MATHMATIQUES

1
MATHÉMATIQUES

• Second Semestre

2
BIBLIOGRAPHIE

• Dupont Algèbre pour les sciences économiques,
  Flash U, A. Colin.
• Bernard Guerrien, Isabelle This Les
  mathématiques de la microéconomie, Economica,
  édition de poche.
• Lecoutre Mathématiques pour sciences
  économiques. Exercices corrigés avec rappels de
  cours, Masson.

3
ALGEBRE LINEAIRE

• Espaces vectoriels
• Applications linéaires
• Matrices
• Déterminants
• Systèmes linéaires
• Inversion des matrices

4
ESPACES VECTORIELS

• Définition dun espace vectoriel
• E est un espace vectoriel réel (e.v.r.) s'il est
  muni de deux lois de composition
• une loi de composition interne, appelée addition
  des vecteurs, qui fait de E un groupe commutatif
  EV1 l'addition est associative x (y z)
  (x y) zEV2 l'addition est commutative
  x y y x.EV3 l'addition possède un
  élément neutre, noté 0E
• x 0E xEV4 tout élément x de E possède un
  symétrique pour l'addition, noté  x x (x)
  0E

5
ESPACES VECTORIELS

• une loi de composition externe, appelée
  multiplication par les réels, possédant, les
  propriétés suivantes
• EV5 la multiplication par les réels est
  distributive par rapport à l'addition des nombres
  réels
• (l µ).x l.x µ.xEV6 la multiplication
  par les réels est distributive par rapport à
  l'addition des vecteurs (éléments de E)
• l.(x y) l.x l.yEV7 la multiplication
  par les réels est associative
• (l.µ).x l.(µ.x)EV8 la multiplication par
  le réel 1 est neutre
• 1.x x

6
ESPACES VECTORIELS

• Exemples
• - R, muni de laddition est un e.v.r.
• - Rn (x1,,xn) / x1 ?R,, xn ?R , muni de
  la somme
• (x1,,xn) (y1,,yn) (x1 y1,,xn yn)
• et de la multiplication par les réels
• l.(x1,,xn) (l.x1,, l.xn)
• - A (D, R), lensemble des applications de D
  dans R muni des deux lois
• (f g)(x) f(x) g(x) pour tout x dans D
• (l.f)(x) l.f(x) pour tout x dans D

7
ESPACES VECTORIELS

• Sous espace vectoriel
• Une partie F dun e.v.r. E est un sous espace
  vectoriel de E si et seulement si les deux
  conditions suivantes sont vérifiées
• 1) Pour tout v et tout w dans F, v w est dans
  F
• 2) Pour tout v dans F et tout l dans R, l.v est
  dans F
• On dit aussi que F est une partie stable pour
  laddition des vecteurs et la multiplication par
  les réels.

8
ESPACES VECTORIELS

• Propriété 1
• Une partie F dun e.v.r. E est un sous espace
  vectoriel de E si et seulement si F muni de
  laddition de E et de la multiplication par les
  réels est un e.v.r..
• Propriété 2
• Une partie F dun e.v.r. E est un sous espace
  vectoriel de E si et seulement si
• pour tout u et tout v dans F, pour tout l et
  tout m dans R l.u m.v est dans F.

9
ESPACES VECTORIELS

• Remarques
• Pour montrer quune partie F dun e.v.r. E est
  un sous espace vectoriel de E il faut
• - Vérifier dabord que F est une partie non vide
  de E
• - Utiliser ensuite la définition ou la propriété
  2.
• Combinaison linéaire
• Etant donné p vecteurs v1,,vp dun e.v.r. E,
  une combinaison linéaire des p vecteurs v1,,vp
  est un vecteur u de E sécrivant
• u l1.v1 lp.vp, li appartenant à R pour tout
  1 i p

10
ESPACES VECTORIELS

• Sous espace vectoriel engendré par u1, , up
• Etant donné p vecteurs u1,,up dun e.v.r. E,
• 
  
• est un sous espace vectoriel de E appelé sous
  espace vectoriel engendré par u1, , up .
• Notation F lt u1, , up gt

11
ESPACES VECTORIELS

• Démonstration
• F nest pas une partie vide car 0E ?F
• 0E 0. u1 0. up
• F est un sous espace vectoriel de E
• - Si v et w appartiennent à F alors
• v l1.u1 lp.up et w m1.u1 mp.up
• v w (l1 m1).u1 (lp mp).up
• Par conséquent v w ? F
• - Si v ? F et m ? R, alors
• m.v m(l1.u1 lp.up)
• m.v ml1.u1 mlp.up
• Par conséquent m.v ? F

12
ESPACES VECTORIELS

• Exemple
• F lt (1,1), (2,2)gt est un sous espace vectoriel
  de R2, mais F ? R2.
• Par exemple, le vecteur (3,4) nest pas dans F.
• F u l.(1,1) m.(2,2) / l?R, m?R

13
ESPACES VECTORIELS

• Parties génératrices
• Etant donné p vecteurs u1,,up dun e.v.r. E,
• u1,,up est une partie génératrice de E si
  et seulement si
• E lt u1, , up gt
• Remarque
• u1,,up est une partie génératrice de E si
  et seulement si
• Pour tout v de E, on peut trouver l1,, lp dans
  R tel que
• v l1.u1 lp.up

14
ESPACES VECTORIELS

• Exercice
• Montrer que (1,0), (0,1) est une partie
  génératrice de R2.
• Il faut montrer que pour chaque vecteur u de R2,
  on peut trouver
• l et m tel que lon ait u l. (1,0) m.
  (0,1).
• u sécrit u (x,y).
• (x,y) l. (1,0) m. (0,1)
• (x,y) (l,0) (0,m)
• (x,y) (l, m)
• On choisit l x et m y.

15
ESPACES VECTORIELS

• Propriété
• Toute partie de E contenant une partie
  génératrice de E est aussi une partie génératrice
  de E.
• Dimension dun espace vectoriel
• Un e.v.r. est dit de dimension finie sil existe
  une partie génératrice de E contenant un nombre
  fini de vecteurs.
• Exemple
• E R2 est un e.v.r. de dimension finie car
• R2 lt (1,0), (0,1)gt

16
ESPACES VECTORIELS

• Parties libres
• Etant donné p vecteurs u1,,up dun e.v.r. E,
• u1,,up est une partie libre de E si et
  seulement si
• 
  
• On dit alors que les vecteurs u1,,up sont
  linéairement indépendants.
• Propriété
• Toute partie extraite dune partie libre de E
  est une partie libre de E.

17
ESPACES VECTORIELS

• Exemple
• (1,0), (0,1) est une partie libre de R2.
• En effet, si
• alors
• l1.(1,0) l2.(0,1) (0,0)
• (l1, l2) (0,0)
• Doù
• l1 0 et l2 0

18
ESPACES VECTORIELS

• Exercice
• Montrer que (1,1), (2,2) nest pas une partie
  libre de R2.
• En effet,
• l1.(1,1) l2.(2,2) (0,0)
• entraîne
• l1 2l2 0
• Par conséquent, on na pas nécessairement
• l1 0 et l2 0

19
ESPACES VECTORIELS

• Partie liée
• Une partie u1,,up dun espace vectoriel qui
  nest pas libre est dite liée.
• On dit alors que les vecteurs u1,,up sont
  linéairement dépendants.
• Exemple
• (1,0,0), (1,1,1), (-1,-2,-2) est une partie
  liée.

20
ESPACES VECTORIELS

• Cela signifie quil existe des réels l1, l2, l3
  non tous nuls tel que lon ait
• l1.(1,0,0) l2.(1,1,1) l3.(-1,-2,-2)
  (0,0,0)
• (l1 l2 - l3, l2 -2 l3, l2 -2 l3) (0,0,0)
• Doù le système
• l1 l2 - l3 0
• l2 - 2 l3 0
• l2 2 l3
• l1 - l3
• On peut choisir l1 -1, l2 2, l3 1
• Doù -(1,0,0) 2(1,1,1) (-1,-2,-2) (0,0,0)

21
ESPACES VECTORIELS

• Bases
• Etant donné un e.v.r. de dimension finie n, une
  base de E est un ensemble constitué de n vecteurs
  de E, e1,,en tel que tout vecteur u de E
  sécrive dune façon unique sous la forme
• Les li sont les composantes du vecteur u
  relativement à la base e1,,en .

22
ESPACES VECTORIELS

• Exemple
• (1,0), (0,1) est une base de R2.
• En effet, si u (x,y) est un vecteur quelconque
  de R2, il existe l1 et l2 tel que lon ait
• (x,y) l1.(1,0) l2.(0,1)
• (x,y) x.(1,0) y.(0,1)
• Doù l1 x et l2 y.

23
ESPACES VECTORIELS

• Propriété caractéristique
• e1,,en est une base de E si et seulement si
  e1,,en est une partie génératrice libre de
  E.
• démonstration
• - Supposons que e1,,en soit une base de E.
  Cest donc une partie génératrice de E. Montrons
  quelle est libre.
• La décomposition étant unique, les li sont tous
  nuls.

24
ESPACES VECTORIELS

• Réciproquement, supposons que e1,,en soit
  une partie génératrice libre de E.
• Soit une autre
  décomposition de u.
• Comme e1,,en est une partie libre, li mi
  pour 1in
• u sécrit donc dune façon unique
• et e1,,en est une base de E.

25
ESPACES VECTORIELS

• Comment montrer quune partie e1,,en dun
  espace vectoriel E est une base ?
• 1) On ne connaît pas la dimension de E. On
  utilise alors soit la définition soit la
  propriété caractéristique.
• 2) On connaît la dimension n de E. On montre
  alors que
• e1,,en est une partie libre.

26
APPLICATIONS LINEAIRES

• Définition
• E et F deux espaces vectoriels réels
• f E ? F
• u ? f(u)
• f est linéaire si et seulement si les deux
  conditions suivantes sont vérifiées
• f(u v) f(u) f(v) pour tout u ? E et tout v
  ? E
• f(l.u) lf(u) pour tout u ? E et tout l ?R

27
APPLICATIONS LINEAIRES

• Exemples
• - E R, F R
• f(x) ax
• - E R2, F R
• f R2 ? F
• (x,y) ? f(x,y)
• f(x,y) ax by
• - E R2, F R2
• f(x,y) (2x 3y , x y)

28
APPLICATIONS LINEAIRES

• Propriété caractéristique
• f E ? F est linéaire si et seulement si
• pour tout l ?R, tout m ?R, tout u ? E, tout v ?
  E
• f(l.u m.v) lf(u) mf(v)
• Propriété
• Si f E ? F est linéaire alors f(0E) 0F

29
APPLICATIONS LINEAIRES

• Caractérisation dune application linéaire
• Théorème soit e1,,en une base dun e.v.r.
  E et
• v1,,vn n vecteurs dun e.v.r. F.
• Alors, il existe une application linéaire unique
  f E ? F vérifiant
• f(ei) vi pour i 1,,n
• f est entièrement déterminée par les images des
  éléments dune base de E.

30
APPLICATIONS LINEAIRES

• Démonstration
• Soit u ? E, alors u sécrit dune façon unique
• Soit f une application linéaire de E dans F
• f(u) f(l1e1 lnen) l1f(e1) lnf(en)
• f(u) l1v1 lnvn
• Si lon prend comme définition de f
• f(u) l1v1 lnvn , pour
• f est linéaire et vérifie
• f(ei) vi pour i 1,,n

31
APPLICATIONS LINEAIRES

• Exemple
• Déterminer lapplication linéaire f R2 ? R
  vérifiant
• f(1,0) 3 et f(0,1) 2
• Comme les vecteurs e1 (1,0) et e2 (0,1)
  forment une base de R2, le théorème précédent
  montre quune telle application existe et est
  unique.
• Pour (x,y) ? R2, on a
• (x,y) x.(1,0) y.(0,1)
• f(x,y) 3x 2y

32
APPLICATIONS LINEAIRES

• Composition des applications linéaires
• f E ? F, g F ? G deux applications
  linéaires
• alors h gof E ? G est une application
  linéaire.
• démonstration
• h(l.u m.v) g(f(l.u m.v))
• h(l.u m.v) g(lf(u) mf(v))
• h(l.u m.v) lgof(u) mgof(v)
• pour tout l, m dans R et tout u, v dans E.

33
APPLICATIONS LINEAIRES

• Noyau dune application linéaire
• Définition soit f E ? F une application
  linéaire.
• Le noyau de f, noté Kerf, est défini par
• Kerf u ? E / f(u) 0F

F
E
l
0F
Kerf
34
APPLICATIONS LINEAIRES

• Propriété
• Si f E ? F est une application linéaire, alors
  Kerf est un s.e.v. de E.
• Démonstration
• Kerf nest pas vide car 0E ? Kerf.
• Soit u et v deux vecteurs quelconques de Kerf et
  l, m deux réels quelconques.
• f(lu mv) lf(u) mf(v) (f est linéaire)
• f(lu mv) l0F m0F (u et v sont dans Kerf)
• f(lu mv) 0F
• Par conséquent, lu mv est dans Kerf.
• Kerf est donc un s.e.v. de E.

35
APPLICATIONS LINEAIRES

• Exemple
• Soit f R2 ? R2 définie par
• f(x,y) (xy,xy)
• (f est linéaire, le vérifier)
• Kerf (x,y) ? R2 / f(x,y) 0R2
• Kerf (x,y) ? R2 / f(x,y) (0,0)
• Kerf (x,y) ? R2 / x y 0
• Kerf (x,-x) ? R2 / x ?R
• Kerf x.(1,-1), x ?R
• Kerf lt (1,-1) gt

36
APPLICATIONS LINEAIRES

• Caractérisation des injections linéaires
• Soit f E ? F une application linéaire. Alors f
  est injective si et seulement
• Kerf 0E
• démonstration supposons f injective.
• Soit u ? Kerf, alors f(u) 0F.
• Mais f est injective, doù u 0E
• Donc Kerf 0E.

37
APPLICATIONS LINEAIRES

• Réciproquement, supposons Kerf 0E.
• Si f(u) f(v) alors f(u) f(v) 0F.
• Comme f est linéaire, f(u) f(v) f(u v)
  0F.
• Par conséquent, u v ? Kerf.
• Mais Kerf 0E, donc u v 0E et u v.
• f est donc injective.

38
APPLICATIONS LINEAIRES

• Image dune application linéaire
• Définition soit f E ? F une application
  linéaire.
• Limage de f, notée Imf, est lensemble f(E)
• Imf v ?F / v f(u), u ?E

F
E
E
Imf
39
APPLICATIONS LINEAIRES

• Propriété
• Si f E ? F est une application linéaire, alors
  Imf est un s.e.v. de F.
• Démonstration
• Imf nest pas vide car 0F ? Imf.
• Soit v1 et v2 deux vecteurs quelconques de Imf
  et l1, l2 deux réels quelconques.
• Alors il existe deux vecteurs u1 et u2 de E tel
  que lon ait
• v1 f(u1) et v2 f(u2).
• l1.v1 l2.v2 l1.f(u1) l2.f(u2) f(l1.u1
  l2.u2)
• Donc (l1.v1 l2.v2) ? Imf

40
APPLICATIONS LINEAIRES

• Caractérisation des surjections linéaires
• Soit f E ? F une application linéaire. Alors f
  est surjective si et seulement
• Imf F
• démonstration
• On a toujours Imf ? F.
• f est surjective si et seulement si
• Pour tout v ? F il existe u ? E tel que f(u)
  v.
• Donc, v ? Imf et F ? Imf.

41
APPLICATIONS LINEAIRES

• Caractérisation des bijections linéaires
• Soit f E ? F une application linéaire. Alors f
  est bijective si et seulement
• Kerf 0E et Imf F
• Théorème
• Soit f E ? F une application linéaire
  bijective. Alors f-1 est une application linéaire
  de F dans E.

42
APPLICATIONS LINEAIRES

• Exemple
• Soit f R2 ? R2 définie par
• f(x,y) (xy,xy)
• Imf f(x,y) / (x,y) ? R2
• Imf (xy,xy) / (x,y) ? R2
• Imf (xy).(1,1) / (x,y) ? R2
• Imf l.(1,1) / l ? R
• Imf lt(1,1)gt
• Kerf lt(1,-1)gt

43
APPLICATIONS LINEAIRES

• Rang dune application linéaire
• Définition le rang dune application linéaire
  f E ? F est la dimension de lespace vectoriel
  Imf.
• rg(f) dim(Imf)
• Remarque étant donné une base e1,,en de
  E, le rang de f est égal au nombre maximum de
  vecteurs linéairement indépendants de
  f(e1),,f(en).
• Théorème noyau / image soit E et F deux
  espaces vectoriels de dimension finie et f E ?
  F une application linéaire. Alors on a
• dimE dim(Kerf) dim(Imf)

44
APPLICATIONS LINEAIRES

• Conséquences pratiques
• soit E et F deux espaces vectoriels de
  dimension finie et
• f E ? F une application linéaire.
• f est injective si et seulement si rg(f) dimE.
• f est surjective si et seulement si rg(f) dimF.
• f est bijective si et seulement si rg(f) dimE
  dimF.
• Exemple
• Soit f R2 ? R2 définie par
• f(x,y) (xy,xy)
• Imf lt(1,1)gt ? dimF 1 rg(f)
• Kerf lt(1,-1)gt ? dim(Kerf) 1
• dim(R2) 1 1 2

45
MATRICES

• Définition
• Une matrice M à n lignes et p colonnes est un
  tableau de nombres réels comportant n lignes et
  p colonnes.
• a11 a12 a1p
• . . . .
• M . . aij . ième ligne
• . . . .
• an1 an2 anp
• jème colonne
• M aij1in, 1jp

46
MATRICES

• Lensemble des matrices à n lignes et p colonnes
  se note M (n,p).
• Exemples
• 2
  lignes, 3 colonnes
• 
  
• 2 lignes, 2 colonnes
• 
  
  
• B est une matrice carrée.

47
MATRICES

• Matrice identité
• dordre 2
• dordre n (n lignes, n colonnes)

48
MATRICES

• Matrice diagonale
• Matrice triangulaire
• supérieure inférieure

49
MATRICES

• Opérations sur les matrices
• Somme
• A ?M (n,p), B ?M (n,p)
• C A B
• Cij aij bij
• Exemple

50
MATRICES

• Produit par un nombre réel
• A ?M (n,p), l ?R
• D l.A
• dij laij
• Exemple

51
MATRICES

• Propriété de M (n,p)
• M (n,p) muni de laddition des matrices et du
  produit par les nombres réels est un espace
  vectoriel de dimension np. Une base de cet espace
  vectoriel est formée par les matrices Iij, où Iij
  est la matrice ayant lélément 1 à lintersection
  de la ième ligne et de la jème colonne et ne
  comportant que des zéros ailleurs.

52
MATRICES

• Exemple

53
MATRICES

• Produit de deux matrices
• A ?M (n,p), B ?M (p,m)
• C A x B
• C?M (n,m)
• C cij1in, 1jm

54
MATRICES

• Exemple

55
MATRICES

• Propriétés
• A x (B C) A x B A x C
• A x(B x C) (A x B) x C
• Remarques
• 1) En général, A x B ? B x A.
• Il se peut même que B x A ne soit pas
  défini.
• 2) A x B A x C ? C B

56
MATRICES

• Transposition
• Soit M aij. La transposée de M, notée tM,
  est la matrice dont les éléments sont aji.
• Exemple

57
MATRICES

• Propriétés de la transposition
• t(MP) tM tP
• t(AB) tBtA
• t(tM) M
• Définition
• Une matrice M est symétrique si et seulement si
  M tM.
• Remarque
• Une matrice symétrique est forcément carrée.

58
MATRICES

• Lien entre matrices et applications linéaires
• A toute matrice M?M (n,p) on peut associer une
  application linéaire
• f Rp Rn
• X Y M.X
• A toute application linéaire f Rp
  Rn, on peut associer une matrice qui
  dépend du choix de la base e1,,ep dans
  lespace de départ et du choix de la base
  f1,,fn dans lespace darrivée.

59
MATRICES

60
MATRICES

• Exemple
• f R2 ? R2
• f(x,y) (5x 2y,8x 3y)
• (1,0), (0,1), la base canonique de R2 (espace
  de départ et darrivée).
• f(1,0) (5,8)
• f(0,1) (2,3)
• Matrice associée à f

61
MATRICES

• Exemple
• f R2 ? R2
• f(x,y) (5x 2y,8x 3y)
• (1,1), (1,0) comme base de lespace de départ
• et (1,0), (0,1) comme base de lespace
  darrivée.
• f(1,1) (7,11)
• f(1,0) (5,8)
• Matrice associée à f

62
DETERMINANTS

• Le déterminant dune matrice nest défini que
  pour une matrice carrée.
• Déterminant dordre 2
• Notations
• detA ou

63
DETERMINANTS

• Déterminant dordre 3
• Mineur Mij déterminant de la sous matrice
  obtenue en supprimant la ième ligne et la jème
  colonne

M11
64
DETERMINANTS

65
DETERMINANTS

• Déterminant dordre 3
• On peut développer un déterminant suivant une
  ligne ou une colonne.
• Suivant la première colonne
• detA a M11 aM21 aM31
• Suivant la première ligne
• detA a M11 bM12 cM13
• Le signe que lon met devant le mineur Mij est
  (-1)ij.

66
DETERMINANTS

• Exemple
• Suivant la deuxième ligne

67
DETERMINANTS

• Propriétés des déterminants dordre 2

68
DETERMINANTS
69
DETERMINANTS

• Déterminant dordre n
• Mij est un mineur dordre (n - 1) obtenu en
  supprimant la ième ligne et la jème colonne.
• Remarque pour simplifier les calculs, choisir
  une ligne ou une colonne comportant le maximum de
  zéros.

70
DETERMINANTS

• Propriétés
• Soit A une matrice carrée dordre n
• det(lA) ln detA
• det(tA) detA
• det(A.B) detA .detB
• det(An) (detA)n

71
DETERMINANTS

• Propriétés (suite)
• Déterminant dune matrice diagonale
• Déterminant dune matrice triangulaire

0
0
0
72
DETERMINANTS

• Propriétés (suite)
• Déterminant dune matrice inversible
• Soit A une matrice inversible, cest-à-dire, une
  matrice A telle quil existe une matrice
  vérifiant
• Alors detA ?0 et

73
DETERMINANTS

• Propriétés (suite)
• Manipulation sur les lignes

74
DETERMINANTS

• Propriétés (suite)
• Manipulation sur les lignes

75
DETERMINANTS

• Vecteurs linéairement indépendants de Rn
• Soit u1,,un n vecteurs de Rn. Alors u1,,un
  sont linéairement indépendants si et seulement si
  le déterminant de la matrice dont les colonnes
  sont formées par ces vecteurs est différent de 0.
• Exemple
• Les vecteurs et sont
  linéairement indépendants
• car

76
DETERMINANTS

• Rang dun système de vecteurs
• Le rang du système de vecteurs u1,,un est
  lordre du plus grand sous déterminant non nul
  que lon peut extraire de la matrice dont les
  colonnes sont constituées par ces vecteurs.
• Exemple

77
DETERMINANTS

• Matrice associée à u1, u2, u3
• Rang u1, u2, u3 3. Les vecteurs u1, u2, u3
  forme une partie libre de R4.

78
SYSTEMES LINEAIRES

• Système linéaire
• YAX
• A matrice à n lignes et p colonnes
• X un vecteur de Rp, Y un vecteur de Rn.
• Ce système sécrit
• a11x1 a1pxp y1
• an1x1 anpxp yn
• n équations, p inconnues.
• Une solution de ce système est un p-uplet
  (x1,,xp) qui vérifie les n équations.

79
SYSTEMES LINEAIRES

• Système de Cramer
• YAX
• A matrice carrée dordre n
• Si detA ?0, le système admet une solution
  unique. On dit que cest un système de Cramer.
• On peut écrire la solution de cette équation
  sous la forme de rapports de déterminants.

80
SYSTEMES LINEAIRES

• Exemple
• Cest un système de Cramer car

81
SYSTEMES LINEAIRES

• La solution sécrit

82
SYSTEMES LINEAIRES

• Remarque
• Cette méthode est peu utilisable pour résoudre
  numériquement des systèmes réels (n élevé).
• Elle a surtout un intérêt théorique.

83
SYSTEMES LINEAIRES

• Méthode du pivot de Gauss
• Le principe de la méthode consiste à éliminer
  une ou plusieurs variables par combinaisons
  linéaires entre les équations du système pour le
  transformer en un système triangulaire facile à
  résoudre.
• Cas p n
• Il y a autant déquations que dinconnues
• Exemple

84
SYSTEMES LINEAIRES

• Représentation du système linéaire par une
  matrice

85
SYSTEMES LINEAIRES

• Recherche dans la première colonne dun nombre
  égal à 1 (appelé pivot)

• Recherche dans la première colonne dun nombre
  égal à 1 (appelé pivot)

86
SYSTEMES LINEAIRES

• Echanger la ligne du pivot avec la première ligne

87
SYSTEMES LINEAIRES

• Faire apparaître des zéros sous le pivot de la
  première colonne
• Multiplier par 2 la ligne du pivot
• Soustraire le résultat de la deuxième ligne

-
X 2
88
SYSTEMES LINEAIRES

• Faire apparaître des zéros sous le pivot de la
  première colonne

Multiplier la ligne du pivot par (-1) et
soustraire de la troisième ligne
89
SYSTEMES LINEAIRES

• On ne modifie plus la première ligne
• On passe à la deuxième colonne
• On permute la deuxième et troisième ligne
• Il ny a pas de 1 dans la deuxième colonne on
  divise par 6 la deuxième ligne

90
SYSTEMES LINEAIRES

• Faire apparaître un zéro sous le 1 de la deuxième
  colonne
• Pour cela, on multiplie la deuxième ligne (ligne
  du pivot) par (-11) et on la retranche de la
  troisième.

91
SYSTEMES LINEAIRES

• On ne modifie plus la deuxième ligne.
• On fait apparaître un 1 dans la troisième colonne
  (dernier pivot) à la troisième ligne.

92
SYSTEMES LINEAIRES

• Retour au système déquations
• Le système décrit par la matrice
• correspond au système triangulaire déquations

93
SYSTEMES LINEAIRES

• Solution du système triangulaire
• z 13
• y 3
• x 2

94
SYSTEMES LINEAIRES

• Méthode du pivot cas pn
• Etape 1 construire le tableau

95
SYSTEMES LINEAIRES

• Méthode du pivot cas pn
• Etape 2
• Si , passer à létape 3. On appelle
  le pivot.
• Si , et , diviser la
  ligne L1 par
• et passer à létape 3.
• Si , on choisit dans la première
  colonne de A un élément . On échange
  ensuite la ligne du pivot avec la première ligne.

96
SYSTEMES LINEAIRES

• Méthode du pivot cas pn
• Etape 3
• Pour chaque i ? 2,,n on remplace la ligne Li
  par
• Li ai1L1, on obtient la matrice

97
SYSTEMES LINEAIRES

• Méthode du pivot cas pn
• On poursuit alors par itération sur les colonnes
  
• on retourne à létape 1, mais en considérant la
  deuxième colonne, puis la troisième,jusquau
  pivot .
• Remarques
• - Si au cours du processus on tombe sur une
  ligne ne comportant que des zéros, on la
  supprime.
• - Sil apparaît une ligne composée de zéros sauf
  pour la dernière colonne, le système na pas de
  solution.

98
SYSTEMES LINEAIRES

• Méthode du pivot cas pn
• On peut transformer le système linéaire
  triangulaire obtenu en un système linéaire
  diagonal et lire directement la solution
  lorsquil y en a une.
• Reprenons la matrice obtenue dans lexemple
  précédent.

99
SYSTEMES LINEAIRES

• Méthode du pivot cas pn
• On part de la troisième colonne et on fait
  apparaître des zéros au dessus de la dernière
  ligne par la même méthode que précédemment.

100
SYSTEMES LINEAIRES

• Méthode du pivot cas pn
• On continue avec la deuxième colonne.

101
SYSTEMES LINEAIRES

• Méthode du pivot cas p?n
• Soit r le rang de la matrice A. Supposons nltp et
  rn.
• Exemple

102
SYSTEMES LINEAIRES

• Exemple

103
SYSTEMES LINEAIRES

• Exemple

104
SYSTEMES LINEAIRES

• Exemple
• On remarque que le rang de la nouvelle matrice A
  est 2 car

105
SYSTEMES LINEAIRES

• Exemple
• On obtient donc le système déquations
• qui a une infinité de solutions sexprimant à
  laide de la variable auxiliaire z

106
SYSTEMES LINEAIRES

• Méthode du pivot cas p?n
• Soit r le rang de la matrice A. Supposons rltnp
  .
• Exemple

107
SYSTEMES LINEAIRES

• Exemple

108
SYSTEMES LINEAIRES

• Exemple

109
SYSTEMES LINEAIRES

• Exemple

Supprimer la ligne de zéros
110
SYSTEMES LINEAIRES

• Exemple
• On revient au système exprimé par le dernier
  tableau.
• Le système possède une infinité de solutions
  s écrivant à laide de la variable auxiliaire z.

111
INVERSION DES MATRICESMéthode du pivot de Gauss

• Principe du calcul de linverse dune matrice
  carrée
• Soit A une matrice carrée telle que detA?0.
  Alors linverse de A, noté A-1 existe.
• Supposons par exemple que A est une matrice
  carrée dordre 3. On cherche une matrice A-1

112
INVERSION DES MATRICES

• Ce problème est équivalent à la résolution de
  trois systèmes linéaires
• On va appliquer la méthode du pivot de Gauss
  pour résoudre simultanément ces trois systèmes.

113
INVERSION DES MATRICES

• Exemple
• Tableau représentant les trois systèmes à
  résoudre

114
INVERSION DES MATRICES

• Exemple

115
INVERSION DES MATRICES

• Exemple

116
INVERSION DES MATRICES

• Exemple

117
INVERSION DES MATRICES

• Exemple

118
INVERSION DES MATRICES

• Exemple

Inverse de A
I3
119
INVERSION DES MATRICESMéthode de la comatrice

• Exemple
• Comatrice matrice des cofacteurs

Cofacteur de 1
120
INVERSION DES MATRICESMéthode de la comatrice

• Exemple (suite)
• Transposée de la comatrice
• Déterminant de A det(A) 2
• Inverse de A

121
CALCUL INTEGRAL

• Introduction
• Intégrale de Riemann
• Propriétés
• Primitives
• Techniques dintégration

122
CALCUL INTEGRAL

• Aire dune partie de R2

123
CALCUL INTEGRAL

• Approximation dune aire

Approximation par défaut
Approximation par excès
124
CALCUL INTEGRAL

• Aire dune région sous le graphe dune fonction
  continue sur a,b

125
CALCUL INTEGRAL

• Intégrale dune fonction continue sur a,b
• Soit f une fonction continue sur a,b. On
  partage le segment a,b en n sous intervalles de
  même longueur
• et lon pose
• Pour 1 i n, soit un point du segment
  xi-1, xi.
• On appelle intégrale définie de f sur a,b le
  nombre défini par

126
CALCUL INTEGRAL

• Approximation dune intégrale par une somme de
  Riemann
• La somme sappelle
  une somme de Riemann.

milieu de