Probl

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Problème des groupes

• Un amphi de 200 élèves loi normale moyenne X et
  écart type s
• Un élève on peut connaître la probabilité de sa
  note
• Exemple, X10, s2,
• lélève à 14 gt Top 2,5
• Lélève à 11 gt Top 31
• Comment faire pour un groupe délèves ?
• Sur un groupe, les bonnes notes sont compensées
  par les mauvaises
• Extrêmement improbable quun groupe ait 14 de
  moyenne
• 8 14 16 16 18
• Une moyenne de 12, cest déjà beaucoup
• 8 10 12 14 16

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Comment faire ?

• Individu
• On compare la note dun individu à la
  distribution des notes
• On conclut grâce à la loi normale

• Groupe de taille N
• On compare un groupe de taille N à la
  distribution des groupes de taille N.
• Plus précisément, on compare la moyenne dun
  groupe avec la distribution des moyennes des
  groupes de taille N
• On conclut grâce à la loi normale

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Exemple

• VOS notes danglais de lan dernier
• Notes danglais par groupe de 4

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Distribution déchantillonnage des moyennes

• On prend un groupe E au hasard de taille N
• On calcule sa moyenne E 10,2
• On recommence avec beaucoup de groupes
• 9,6 9,7 10,3 10,8 10,0 10,3 11,2
  
• On obtient une distribution
• Cest la distribution déchantillonnage
• des moyennes

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Théorème central limite

• Soit X une variable suivant une loi normale de
  moyenne X écart type sx
• On note EX la distribution déchantillonnage des
  moyennes.
• Alors
• EX suit une loi normale
• Cette loi normale a pour moyenne X
• Cette loi normale a pour écart type sx / ?N

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Exemple des Notes danglais

• Les notes danglais suivent
• la loi normale (plus ou moins)
• de moyenne X10,5
• et décart type sX 3
• Sa distribution déchantillonnage des moyennes
  (groupes de taille 4)
• suit une loi normale
• de moyenne EX10,5
• et décart type sEX 3/?4 3/21,5

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Exemple des notes

• Un amphi de 200 élèves suit
• la loi normale
• de moyenne X10
• et décart type sX 2
• Sa distribution déchantillonnage des moyennes
  (groupes de taille 25)
• suit une loi normale
• de moyenne EX10
• et décart type sEX 2/?25 2/50,4

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Ne mélangeons pas tout !

• X est la moyenne de la distribution X
• G est la moyenne du groupe G
• E est la moyenne de léchantillon E
• EX est la distribution déchantillonnage des
  moyennes.
• Comme toute distribution, EX a une moyenne.
• EX est la moyenne de la distribution EX
• Si cest clair, tout le reste est facile !

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Problème

• Un amphi moyenne X10, écart type sX2
• Le groupe des APA (25 élèves) moyenne G11
• La différence est-elle significative ?
• On va comparer la moyenne du groupe à la
  distribution déchantillonnage des moyennes EX
• EX10
• sEX 2/?25 2/50,4
• Ensuite, on utilise la loi normale
• Hautement significatif (au risque 1)

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Autre formulation de la solution
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Quand on ne connaît pas ?

• Dans lexemple précédent, on a comparé la moyenne
  dun groupe G à la moyenne de la population X.
  Coup de chance, on connaissait lécart type de la
  population.
• Problème Si on ne connaît pas ?X, comment faire
  ?
• Solution On fait une approximation, on remplace
  ?X par sG

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Exemple des salaires

• Un groupe de 10 femmes comparent leur salaire à
  celui des hommes
• Salaire moyen des hommes
• moyenne28 k,
• Écart type?
• Salaire des 10 femmes 24, 27, 31, 21, 19, 26,
  30, 22, 15, 36
• Moyenne 25,1 k
• Écart type 5,9
• On approxime lécart type des salaires moyens des
  hommes par lécart type des salaires moyens des
  femmes

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Approximation sG nest pas ?X

• Si N est grand (Ngt30) pas de problème, sG est
  presque égal à ?X
• Si N est petit (Nlt30 ) sG est une sous
  estimation de ?X
• Donc le Z obtenue serait trop grand (par rapport
  à celui quon obtiendrait si on connaissait ?X )
• Dans ce cas, on remplace Z par le T de Student

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Récapitulatif
On connaît sX On conclut grâce à la table de la loi normale
On ne connaît pas ?X N est grand (Ngt30) On conclut grâce à la table de la loi normale
On ne connaît pas ?X N est petit (Nlt30) On conclut grâce à la table du T de Student
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T de Student

• Un échantillon de taille N a un degré de liberté
  (ddl) de N-1.
• On trouve le T de Student grâce à la table

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ATTENTION

• Pour le ? 2
• DDL (colonnes-1)x(lignes-1)

• Pour le T de Student
• DDL effectifs - 1

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Exemple des salaires

• On calcule TObs
• Au risque 5 DDL 9, on trouve TTh2,262
• Comme TObs lt TTh,
• on ne peut pas rejeter H0