Logaritmos

1
Logaritmos
2
Qual é o tempo?

• Giovanna ganhou 1 000 reais de seu pai pra fazer
  sua festa de 15 anos. Ao receber o dinheiro, no
  entanto, resolveu abri mão da festa. É que ela
  queria comprar um computador.
• Mas havia um problema o computador que ela
  queria custava 1 500 reais. O jeito era aplicar o
  dinheiro que tinha, até conseguir o valor
  necessário.

3
Qual é o tempo?

• Giovanna foi ao banco e conseguiu uma taxa de 5
  ao mês, capitalizados mensalmente. Chegando em
  casa, ficou curiosa. Em quanto tempo os 1000
  reais aplicados se transfor-mariam nos 1500 reais
  de que precisava?
• Ela havia acabado de aprender a calcular juros
  compostos. Fez, então, as suas contas.

4
Veja os cálculos
Capital aplicado C 1 000
Taxa 5 ao mês 0,05 ao mês
Montante pretendido M 1 500,00
M C.(1 i)t
? 1 500 1 000 . (1,05)t
1,057 1,407 1,058 1,477 1,059 1,551
? 1,05t 1,5
Giovanna concluiu, portanto, que seu objetivo
seria atingido no final do 9º mês de aplicação.
5
Qual é o expoente?

• Como poderia ser obtido, com uma aproximação
  razoável e sem utilizar o método das tentativas,
  o valor de t na equação 1,05t 1,6?
• A teoria dos logaritmos é muito útil em problemas
  como esse, que envolve a determinação de um
  expoente.

6
História

• A invenção dos logaritmos ocorreu no início do
  século XVII e é creditada ao escocês John Napier
  e ao suiço Jobst Burgi.
• Inicialmente seu objetivo era simplificar os
  cálculos numéricos, principalmente em problemas
  ligados à Astronomia e à Navegação.
• A partir dessa fabulosa invenção, tornaram-se
  mais simples e mais ágeis cálculos de expressões
  como

7
História

• A partir dessa fabulosa invenção, tornaram-se
  mais simples e mais ágeis cálculos de expressões
  como

2,382,5
v12,4
3
.
5,13,8
O valor dessa expressão equivale ao valor de
102,5.log 2,38 (1/3).log 12,4 3,8.log 5,1
8
História

• Foi o matemático inglês Henry Briggs (1561
  1631) quem propôs, inicialmente, a utilização do
  sistema de logaritmos decimais. Afinal, o nosso
  sistema de numeração utiliza justamente a base 10.

9
História

• Atualmente, são inúmeras as aplicações
  tecnológicas dos logaritmos. Eles são úteis, por
  exemplo, na resolução de problemas que envolvem
  desintegração radiotiva, o crescimento de uma
  população de animais ou bactérias, etc.

10
Trabalhando compotências de base 10
11
A base 10

• Todo número positivo pode ser escrito como uma
  potência de base 10, ou como uma aproximação
  dessa potência. Veja os exemplos

1 100 0,1 101
10 101 0,01 102
100 102 0,001 103
1 000 103 0,0001 104
10 000 104 0,00001 105
12
A base 10

• Na maioria dos casos, torna-se difícil escrever
  um número como potência de base 10. Em valores
  aproximados apresentamos os exemplos

2 100,301
3 100,477
7 100,845
11 101,041
13 101,114
13
Exemplos

• Usando as igualdades 2 100,301 e 3 100,477,
  escreva os números 4, 5 e 6 como potência de base
  10.

• 4 22

(100,301)2
100,602
10
10

• 5

101 0,301
100,699
2
100,301
100,301 0,477

• 6 2.3

100,301 . 100,477
100,778
14
Exemplos

• Usando as igualdades 2 100,301 e 3 100,477,
  escreva o número 60 como potência de base 10.

• 60 2.3.10

100,301 . 100,477 . 10
? 60 100,301 0,477 1
? 60 101,778
15
Exemplos

• Usando as igualdades 2 100,301 e 3 100,477,
  resolva a equação exponencial 2x 12.

2x 12
? 2x 22.3
? (100,301)x (100,301)2 . 100,477
? 100,301.x 100,602 . 100,477
? 100,301.x 101,079
? 0,301.x 1,079
1,079
? x 3,585
? x
0,301
16
Logaritmocomo expoente
17
Logaritmo como expoente

• O conceito de logaritmo está associado à operação
  potenciação mais precisamente à determinação do
  expoente. Veja

2x 8
? x 3
No caso, dizemos, que o logaritmo de 8, na base 2
, é igual ao expoente 3. Em símbolos,
log2 8 3
18
Logaritmo como expoente

• Observe calcular o log2 8 é descobrir o expoente
  ao qual se deve elevar a base 2, para obter, como
  resultado, a potência 8.

Vale, portanto a equivalência
log2 8 3
? 23 8
Calcular um logaritmo é obter um
expoente. Logaritmo é o mesmo que expoente.
19
Definição

• Suponhamos dois reais positivos a e b (a ? 1).
  Se ax b, dizemos que x é o logaritmo de b na
  base a (simbolicamente loga b x).

loga b x ? ax b

• a é a base

• b é o logaritmando ou antilogaritmo

• x é o logaritmo

20
Exemplos

• log2 32 5, porque 25 32

• log3 (1/81) 4, porque 34 81

• log10 0,001 3, porque 103 0,001

• log5 v25 2/3, porque 52/3 v252

3
3
De acordo com a definição, calcular um logaritmo
é descobrir o expoente, ou seja, resolver uma
equação exponencial.
21
Exemplos

• Calcular log4 8.

log4 8 x
? 4x 8
? (22)x 23
? 22x 23
? x 3
22
Exemplos

• Calcular log1/3 v9.

5
x
1
log1/3 v9 x
v9
5
5
?

3
? 3x 32/5
? (31)x 32/5
? x 2/5
? x 2/5
23
Condição de existência do logaritmo

• Da definição, concluímos que o logaritmo só
  existe sob certas condições

loga b x ?
b gt 0
a gt 0
a ? 1
24
Condição de existência

• Analise quais seriam os significados de log2
  (4), log(2) 8, log7 0, log1 6 e log0 2, caso
  fossem definidos.

log2 (4) x
? 2x 4
impossível
log2 8 x
? (2)x 8
impossível
log7 0 x
? 7x 0
impossível
log1 6 x
? 1x 6
impossível
log0 2 x
? 0x 2
impossível
25
Observação

• Muitas vezes, um logaritmo envolve variáveis.
  Nesse caso, devemos analisar o domínio dessas
  variáveis. Para isso, usamos as condições de
  existência do logaritmo.

26
Exemplos

• Resolver a equação logx (2x 8) 2.

1o. Vamos analisar a condição de existência do
logaritmo.
2x 8 gt 0
x gt 4
x gt 0
?
?
x gt 0
x gt 0
x ? 1
x ? 1
x ? 1
2o. Usando a definição de logaritmo.
logx (2x 8) 2
? x2 2x 8 0
? x2 2x 8
? S 4
? x 2 ou x 4.
27
Conseqüências da definição
28
Conseqüências da definição

• Admitindo-se válidas as condições de existência
  dos logaritmos, temos os seguintes casos
  especiais, que são conseqüências da definição.

loga 1 0
porque a0 1
loga a 1
porque a1 a
loga ak k
porque ak ak
29
Exemplos

• log3 3 log10 10 log3,7 3,7 1
• log3 1 log10 1 log3,7 1 0
• log3 39 9
• log10 103 3

30
Conseqüências da definição

• Sabemos que loga k é o expoente ao qual se deve
  elevar a base a para se obter k. Vale por isso, a
  seguinte igualdade

31
Exemplos
log5 3

• 5

3
log2 6
1 log2 6

• 2

21.2
2.6 12
log3 5
log3 5
log3 5
2

• 9

(32)

52 25
3
1 log15 3
15
151

• 15

5
log15 3
3
15
32
Sistema de logaritmos
33
Sistema de logaritmos

• Sistema de logaritmos é o conjunto de todos os
  logaritmos numa determinada base. Entre os
  infinitos sistema de logaritmos, destacam-se
  dois
• O sistema de logaritmos decimais utiliza a base
  10. No cálculo de logaritmos decimais,
  convenciona-se não escrever a base, ou seja, log
  x é o mesmo que log10 x.

log x ? logaritmo decimal de x (base 10)
34
Exemplos

• log 1000 log10 1000 3
• log 0,01 log10 102 2
• log 1 log10 1 0
• log 100 log10 100 2

35
Sistema de logaritmos

• O sistema de logaritmos naturais ou neperianos,
  utiliza, como base, o número irracional e.
• Esse número foi introduzido por Euler, em meados
  do século XVIII. Seu valor aproximado é
  e 2,71828.
• O logaritmo natural de um número x pode ser
  indicado por Ln x.

Ln x ? logaritmo natural de x (base e)
36
Exemplos

• Ln e loge e 1
• Ln 10 loge 10 2,3
• Ln e3 loge e3 3

37
Observação

• Chama-se co-logaritmo de a na base b (em
  símbolos, cologb a) o oposto do logaritmo de a na
  base b.

cologb a logb a

• colog2 8 log2 8 3

• colog3 (1/9) log3 (1/9) 2

38
Logaritmos decimais
39
Logaritmos decimais

• O primeiro a utilizar os logaritmos decimais foi
  o matemático inglês Henry Briggs (1561-1631).
• Foi ele quem construiu a primeira tábua de
  logaritmos decimais.

40
Tábua de logaritmos decimais
log 13 1,114 ou 101,114 13
n log n n log n n log n n log n
1 0 11 1,041 21 1,322 31 1,491
2 0,301 12 1,079 22 1,342 32 1,505
3 0,477 13 1,114 23 1,362 33 1,519
4 0,602 14 1,146 24 1,380 34 1,531
5 0,699 15 1,176 25 1,398 35 1,544
6 0,778 16 1,204 26 1,415 36 1,556
7 0,845 17 1,230 27 1,431 37 1,568
8 0,903 18 1,255 28 1,447 ... ...
9 0,954 19 1,279 29 1,462 99 1,996
10 1 20 1,301 30 1,477 100 2
log 35 1,544 ou 101,544 35
41
Exemplos

• Calcule os logaritmos decimais
• a) log 10
• b) log 10 000
• c) log 1013
• d) log 1030
• e) log 0,000001

42
Exemplos

• Consultando a tábua de logaritmos calcule
• a) log 60 log 31 log 5
• b) 100,903 101,505 1000,69
• c) os valores de x e y tais que 10x 26 e
  1000y 15

43
Exemplos

• Em valores aproximados, a tábua de logaritmos
  mostra que log 13 1,114 ou 101,114 13. A
  partir desses valores, sem uso de calculadora,
  obtenha os números seguintes.
• a) 102,114 104,114 100,114 e 1001,557.
• b) log 130 log 13000 log 1,3 e log 1300
• c) os valores de x e y tais que 10x 0,13 e
  13y 103,342.

44
Mudança de base
45
Mudança de base

• Observe uma calculadora científica. Ela permite o
  cálculo apenas dos logaritmos decimais (tecla
  log) e dos logaritmos naturais (tecla Ln).
• Como obter então, numa calculadora, logaritmos em
  outras bases?
• Será possível achar, por exemplo, os valores de
  log3 5 e log7 23?

46
Mudança de base

• Na tábua de logaritmos decimais, encontramos que
  log10 23 1,362 e log10 7 0,845. A partir
  deles, determine o valor log7 23.

log10 23 1,362
? 101,362 23
log10 7 0,845
? 100,845 7
log7 23 x
? 7x 23
? (100,845)x 101,362
? 100,845.x 101,362
1,362
? 0,845.x 1,362
? x
1,612
0,845
47
Fórmula de mudança de base

• De modo geral, podemos calcular logba, utilizando
  uma outra base k arbitrária. Para isso, dividimos
  o logaritmo de a pelo logaritmo de b, na base k
  escolhida.

logk a
Logb a
logk b
48
Exemplos

• Pela tecla Ln (logaritmo natural) de uma
  calculadora, obtemos Ln 6 1,792 e Ln 2 0,693.
  A partir desses valores, calcular log2 6.

loge 6
Ln 6
1,792
2,586
log2 6


loge 2
Ln 2
0,693
49
Exemplos

• Resolver a equação 5x 20, dados os logaritmos
  decimais log 5 0,699 e log 20 1,301.

5x 20
? x log5 20
log10 20
log 20
1,301
log5 20


1,861
log10 5
log 5
0,699
50
Exemplos

• Se logk x 2, calcular logx (1/k).

logk (1/k)
1
logx (1/k)

logk x
2
51
Exemplos

• Se log 2 0,30 e log 3 0,48, calcular log2 3.

1o. Vamos a fórmula de mudança de base.
log 3
0,48
log2 3

1,6
log 2
0,30
Observe que, log2 3 1,6 ? 21,6 3.
52
Exemplos

• Escrevendo os logaritmos numa mesma base, obtenha
  o valor mais simples do produto
• log2 7 . Log7 13 . Log13 2

1o. Vamos a fórmula de mudança de base.
1
1
1
log 7
log 13
log 2
.
.
1
log 2
log 7
log 13
1
1
1
53
Conseqüência mudança de base

• Compare os valores dos log5 25 e log25 5.
• Compare, também, os valores log2 8 e log8 2.
• Que conclusão se pode tirar dessas comparações?
• Se logx y 3/5, calcule logy x.

log5 25 2 e log25 5 1/2
log2 8 3 e log8 2 1/3
logb a 1/loga b
logy x 5/3
54
Generalizando

• Como conseqüência da fórmula de mudança de base,
  temos

loga a
logb a
loga b
1
logb a
loga b
55
Propriedades dos logaritmos
56
Propriedades dos logaritmos

• O logaritmo tem uma particularidade importante.
  Ele transforma operações mais complicadas em
  operações mais simples.
• Com as propriedades dos logaritmos podemos
  transformar
• multiplicações em adições
• divisões em subtrações
• potenciações em multiplicações
• radiciações em divisões.

57
Logaritmo do produto

• Vamos calcular o valor do log 21, a partir dos
  valores de log 3 0,477 e log 7 0,845.

log 3 0,477
? 100,477 3
log 7 0,845
? 100,845 7
log 21 log (3.7) log 3 log 7
log 21 x
? 10x 21
? 10x 3.7
? 10x 100,477.100,845
? 10x 100,477 0,845
? x 0,477 0,845
? x 1,322
58
Logaritmo do produto

• De modo geral, o logaritmo do produto de dois
  números, numa certa base, é a soma dos logaritmos
  desses números, na mesma base.

Loga (x.y) loga x loga y
Para o produto de três ou mais fatores, a
propriedade continua válida.
59
Exemplos

• A partir de log 2 0,301 e log 13 1,114,
  calcular log 26 e log 2000.

• log 26 log (2.13)

log 2 log 13
log 26 0,301 1,114 1,415

• log 2000 log (2.1000)

log 2 log 1000
log 2000 0,301 3 3,301
60
Exemplos

• Sendo x e y reais positivos, decompor log3 (9xy)
  numa soma de logaritmos.

log3 (9xy)
log3 9 log3 x log3 y
log3 (9xy)
2 log3 x log3 y
61
Exemplos

• Transformar num único logaritmo e calcular o
  valor da expressão log 4 log 5 log 50.

log 4 log 5 log 50
log (4.5.50)
log 1000
3
log 4 log 5 log 50
62
Logaritmo do quociente

• Vamos calcular o valor do log (3/2), a partir dos
  valores de log 2 0,301 e log 3 0,477.

log 2 0,301
? 100,301 2
log 3 0,477
? 100,477 3
log (3/2) log 3 log 2
log (3/2) x
? 10x 3/2
3
100,477
? 10x

100,477 0,301
2
100,301
? x 0,477 0,301
? x 0,176
63
Logaritmo do quociente

• De modo geral, o logaritmo do quociente de dois
  números, numa certa base, é a diferença dos
  logaritmos desses números, na mesma base.

x
Loga loga x loga y
y
64
Exemplos

• A partir de log 2 0,301 obter log 5.

10
log 5 log
log 10 log 2
1 0,301
2
? log 5 0,699
65
Exemplos

• Se x e y são reais positivos, decompor em
  parcelas log2 (x/4y).

x
log2
log2 x log2 4y
4y
log2 x (log2 4 log2 y)
log2 x (2 log2 y)
log2 x 2 log2 y
log2 x log2 y 2
66
Exemplos

• Compor (transformar num único logaritmo) a
  expressão E log m log 3 2 log n.

1º. Vamos transformar a parcela 2 na forma de
logaritmo decimal. log 100 2.
E log m log 3 log 100 log n
E (log m log 100) (log 3 log n)
E (log 100m) (log 3n)
100m
E log
3n
67
Logaritmo da potência

• Vamos calcular o valor do log 34, a partir do
  valor de log 3 0,477.

log 3 0,477
? 100,477 3
log 34 x
? 10x 34
? 10x (100,477)4
? x 4 . 0,477
? x 1,908
log 34 4 . log 3
68
Logaritmo da potência

• Generalizando, o logaritmo de uma potência, é
  igual ao produto do expoente da potência pelo
  logaritmo da base.

Loga xk k . loga x
69
Exemplos

• A partir do log 3 0,477, calcular log 0,009.

9
log 0,009 log
log 9 log 100
100
log 32 2
2 . log 3 2
2 . 0,477 2
0,954 2
1,046
70
Exemplos

• Calcular log , a partir dos valores log 2
  0,301, log 3 0,477 e log 13 1,114.

13v3
4
13v3
log
log 13 log v3 log 4
4
log 13 log 31/2 log 22
1
log 13 . log 3 2 . log 2
2
1,144 0,5.0,477 2.0,301
1,144 0,2385 0,601
0,7505
71
Exemplos

• Compor e simplificar a expressão
• E 2.log3 12 log3 8 2

1
3
1º. Vamos transformar a parcela 2 na forma de
logaritmo de base 3. (log3 9 2).
1
E 2.log3 12 log3 8 log3 9
3
E log3 122 log3 81/3 log3 9
E log3 144 log3 2 log3 9
log3 144 log3 (2.9)
144
E log3 144 log3 18
? E log3
log3 8
18
72
Utilizando as propriedades dos logaritmos
complete a tabela de logaritmos decimais.
log n
n
log n
n
log n
n
log n
n
J
31
B C
21
D
11
0
1
5A
32
A D
22
2A B
12
A
2
B D
33
H
23
E
13
B
3
A F
34
3A B
24
A C
14
2A
4
1A C
35
2(1 A)
25
1 B A
15
1 A
5
2(AB)
36
A E
26
4A
16
A B
6
K
37
3B
27
F
17
C
7
A G
38
2A C
28
A 2B
18
3A
8
B E
39
I
29
G
19
2B
9
1 2A
40
1 B
30
1 A
20
1
10
73
Exemplos

• (FGV-RJ) A tabela abaixo fornece os valores dos
  logaritmos naturais (base e) dos números inteiros
  de 1 a 10. Ela pode ser usada para resolver a
  equação exponencial 3x 24, encontrando-se,
  aproximadamente,

x Ln x x Ln x
1 0,00 6 1,79
2 0,69 7 1,95
3 1,10 8 2,08
4 1,39 9 2,20
5 1,61 10 2,30

1. 2,1.
2. 2,3.
3. 2,5.
4. 2,7
5. 2,9

74
Exemplos

• Se log 2 a e log 3 b, escreva o log2 72 em
  função de a e b.

log 23.32
log 72
log2 72

log 2
log 2
log 23 log 32
3.log 2 2.log 3


log 2
log 2
3a 2b

a