Apprentissage des math

1
Apprentissage des mathématiquesRésolution de
problèmes

2
Quelques indicateurs

• sur les acquis des élèves

3
Evaluation sixième 2004

• Plus d'1 élève sur 5 a des difficultés avec les
  "compétences nécessaires pour profiter pleinement
  des situations pédagogiques de sixième" (pour
  plus de 2/3 des items considérés).
• Deux domaines particuliers de difficultés
• le calcul mental
• 72 de réussite aux questions "de base"
• Exemples le quart de 100 (68 ) 36 divisé par
  4 (56 )
• la résolution de problèmes

4
Comparaison internationale (PISA 2003)
5
Deux points faibles caractéristiques

• Des élèves plus angoissés que les autres face aux
  mathématiques
• Une faiblesse particulière lorsqu'il faut
  "prendre des initiatives, expérimenter (faire des
  essais, critiquer, recommencer)"

6
Un exemple
7
Quatre enjeux importants

• Compréhension des connaissances, lien entre
  diverses connaissances
• Disponibilité des connaissances (problèmes)
• Résultats mémorisés et procédures automatisées
• Idée correcte de faire des mathématiques

8
L'exemple des nombresen maternelle et au CP
9
Nombres et mémoire des quantités

• La situation "de référence
• Préparer juste ce qu'il faut de bouchons
• pour en avoir un pour chaque bouteille.

10
Exemples de problèmes en PS et MS

• Collections assez nombreuses et proches
• Placer les bouchons respect de la contrainte
• Jusqu'à 5 ou 6 bouteilles, bouchons proches
• Préparer sur un plateau avant de placer
• Jusqu'à 4 bouteilles, bouchons éloignés
• Aller chercher avec un plateau (en plusieurs
  fois, puis en une seule fois)
• Jusqu'à 10 bouteilles, bouchons éloignés mais
  dans paniers de 1, 2 ou 3 bouchons
• Aller chercher en plusieurs fois

11
En GS et début de CP

• Un problème de référence
• Préparer juste ce qu'il faut de boutons pour
  réparer le robot
• Un type de problème
• à faire vivre
• en maternelle au CP
• Daprès Cap maths CP

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Une condition Les boutons sont dans une boîte
éloignée du robot

• Aller chercher, à distance, juste assez de
  boutons pour réparer le robot (allers-retours
  possibles).
• Aller chercher, à distance, en une seule fois,
  juste assez de boutons pour réparer le robot.
• Les demander oralement
• Les commander par écrit

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Une compétence nécessaire pour réussir

• SAVOIR DENOMBRER
• Reconnaissance perceptive de petites quantités
• Quantités repères constellations, doigts
• Comptage un par un (3 principes importants)
• Correspondance nombre objet
• Dernier nombre dit
• Indépendance du parcours des objets

14
Pour cela, un outil indispensable à maîtriser

• LA SUITE ORALE DES NOMBRES
• À partir de un
• À partir de un jusqu'à
• À partir de jusqu'à
• À rebours

15
Les compétences techniques

• n'ont d'intérêt que si elles sont au service de
  la résolution de problèmes
• mais certaines compétences techniques doivent
  être "routinisées" pour être utilisables.

16
Exemples en géométrie (CM1)
Des exemples de pièces qui "passent" ou qui ne
"passent pas" sont montrés au prélable. A la fin
une validation expérimentale est possible.
17
Problème faire apparaître un diamètre
1ère étape tous les moyens sont possibles.
2e étape les instruments de géométrie sont
interdits.
18
Les élèves et la résolution de problèmes

• Un constat
• Une analyse
• Des propositions

19
Le constat
Déficit d'initiative Difficultés de raisonnement
20
InitiativeUn problème "classique" Evaluation
6e - 2003

• Xavier range les 50 photos de ses dernières
  vacances dans un classeur.
• Chaque page contient 6 photos.
• a) Combien y a-t-il de pages complètes ?
• b) Combien y a-t-il de photos sur la page
  incomplète ?
• Il y a pages complètes.
  54
• Il y a photos sur la page incomplète. 57

21
Procédures possibles

• Division par 6
• Division (CM1)
• Encadrement par deux multiples de 6
• Table de multiplication (CE2)
• Addition de 6 en 6
• Addition (CE1)
• Schématisation des pages et des photos
• Dénombrement (CP)

22
Une question

• Pourquoi des élèves qui disposent de lune ou
  lautre des connaissances permettant de résoudre
  ce problème
• ne pensent-ils pas
• nosent-ils pas
• ne se croient-ils pas autorisés
• (à) les utiliser pour répondre à la question?

23
Raisonnement (exemple 1 évaluation 6e, 2000)

• Le dessin ci-dessous représente un terrain clos.
• On a indiqué la longueur de quatre des cinq côtés
  de ce terrain.
• 40 m
• 55 m
  35 m
• 80 m
• La clôture qui entoure ce terrain a une longueur
  de 260 m.
• Trouve la longueur du cinquième côté.
• Ecris tes calculs. Démarche 64
• Réponse 57

24
Raisonnement (exemple 2 évaluation 6e, 2000)

• Sophie a dessiné et colorié trois étiquettes
  rectangulaires toutes identiques sur une plaque
  de carton, comme le montre le dessin. La plaque
  est rectangulaire et a pour longueur 12 cm et
  pour largeur 10 cm.
• 12 cm
• 
  
• 10 cm
• a) Calcule la longueur réelle dune étiquette.
  Ecris tes calculs. 44
• b) Calcule la largeur réelle dune étiquette.
  Ecris tes calculs. 23
• 22 des élèves ont mesuré

25
Eléments d'analyse
26
Schéma danalyse sommaire

• Connaissances
• en lecture
• sur le contexte
• mathématiques
• sens des notions
• raisonnement
• calcul

• Connaissances
• sur ce qui est attendu
• sur ce qui est permis
• sur ce qui marche souvent
• sur "l'accueil" des erreurs

27
A la bonne place (évaluation CE2)
Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la
place qui convient. 367 582 309
28
Quelques pistes

• pour le travail avec les élèves

29
Apprendre

• le sens du mot chercher

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Un mot à double sens !

• Chercher parmi les solutions expertes déjà
  éprouvées
• si certaines sont applicables directement
• Si certaines sont utilisables en organisant les
  étapes d'un raisonnement
• Imaginer, bricoler une solution nouvelle,
  originale, personnelle, un peu comme le chercheur

31
Favoriser l'appropriation du problème
Place des manipulations aux cycles 1 et 2
32
Dix dans la boîte (Cap maths CP)
- deux joueurs - 1, 2 ou 3 jetons dans la boîte à
chaque coup.
33
Dix dans la boîte 3 problèmes

• Se souvenir de ce qui est mis dans la boîte à
  chaque coup
• Plusieurs solutions dont les nombres
• Connaître le contenu de la boîte
• Vers laddition
• Savoir sil est possible de gagner au coup
  suivant
• Vers le complément

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REEL / ANTICIPATION
Réel Favorise lappropriation de la situation et
du problème

• Anticipation
• Incite à l'expérience mentale

Permet la validation de la réponse ou d'une
procédure
Oblige à élaborer des procédures
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Exploiter la diversité des procédures

• Favoriser la diversité
• Exploiter la diversité
• Aider au progrès des élèves

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Extrait Cap maths CE1
37
Cinq catégories de solutions
38
Correction ou mise en commun ?

• Correction
• Aboutir au corrigé, à LA solution
• Conséquence  résolution  unique dont il faut
  sapprocher le plus possible

• Mise en commun
• Inventorier les  résolutions 
• Débattre de leur validité
• Les comparer
• Conséquence la diversité est possible