Klassikalised jaotused (I)

1
Klassikalised jaotused (I)
2
Binoomjaotus I
Viimasest valemist järeldub ka, et selle
juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste
tõenäosuste summa võrdub ühega, kuna (q p)n
1n 1.
3
Binoomjaotus II
Binoomjaotusega juhuslik suurus on diskreetne.
Seetõttu ei eksisteeri sellel ka tõenäosuse
tihedust (tihedusfunktsiooni). Binoomjaotusega
suuruse jaotuspolügooni nimetatakse sageli ka
binoompolügooniks.
Näide
Koostada sageduse k jaotustabel ja
binoompolügoon, kui n 6 ja p 0,7.
Lahendus
Sageduse k tõenäosused leiame Bernoulli valemist
4
Binoomjaotus III
Binoompolügoonid juhul, kui p 0,8.
5
Binoomjaotusega juhusliku suuruse keskväärtus
Diskreetse juhusliku suuruse keskväärtuse
definitsiooni kohaselt
Selle keskväärtuse leidmiseks diferentseerime p
järgi võrrandit
Selle võrrandi korrutame läbi arvuga p
6
Binoomjaotusega juhusliku suuruse dispersioon ja
standardhälve
Dispersiooni leidmiseks kasutame valemit DX EX2
(EX)2 . Leiame esmalt EX2
Summa leidmiseks diferentseerime valemit (2) kaks
korda p järgi
7
Binoomjaotusega juhusliku suuruse mood
Binoomjaotusega juhusliku suuruse mood e.
tõenäoseim sagedus m0
Kui np q ei ole täisarv, siis
Kui np q on täisarv, siis on binoomjaotusega
juhuslikul suurusel kaks väärtust, mille
esinemistõenäosus on ülejäänute omast suurem.
Need on
Kui p ½, siis on binoomjaotusega juhuslik
suurus sümmeetriline.
8
Poissoni jaotus (I)
Kui Bernoulli valemis on n suur, on tema
kasutamine komplitseeritud. Seetõttu kasutatakse
sageli ka binoomjaotuse piirjaotusi, millest
üheks on Poissoni jaotus (harva esinevate
sündmuste jaotusseadus).
9
Poissoni jaotus (II)
Sümboolselt tähistatakse asjaolu, et juhuslik
suurus on Poissoni jaotusega, X P(?).
Poissoni jaotusega on näiteks radioaktiivses
aines lagunevate aatomite arv ajaühikus,
telefonikeskjaama teatud ajavahemiku vältel
laekuvate väljakutsete arv jne.
Jämeda hinnanguna on Poissoni jaotuse kasutamine
õigustatud, kui np ? 5 ja n ?30.
10
Poissoni jaotuse parameetrid
Teine kriteerim Poissoni jaotuse kasutamiseks
Poissoni jaotust võib kasutada ligikaudse
jaotusena juhul, kui juhusliku suuruse täpseks
jaotuseks on binoomjaotus, mille kesväärtus
erineb vähe dispersioonist, s.o. kui np ?
npq.
11
Näide Poissoni jaotuse kasutamisest
Aparatuur koosneb 1000 elemendist, kusjuures
elemendid töötavad üksteisest sõltumatult.
Tõenäosus elemendi riknemiseks ajavahemiku T
jooksul olgu kõikide elementide jaoks ühesugune
ja võrdne 0,0005-ga. Leida tõenäosus, et
ajavahemiku T jooksul rikneb mitte rohkem kui 2
elementi.
Lahendus
Tehtud eeldustel on ajavahemiku T jooksul
riknenud elementide arv binoomjaotusega, X
B(1000 0,0005). Kuna n ? 30 ja np 1000?0,0005
0,5 ? 5 , siis on Poissoni jaotuse kasutamine
õigustatud.
Poissoni jaotuse parameeter ? n ? p
1000?0,0005 0,5.
12
Ühtlane jaotus (I)
Pidev juhuslik suurus X on ühtlase jaotusega
lõigul a b, kui sellel lõigul on tema
tihedusfunktsioon konstantne ja väljapool seda
lõiku võrdne nulliga
13
Ühtlane jaotus (II)
Asjaolu, et juhuslik suurus X on ühtlase
jaotusega lõigul a b, tähistatakse sümboolselt
X U(a b).
Ühtlase jaotusega juhusliku suuruse keskväärtus
Ühtlase jaotusega juhusliku suuruse dispersioon
Ühtlase jaotusega juhusliku suuruse standardhälve