floue des données
• Fonctions d'appartenance aux clusters
• Problématique trouver une pseudo-partition
  floue et les centres des clusters associés qui
  représente le mieux la structure des exemples.
• Utilisation d'un critère permettant de mesurer
  les associations fortes à l'intérieur d'un
  cluster, faibles à l'extérieur
• Index de performance

36
Rappels

• Pseudo-partition floue
• Ensemble de sous-ensembles flous non vides A1,
  A2,..,An de X tel que
• ?x?X,
• C-partition floue
• Une c-partition floue (cgt0) de X est une famille
  P A1, A2,..,Ac de c sous-ensembles flous tels
  que

37
C-moyennes floues

• Soit Xx1, x2, ..., xn un ensemble de données
  où chaque xk peut être un vecteur xk(xk1,
  xk2,...,xkp)
• Étant donné une c-partition floue P A1,
  A2,..,Ac, les c centres v1, v2,..., vc associés
  à chaque cluster flou sont calculés par
• Avec m?R, m gt 1, influence des degrés
  d'appartenance.
• vi centre du cluster flou Ai
• Moyenne pondérée des données de Ai
• Le poids d'une donnée xk est la puissance mième
  de son degré d'appartenance à Ai.

38
Index de performance d'une partition floue

• Soit la c-partition floue P A1, A2,..,Ac, son
  indice de performance est défini par
• Avec . norme sur Rp qui permet de mesurer la
  distance entre xk et vi
• Plus Jm(P) est faible, meilleure est P

39
Algorithme de Bezdek (1981)

• Algorithme d'optimisation d'une partition floue
  algorithme des c-moyennes floues (Fuzzy c-means).
• Hypothèses
• C connu,
• On possède une distance (mesure),
• Un réel m ? 1,8 est donné,
• Un nombre positif E petit est donné (critère
  d'arrêt).

40
Algorithme de Bezdek

• Etape 1 Soit t0, sélectionner une partition
  floue initiale P(0).
• Etape 2 Calculer les c centres v1(t),
  v2(t),...,vc(t) pour P(t) grâce à (1)
• Etape 3 Mise à jour de P(t) pour construire
  P(t1) ? xk ? X,
• Si alors
• si pour quelque i?I ?Nc , alors on
  définit
• pour i?I par tout nombre réel gt0 tel que
• et on définit pour tout i?Nc-I
• Etape 4 Comparer P(t) et P(t1)
• Si P(t) - P(t1) E alors on s'arrête, sinon
  on incrémente t et on retourne à l'étape 2. On a
  
• (distance entre les partitions)

41
Construction de clusters flous Exemple
42
Construction de clusters flous Résultat final
43
Arithmétique floue - Intervalles et nombres flous

• Un sef F est convexe si
• ?(x, y)?RxR, ?z ? x,y, fF(z)?min(fF(x), fF(y))
• Propriété équivalente au fait que toute ?coupe
  de F est une partie convexe de R.
• Quantité floue sef normalisé de R.
• Intervalle flou quantité floue convexe
• Nombre flou intervalle flou de fonction
  dappartenance semi-continue supérieurement et de
  support compact.

1
0
R
a
b
m
44
Addition floue
45
Arithmétique floue Intervalles flous de type
L-R (1)

• Quantité floue I dont la fonction dappartenance
  dépend de 4 paramètres (m,m,a,b) et de 2
  fonctions L er R telles que
• L(0)R(0)1
• L(1)0 ou L(x)gt0 ?x avec limx?? L(x)0
• R(1)0 ou R(x)gt0 ?x avec limx?? R(x)0
• I(m,m,a,b)LR

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Arithmétique floue Intervalles flous de type
L-R (2)

• Cas particulier nombre flou I(m,a,b) LR avec
  mm.
• Fonctions L et R particulières
  L(x)R(x)max(0,1-x) pour des intervalles flous
  trapézoïdaux ou des nombres flous triangulaires.

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Arithmétique floue Opérations sur les L-R

• I(m,m,a,b)LR J(n,n,c,d)LR alors
• -I(-m,-m,b,a)RL
• I ? J (mn, mn, ac, bd)LR
• I ? J (m-n, m-n, ad, bc)LR si LR

48
Fonction appliquée à un nombre flou