FINANCE Le risque syst

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FINANCELe risque systématique

• Professor André Farber
• Solvay Business School
• Université Libre de Bruxelles
• Fall 2006

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Introduction

• Comment calculer la rentabilité attendue et le
  risque dun portefeuille mise en évidence du
  rôle de la covariance
• Décomposition de la variance somme des
  covariances des titres avec le portefeuille
• Importance de la diversification (risque moindre)
  mais aussi limite
• Beta mesure le risque (systématique) dune
  action dans un portefeuille

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Covariance et corrélation

• Mesures statistiques de la covariabilité
• Covariance
• Même unité de mesure que la variance.
• Pas sympa
• Corrélation
• covariance divisée par le produit des écart types
• Covariance et corrélation même signe
• Positif les variables corrélées positivement
• Zero les variables sont independentes
• Negatif les variables sont corrélées
  négativement
• La corrélation est un nombre compris entre 1 and
  1

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Calcul de la rentabilité attendue et du risque
dun portefeuille

• Considérons un portefeuille P constitué de 2
  actifs
• Données
• Rentabilité attendues
• Ecart types
• Covariance
• Portefeuille défini par les pondérations des
  titres x1 , x2
• x1 x2 1
• Rentabilité attendue du portefeuille
• Variance du portefeuille

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Décomposition de la variance du portefeuille

• Quelle est la contribution de chacun des titres
  au risque du portefeuille?
• La variance du portefeuille
• peut sécrire
• La variance du portefeuille est la moyenne
  pondérée de la covariance de chacun des titres
  avec le portefeuille.

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Exemple
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Frontière efficiente 2 actifs
? 1
? -1
? 0
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1 actif risqué 1 actif sans risque
Actif sans risque Actif risqué
Rentabilité attendue 6 12
Ecart type 0 20

• Constituons le portefeuille P suivant
• Pondérations
• Actif sans risque 1-x (40)
• Actif risqué x (60)
• Rentabilité attendue du portefeuille P
• Ecart type du portefeuille

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Relation risque rentabilité attendue

• En combinant les expressions
• Rentabilité attendue
• Ecart type
• il vient

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Ratio de Sharpe
Choisir le portefeuille ayant le ratio de Sharpe
le plus élevé Max r étant donné sMin s étant
donné r
Rentabilité attendue

• Exemple rF 6
• Rentabilité Ecart type
• attendue
• A 9 10
• B 15 20
• Ratio de Sharpe
• A (9-6)/10 0.30
• B (15-6)/20 0.45

B
A
Ecart type
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Choix du portefeuille risqué optimal
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Aversion au risque

• Mathematical representation of preferences
• a risk aversion coefficient
• u certainty equivalent risk-free rate
• Example a 2
• A 6 0 0.06
• B 10 10 0.08 0.10 - 2(0.10)²
• C 15 20 0.07 0.15 - 2(0.20)²
• B is preferred

Utility
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Optimal choice with a single risky asset

• Risk-free asset rF Proportion 1-x
• Risky portfolio S Proportion x
• Utility
• Optimum
• Solution
• Example a 2

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Généralisation à N actifs

• Composition du portefeuille
• (x1, x2, ... , xi, ... , xN)
• x1 x2 ... xi ... xN 1
• Rentabilité attendue
• Risque
• Remarque
• N termes en variances
• N(N-1) termes en covariances
• Covariances dominent

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Some intuition
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Exemple

• Considérons un portfeuille dactions ayant les
  mêmes caractéristiques
• Pondération uniforme
• Variance du portefeuille
• Que se passe-t-il si le nombre de titres augmente
  ?
• Variance of portfolio

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Diversification
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Conclusion

• 1. Diversification pays - adding securities to
  the portfolio decreases risk. This is because
  securities are not perfectly positively
  correlated
• 2. There is a limit to the benefit of
  diversification the risk of the portfolio can't
  be less than the average covariance (cov) between
  the stocks
• The variance of a security's return can be broken
  down in the following way
• The proper definition of the risk of an
  individual security in a portfolio M is the
  covariance of the security with the portfolio

Portfolio risk
Total risk of individual security
Unsystematic or diversifiable risk