Gli angoli

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Gli angoli
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Definizione di angolo

• Consideriamo un piano a e due semirette a e b
  aventi unorigine in comune B
• Si definisce angolo ciascuna delle parti in cui
  il piano risulta suddiviso dalle due semirette

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Elementi di un angolo
Consideriamo langolo mostrato in figura
Definiamo vertice il punto di origine delle due
semirette
a e b sono i lati dellangolo
a è lampiezza dellangolo ed è lunica
dimensione che lo caratterizza
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Angoli concavi e convessi
Dalla definizione di piano emerge chiaramente che
2 semirette aventi un origine in comune formano 2
angoli perché il piano viene diviso in due parti
Definiamo convesso langolo che non contiene il
prolungamento dei sui lati cioè langolo a
Definiamo concavo langolo che contiene il
prolungamento dei sui lati cioè langolo b
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Angoli consecutivi
Litaliano ci dovrebbe venire in soccorso quando
parliamo di angoli consecutivi
Cosa significa consecutivo?
Una cosa è consecutiva ad unaltra quando la
segue, quando viene dopo, quando abbiamo elementi
che si susseguono l'un l'altro
Da ciò si deduce che anche gli angoli debbono
susseguirsi ma come può avvenire questo?
Due angoli sono consecutivi quando hanno un
vertice ed un lato in comune
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Angoli adiacenti

• Si dicono adiacenti due angoli consecutivi e i
  cui lati non comuni giacciono sulla stessa retta

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Angoli opposti al vertice

• Analizziamo le parole opposti al vertice
• Opposto è ciò che sta dallaltra parte rispetto a
  qualche cosa questo qualche cosa si comporta
  come uno specchio
• Vertice indica che questo qualche cosa è il
  vertice di un angolo
• Da ciò si capisce che due angoli opposti al
  vertice hanno il vertice in comune . Ma ciò non
  basta
• Questi due angoli hanno il vertice in comune ma
  non sono opposti al vertice perché il vertice, in
  questo caso, non si comporta come uno specchio
• Due angoli si dicono opposti al vertice se hanno
  il vertice in comune e se i suoi lati si trovano
  uno sul prolungamento dellaltro
• Due angoli opposti al vertice sono congruenti a
  b

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Bisettrice
Consideriamo langolo AOA1
Tracciamo una semiretta che ha origine nel suo
vertice e che lo divide a metà
Tale retta prende il nome di bisettrice
Definiamo bisettrice la semiretta che partendo
dal suo vertice O divide langolo in due parti
uguali
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Confronto di angoli

• Per confrontare due angoli basta far coincidere
  un vertice e il lato omologo e vedere cosa
  succede
• Vediamo cosa dice il vocabolario alla parola
  omologo che è simile, che corrisponde a un
  altro, che ha caratteristiche identiche
• Quindi i lati omologhi sono lati che hanno la
  stessa funzione come si può vedere nelle due
  immagini qui a fianco in cui i lati omologhi
  hanno lo stesso colore
• Se sposto il lato OA e lo faccio coincidere con
  OA posso confrontare i due angoli
• Col confronto vedo se uno è maggiore, minore od
  uguale allaltro

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Angolo maggiore di unaltro

• Consideriamo le due figure precedenti
• Comè langolo AOB rispetto allangolo AOB
• Quando li sovrappongo vedo che il alto c cade
  allinterno dellangolo AOB
• In questo caso avremmo che langolo AOB gt AOC
• Un angolo è maggiore di un altro quando
  sovrapponendoli si ha che laltro lato del
  secondo angolo cade allinterno del primo

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Angolo minore di unaltro

• Consideriamo i seguenti due angoli AOB e AOC
• Se li sovrapponiamo possiamo facilmente costatare
  che il lato c cade allesterno del lato AOB
• In questo caso avremmo che AOB lt AOC
• Un angolo è minore di un altro quando
  sovrapponendoli si ha che laltro lato del
  secondo angolo cade allesterno del primo

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Angoli congruenti

• Consideriamo i seguenti due angoli AOB e AOC
• Se li sovrapponiamo possiamo facilmente costatare
  che il lato c coincide col lato b
• Perciò si ha che AOB AOC
• Un angolo è congruente ( cioè ha la stessa
  ampiezza) di un altro quando sovrapponendoli si
  ha che laltro lato del secondo angolo coincide
  col suo omologo del primo

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Tipi di angoli

• Possiamo individuare 5 tipi di angoli di cui 3
  notevoli (una cosa è notevole quando ha qualcosa
  di speciale o particolare)
• Angolo giro
• Angolo piatto
• Angolo retto
• Angolo acuto
• Angolo ottuso

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Angolo giro

• Cosa succede se i due lati dellangolo
  coincidono?
• Langolo convesso sarà nullo e quello concavo
  avrà ampiezza massima
• Chiamiamo questo angolo angolo giro

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Angolo piatto

• Definiamo Piatto langolo formato da due
  semirette che sono una il prolungamento
  dellaltra cioè che giacciono sulla stessa retta
• La sua ampiezza è la metà dellangolo giro

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Angolo Retto

• Prendiamo un angolo piatto e tracciamo la sua
  bisettrice
• Tale bisettrice divide langolo in due parti
  uguali
• Definiamo retto ciascuno di questi angoli aventi
  ampiezza pari alla metà dellangolo piatto

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Angoli acuti

• Un angolo si dice acuto se la sua ampiezza è
  minore di quella di un angolo retto

Angolo acuto
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Angolo ottuso

• Un angolo si dice ottuso se la sua ampiezza è
  maggiore di un angolo retto

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Somma di angoli

• Sono dati due angoli AOB e CKD
• Per fare la somma di due angoli faccio coincidere
  i lati non omologhi e i due vertici
• Lati non omologhi sono lati che non occupano la
  stessa posizione (colore diverso)
• AOD è la somma fra langolo AOB e langolo CKD
• AOB CKD AOD
• ? a ß

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Differenza di angoli

• Sono dati due angoli AOB e CKD
• Per fare la differenza di due angoli faccio
  coincidere i lati omologhi e i due vertici
• Lati omologhi sono lati che occupano la stessa
  posizione (stesso colore nella figura)
• DOB è la differenza fra langolo AOB e langolo
  CKD
• AOB CKD DOB
• ? a - ß

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Sottomultipli di angoli

• Prendiamo langolo AOB e dividiamolo in tre parti
  uguali
• Comè langolo AOC rispetto allangolo AOB?
• Sapendo che per definizione langolo AOC è
  contenuto 3 volte in AOB come sarà questo angolo?
• Se AOC è contenuto 3 volte in AOB sarà un suo
  sottomultiplo
• Quando un angolo è sottomultiplo di un altro?

Un angolo è sottomultiplo di un altro quando vi è
contenuto un numero intero di volte
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Multipli di un angolo

• Quante volte AOB contiene AOC?
• Tre volte per definizione (perché ho fatto
  loperazione di dividere langolo in tre parti
  uguali e quindi lho definito in partenza)
• Come sarà AOB rispetto ad AOC?
• Sarà un suo multiplo
• Quando un angolo è multiplo di un altro?
• Un angolo è multiplo di un altro quando lo
  contiene un numero intero di volte

n
ß
a
? è multiplo di ß perché lo contiene n volte ß
è sottomultiplo di a perché è contenuto n volte
in a
x n
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Angoli complementari

• Consideriamo due angoli AOB e CKD e proviamo a
  sommare questi due angoli
• Dalla somma è uscito un angolo retto

Due angoli si dicono complementari se la loro
somma è un angolo retto
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Angoli supplementari

• Consideriamo due angoli AOB e CKD e proviamo a
  sommare questi due angoli
• Dalla somma è uscito un angolo piatto

Due angoli si dicono supplementari se la loro
somma è un angolo piatto
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Angoli esplementari

• Consideriamo due angoli AOB e CKD e proviamo a
  sommare questi due angoli

Dalla somma è uscito un angolo giro
Due Angoli si dicono esplementari se la loro
somma è un angolo giro