L'approche du nombre

1
1/ faire des maths 2/ faire faire des maths 3/
regardez ce que ça donne
2
La construction du nombreapprentissage et
difficultés
3

• Plan général
• Diverses conceptions de lapprentissage
• Repères didactiques
• 3. Quelques obstacles
• 4. Évaluer les difficultés
• 3. Les situations dapprentissage

4
?Diverses conceptions de l'apprentissage
5
tout sujet apprenant le nombre doit se poser
naturellement les mêmes questions que ses
inventeurs pour le comprendre
6
Lapport du constructivisme
On admet que la plupart des connaissances
(savoirs et savoirs-faire) ne sont ni reçues du
milieu par un organisme passif,
ni-pré-programmées à la naissance de telle façon
que le sujet se les appropriait
nécessairement. Ces connaissances sont
construites par le sujet dans le cours de son
activité.
7
Piaget, Szeminska, 1941
sujet
milieu (d'apprentissage)
équilibre
élément nouveau
assimilation
accommodation
organisation
équilibration
Stades de développement Stades dapprentissages
8
Piaget, Szeminska, 1941
Trois opérations logiques élémentaires sont des
pré-requis à la construction du nombre - la
conservation - la sériation - l'inclusion

• Ceci permettant de définir les stades de
  développement connus
• le stade sensori-moteur (0 à 2 ans)
• la période pré-opératoire (2 à 6 ou 7 ans)
• le stade des opérations concrètes (6 ou 7 ans à
  11 ou 12 ans)
• le stade des opérations formelles (ou
  hypthético-déductif)

9
Piaget, Szeminska, 1941
Cette notion de stades dapprentissages induit
une conception  linéaire  de la construction de
connaissances sur le nombre relative à lâge des
élèves. Le nombre est ainsi au service de la
construction du réel (en le quantifiant, en le
mesurant) donc dépendant de l'accumulation
d'expériences du sujet.
10
Une autre approche Gelman et Gallistel (années
80)
La connaissance de la "comptine" numérique comme
préalable. Limportance de lactivité de comptage
/ dénombrement. Cinq principes régissent le
comptage.
11
Les cinq principes qui régissent le comptage
(selon Gelman)
1. Principe de correspondance terme à terme à
chaque unité on doit faire correspondre un
mot-nombre
Coordonner le geste à la récitation un mot par
geste, pas plus, pas moins
un
deux
trois
quatre
cinq
12
Les cinq principes qui régissent le comptage
(selon Gelman)
2. Principe de suite stable les mots nombres
doivent toujours être récités dans le même ordre
Mémoriser une suite de mots et la restituer de la
même manière dans des contextes qui peuvent
varier.
13
Les cinq principes qui régissent le comptage
(selon Gelman)
3. Principe cardinal le dernier mot nombre
prononcé réfère à lensemble
Accepter de conceptualiser contre une
connaissance donc de force, par répétition ou
imitation La question du combien
5

?
2
3
4
1
14
Les cinq principes qui régissent le comptage
(selon Gelman)
4. Principe dindifférence de lordre les
unités peuvent être comptées dans nimporte quel
ordre
L'ordre des objets à dénombrer n'a pas
d'importance alors que les mots qui servent dans
cette situation sont en ordre !
En revanche, l'organisation spatiale des objets
dénombrés revêt une importance qui peut s'avérer
fondamentale.
15
Les cinq principes qui régissent le comptage
(selon Gelman)
5. Principe d abstraction toutes sortes
d éléments peuvent être rassemblés et comptés
ensemble.
2
2
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La place du calcul dans la construction du nombre
Deux thèses modernes concernant le calcul
Brissiaud le calcul comme accélérateur
dapprentissage du comptage, donc la nécessité de
développer des compétences dès le plus jeune âge.
Gelman et bien dautres le comptage doit
précéder les activités de calcul (en référence
aux cinq principes).
attention, le calcul dont parle Brissiaud nest
pas lalgorithme de laddition par sur-comptage,
mais plutôt la perception dune quantité par la
somme de ses parties (voir les constellations,
les livres à compter)
17
Les apports de la recherche récente
(neurosciences)
Des capacités numériques sont repérables chez le
nourrisson dès l'âge de 6 mois discrimination
perceptive, addition et soustraction de petites
quantités. Des capacités que le petit d'homme
partage avec ses semblables singes, dauphins,
oiseaux pas de quoi pavoiser ! Les régions
cérébrales concernées par le calcul et la
manipulation des quantités ne sont pas toujours
les mêmes (le diagnostique de la dyscalculie s'en
trouve compliqué). Rôle prépondérant du langage
comme désignation dans la construction du
principe de cardinalité.
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?Repères didactiques
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Une solution au dilemme
Le nombre outil et la problématisation apprend
re en...
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apprendre en résolvant des problèmes
Les connaissances1 du sujet se construisent
à travers des actions finalisées2 c'est à dire
permettant de résoudre un problème, de répondre à
une question dans une situation qui a du sens
pour le sujet dès le départ ou dont le sens
apparaît très vite au cours de la résolution.
1 savoir, savoir-faire, conceptions et
représentations
2 véritables activités de recherche et pas
seulement de manipulation
21
Lescalier ci-dessous est construit avec 15 pavés
et il a cinq marches. Quel nombre de
marches aurai-je à monter si lescalier était
construit avec 120 pavés ?
1
Parmi les nombres de 0 à 999, combien de nombres
contiennent le chiffre 5  ?
2
22
apprendre en remettant en cause des connaissances
antérieures
Les connaissances ne s'entassent pas, ne
s'accumulent pas. Elles ne se construisent pas de
façon linéaire et continue. Leur élaboration est
soumise à des ruptures.
"On placera les élèves dans des situations qui
permettent de provoquer un conflit."
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La monnaie de la pièce... Trois jeunes gens
prennent leur petit déjeuner dans un bar. Ils
doivent payer 30 euros et donnent chacun une
pièce de 10 euros. La patronne, charmante, décide
de leur faire une réduction de 5 euros. Le
serveur prend donc 5 pièces de 1 euro, mais, ne
pouvant les partager en trois il décide
subrepticement de glisser 2 euros dans sa poche
et donne généreusement une pièce de 1 euro à
chacun des trois jeunes gens.
Finalement chacun a payé (10 - 1) euros, donc 9
euros. En ajoutant les 2 euros du serveur, on
obtient ((9 x 3) 2) euros soit 29 euros. MAIS
nous avions 30 euros. Où est donc passé le
dernier euro?
24
apprendre en dépassant ses erreurs
Identifier ses erreurs et les analyser pour
pouvoir les corriger se fait grâce à la médiation
de lautre. L'erreur est  normale  c'est une
forme de connaissance. Elle est constitutive de
lapprentissage.
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apprendre en faisant fonctionner, en répétant
Apprendre ne se fait pas en une seule fois
(ou très rarement). Apprendre c'est aussi
recommencer, revenir en arrière, donc répéter,
mais en comprenant ce que l'on fait et pourquoi
on le fait.
"La répétition mécanique d'actes dépourvus
d'intentionnalité ou de sens ne saurait être
génératrice d'acquisition d'un savoir-faire
réellement maîtrisé (et cela en particulier pour
les enfants en difficulté)."
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apprendre en communiquant avec d'autres
Apprendre ne se fait pas tout seul, mais dans un
contexte d'interactions sociales.
D'où l'importance du travail en groupe dans les
classes. "Les seules actions que les enfants
imitent sont celles qu'ils peuvent déjà faire
parfaitement bien." J.Bruner
Le contexte de ce dispositif de travail renforce
le rôle essentiel de médiation de l'adulte.
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apprendre en utilisant
Dans la programmation des apprentissages visant
la construction du nombre, la fonction outil est
à privilégier sur la fonction objet.
La formalisation du signe et la mise en évidence
du concept na de sens qu après sa mise en œuvre
répétée dans des contextes différents.
28
?Quelques obstacles
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quelques obstacles
numération et compréhension des bases problèmes
de chiffres transcodage difficultés de la
numération de position la question du zéro
documentaire l'empire des nombres
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la question de la dyscalculie

• DSM-IV trouble du calcul
• retard significatif dans les tests standardisés
  de mathématiques par rapport à lâge
  développemental
• interférence avec la réussite scolaire
• ne sexplique pas par un déficit sensoriel
• Le problème peut donc coexister avec dautres
  affections.

CIM 10 trouble spécifique de lacquisition de
l'arithmétique Altération spécifique des
performances en arithmétique, non imputable
exclusivement à un retard mental global ou à une
scolarisation inadéquate. L'altération concerne
la maîtrise des éléments de base du calcul
addition, soustraction, multiplication et
division.
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Quelques stratégies pour lutter contre les
symptômes de la dyscalculie

• Outils d'apprentissage pour l'élève
• Permettre l'utilisation des doigts
• Permettre la multiplication des écrits de
  recherche
• Permettre l'utilisation de l'ordinateur pour
  l'entraînement et l'étude
• Suggérer l'utilisation de papiers spéciaux
  millimétré, quadrillé
• Démarche et méthode de travail
• Traduire en dessin les mots d'un énoncé
  problématique
• Favoriser la manipulation pour expérimenter
• Utiliser des procédés mnémotechniques
• Stratégies d'enseignement
• Utiliser les schémas et les graphiques pour
  l'explication
• Favoriser les aides possibles par des pairs
• Diversifier les techniques de communication
  écrite (couleurs)
• Utiliser le rythme et la musique pour enseigner
  certaines notions mathématiques

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?Évaluer les difficultés
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repérer les compétences et les difficultés de
chacun.
QUOI ? connaissance de la comptine -
jusqu'où? - stabilité? - erreurs? (omissions,
régularités récurrentes,...) recours spontané
au dénombrement maîtrise du dénombrement -
synchronisation entre geste et récitation de la
comptine - organisation - réponse par le
dernier mot énoncé constitution d'une
collection de cardinal donné lecture des
nombres successeur d'un nombre (si on ajoute
un élément à une collection dénombrée, le nombre
d'éléments est le nombre suivant dans la
comptine).
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repérer les compétences et les difficultés de
chacun

• COMMENT ?
• observations au cours de différentes activités
• entretiens individuels
• observations en contexte collectif

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Que faire des données observées Organiser la
re-médiation
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Évaluation préalable
détour
Activités conjointes complémentaires
de re-médiation
Situations dapprentissages
Activités conjointes de structuration
Thierry Dias, Montpellier, novembre 2001
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Les principes du détour

• Faire un détour prend du temps.

• Le détour est un autre chemin.

• Le détour est accompagné.

• Le détour ramène sur le chemin principal.

Évaluation préalable
détour
activités de re-médiation
Situations dapprentissages
Thierry Dias, Montpellier, novembre 2001
38
repérer les compétences et les difficultés de
chacun
Connaissance de la comptine orale Comptine
stable jusqu'à .. Err
eurs repérées ..
Connaissance de la comptine écrite Erreurs
repérées ..
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repérer les compétences et les difficultés de
chacun

• Recours au dénombrement
• Dans la situation problème proposée (aller
  chercher des crayons pour un nombre d'élève
  donné) repérer si
• L'élève a recours au dénombrement
• L'élève apporte en un voyage un lot de crayons
  approximatif
• L'élève apporte en un voyage tous les crayons
• L'élève tente d'organiser les collections

40
repérer les compétences et les difficultés de
chacun

• Maîtrise du dénombrement
• 1. "Combien de ?"
• (collection d'objets réels dont le cardinal est
  choisit dans le domaine de connaissance de
  l'élève).
• L'élève à recours au dénombrement
• synchronisation des gestes et de la récitation de
  la comptine
• organisation du dénombrement
• maîtrise du principe de cardinalité
• L'élève a recours à une estimation
• L'élève ne réagit pas

41
repérer les compétences et les difficultés de
chacun

• Maîtrise du dénombrement
• 2. "Combien de ?"
• (collection d'objets représentés, stylo ou crayon
  disponible)
• L'élève à recours au dénombrement
• synchronisation des gestes et de la récitation de
  la comptine
• organisation du dénombrement (par ajout de
  dessin)
• maîtrise du principe de cardinalité
• L'élève a recours à une estimation
• L'élève ne réagit pas

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repérer les compétences et les difficultés de
chacun

• Maîtrise du dénombrement
• 3. n -n
• Lors de l'ajout puis du retrait de n éléments à
  la collection
• L'élève à recours au recomptage complet de la
  collection
• L'élève utilise un procédé de sur-comptage
• L'élève effectue une opération mentale

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repérer les compétences et les difficultés de
chacun

• Constitution d'une collection de cardinal donné
• On demande à l'élève de prélever ("donne moi") n
  objets réels pris dans une collection plus
  grande.
• L'élève s'arrête au terme du dénombrement des n
  objets en déclarant qu'il a terminé
• L'élève dénombre tous les objets jusqu'à
  épuisement des objets (ou de ses compétences)
• L'élève s'aperçoit qu'il a oublié ce qu'on lui
  avait demandé
• L'élève donne un tas sans dénombrer

44
1.1 repérer les compétences et les difficultés
de chacun

• Maîtrise de l'aspect ordinal
• On utilise un jeu de cartes-nombres et une piste
  incomplète.
• L'élève sait replacer les cartes dans l'ordre
  croissant
• L'élève sait placer les cartes dans l'ordre
  décroissant
• L'élève sait compléter la bande numérique à trous

45
1.1 repérer les compétences et les difficultés
de chacun

• Comparaison de collections
• À faire avec des objets réels puis avec des
  objets représentés.
• 1. Comparaison de collections très différentes
• L'élève donne une réponse immédiate
• L'élève dénombre chaque collection
• L'élève utilise la correspondance terme à terme
• 2. Comparaison de collections peu différentes
• L'élève donne une réponse immédiate
• L'élève dénombre chaque collection
• L'élève utilise la correspondance terme à terme

46
?Les situations d'apprentissage
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On peut retenir trois caractéristiques pour
définir les situations d'apprentissage Les
situations fonctionnelles Les situations
rituelles Les situations spécifiques Les
situations  construites 
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1.2 développer l'envie d'utiliser les nombres.

• situations rituelles
• appel, cantine
• - calendriers

• situations occasionnelles
• répartition dans les ateliers
• organisation pour aller chercher du matériel
• distributions diverses
• gestion de scores
• - utilisation de recettes

• situations spécifiques
• comptines avec des nombres
• jeux de doigts
• jeux de dés (lecture des dés et déplacement sur
  une piste dans un jeu de l'oie simplifié)
• - jeux de cartes (Bataille, Pouilleux avec des
  cartes numérotées de 1 à 6 ou 8)

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Les situations construites
mise en œuvre Cinq phases - découverte -
reconnaissance d'une procédure experte -
communication orale - communication écrite -
réinvestissement
50
objectifs - comprendre que le dénombrement
est un moyen expert pour construire une
collection équipotente à une collection donnée,
hors de la présence de celle-ci,
- élaborer un langage pour exprimer les
anticipations d'actions et les validations des
solutions. ("je vais compter pour voir combien il
m'en faut" "ça ne va pas, il en manque" ...).
51
procédures - procédures relatives au
dénombrement, relatives à la mémorisation du
nombre, relatives à l'écriture du nombre ou
relatives à la validation.
variables didactiques - nature des informations
et du matériel., nombre d'essais autorisés, champ
numérique, communication.
52
Le coloredo
Il sagit d utiliser un jeu du commerce
constitué de plaques en plastiques, de jetons de
4 couleurs pouvant s encastrer sur les plaques
et de modèles de dessin se glissant sous les
plaques.
Chaque binôme reçoit une plaque, un dessin. Il
faut regarder le dessin avant d agir. Comme les
jetons ne sont pas à la disposition immédiate des
joueurs, il faut se déplacer. Un seul voyage est
toléré. La commande est vérifiée au retour par la
mise en place des jetons.
53
Le coloredo
Phase 1 aller chez le magasinier afin de
ramener les jetons nécessaires.
Il sagit d utiliser un jeu du commerce
constitué de plaques en plastiques, de jetons de
4 couleurs pouvant s encastrer sur les plaques
et de modèles de dessin se glissant sous les
plaques.
Phase 2 aller chez le magasinier afin de
ramener les jetons nécessaires en un seul voyage.
Les élèves sont en binômes de joueurs, on garde
deux binômes pour jouer le rôle des magasiniers.
Phase 3 remplir un bon de commande puis aller
chez le magasinier afin de ramener les jetons
nécessaires en un seul voyage.
54
Le coloredo
Cette situation représente une situation
fondamentale d utilisation des nombres. En
effet, l élève qui s y engage se trouve dans
l obligation d utiliser les nombres et de
prendre conscience du rôle de ces nombres, de ce
à quoi ils servent. La règle lui est tout à fait
compréhensible apporter le nombre nécessaire et
suffisant d objets en une seule fois. Ainsi,
l élève peut se lancer dans l action quelles
que soient ses connaissances sur le nombre. Cette
situation permet à l élève de - contrôler son
action et recevoir le contrôle des autres, -
débattre avec eux de la qualité de son
résultat - de recommencer de lui-même autant de
fois qu il le souhaite - de décider seul ce
qu il choisit d entreprendre. Cette situation
permet enfin au maître d organiser de très
nombreux problèmes de difficultés progressives,
elle est a-didactique car elle valide les
propositions des élèves sans recours à la parole
de lenseignant.
55
Bibliographie autour de la construction du
nombre - Comptes pour petits et grands (Baruk,
Magnard, guide pratique) - L'enfant et le nombre
(M. Fayol - Delachaux et Niestlé - 1990) -
Partager, c'est compter (O.Frydman - La Recherche
- n215 - 1989) - Le développement du concept de
nombre chez le jeune enfant (M-P Chichignoud -
Revue Grand N n 36, IREM de Grenoble) - Comment
les enfants apprennent à calculer (R. Brissiaud -
Retz) - Calcul ou comptage ? Calcul et comptage
(R.Charnay - Revue Grand N n50) -
Apprentissages numériques en grande section
(ERMEL - Hatier 1990) - Apprentissage numérique
au CP (ERMEL - Hatier 1991) - Compte sur moi
(Magnard 2001, CP et CE1) - Activités de partage
en maternelle (Revue Grand N n33) - "Jeux
numériques et élaboration de règles à l'école
maternelle" et "Jeu du loup et de l'escargot"
(Revue Grand N n46) - Deux oiseaux dans chaque
nid (GS - Revue Grand N n 48) - Du rite de
l'appel... à des activités mathématiques en
grande section d'école maternelle (Revue Grand N
n51) - Livres à compter (Revue Grand N n 52)
- La préparation des ateliers "jeux de société"
en grande section (revue Grand n55)