Sance 13: 2022006

1
Mécanique-physique des matériaux
Lobjectif principal de cette partie du cours
est de fournir la culture minimale permettant
décrire des comportements de matériaux en
grandes déformations
et de comprendre les concepts utilisés par les
codes de calcul industriels pour les calculs en
grandes transformations.
2
Mécanique-physique des matériaux dernière partie
Lingénieur doit
avoir une vision densemble des familles de
matériaux (principales propriétés physiques,
mécaniques et économiques)

• maîtriser des méthodes de recherche
  dinformations
• complémentaires et plus précises sur certains
  matériaux

3
Programme indicatif
Séance 7 Comportement des alliages métalliques
élastoplasticité
Séance 8 Elastoplasticité en petites
transformations Etude de cas de calcul de
structures en élastoplasticité en petites
transformations
Séance 9 Elastoplasticité en grandes
transformations Etude de cas de calcul de
structures en élastoplasticité en grandes
transformations
Rapport sur létude de cas
Séance 10 Etude thermodynamique de la
progression dune fissure, taux de relaxation
dénergie
Séance 11 Hypothèses de la mécanique linéaire de
la rupture, ténacité, loi de Paris, limite
dendurance. Les différents concepts de
résistance. Etude de cas
Rapport sur létude de cas
Séance 12 (facultative) Viscoélasticité en
grandes transformations étude de cas de calcul
de structures en viscoélasticité en grandes
transformations
Éventuellement, rapport sur létude de cas
Séance 13 et 14 La méthode des indices de
performance. Etudes de cas de choix de matériaux.
Utilisation du logiciel CES.
Rapport sur létude de cas Questionnaire
4
Séance 13
Méthode de choix des matériaux
(Michael F. Ashby)
Présentation de la méthode
Etudes de cas
5
Rappels séance 1
L ingénieur a, aujourdhui à sa disposition de
40 000 à 80 000 matériaux

• Lobjectif principal de cette partie du cours
• est de fournir la culture minimale
• permettant daborder de manière efficace les
  problèmes
• de choix des matériaux
• en conception mécanique.

6
Classification Ingénieur
Alliages métalliques
Céramiques
Céramiques techniques
Céramiques poreuses
Verres
Polymères
Polymères techniques
Elastomères
Mousses de polymères
Bois
Composites
7
Classification Ingénieur
Univers
Famille
Classe
Sous-classe
Membre
Caractéristique
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
5005-0 5005-H4 5005-H6 5083-0 5083-H2 5083-H4 5154
-0 5154-H2 ...
Densité Module Résistance Ténacité Conductivité
th. Dilatation th. Résistivité Coût Corrosion Oxyd
ation ...
Aciers Alliages Cu Alliages Al Alliages
Ti Alliages Ni Alliages Zn
Céramiques Verres Métaux Polymères Elastomères Com
posites
Matériaux
8
Méthode de choix des matériaux
La méthode est basée sur la construction
d indices de performance.
Les indices de performance sont des scalaires qui
peuvent être exprimés à l aide des propriétés
d usage des matériaux.
9
(No Transcript)
10
Extrait du logiciel CES du professeur ASHBY
Titanium General Designation Ti
Alloys Composition Ti alloying elements, e.g.
Al, Zr, Mo, Si, Sn, Ni, Fe, V Atomic Volume
(average) 0.01 - 0.011 m3/kmol Density 4.36 - 4.
84 Mg/m3 Energy Content 750 - 1250 MJ/kg Price
24.5082 - 65.3552 EUR/kg Recycle
Fraction 0.55 - 0.65 .
11
Extrait du logiciel CES du professeur ASHBY
Mechanical Bulk Modulus 100 - 176 GPa Compressive
Strength 130 - 1395 MPa Ductility 0.01 - 0.4 El
astic Limit 172 - 1245 MPa Endurance
Limit 175 - 705 MPa Fracture Toughness 14 - 120
MPa.m1/2 Hardness 600 - 3800 MPa Loss
Coefficient 1e-004 - 5e-003 Modulus of
Rupture 130 - 1300 MPa Poisson's
Ratio 0.35 - 0.37 Shape Factor 35 Shear
Modulus 32 - 51 GPa Tensile Strength 240 - 1625
MPa Young's Modulus 90 - 137 GPa
12
Extrait du logiciel CES du professeur ASHBY
Thermal Glass Temperature Not Applicable K Late
nt Heat of Fusion 360 - 370 kJ/kg Maximum
Service Temperature 570 - 970 K Melting
Point 1750 - 1955 K Minimum Service
Temperature 0 - 0 K Specific Heat 510 - 650 J/kg
.K Thermal Conductivity 3.8 - 20.7 W/m.K Thermal
Expansion 7.9 - 11 10-6/K
Electrical Breakdown Potential Not
Applicable MV/m Dielectric Constant Not
Applicable Resistivity 41.7 - 202 10-8
ohm.m Power Factor Not Applicable
13
Extrait du logiciel CES du professeur ASHBY
Environmental Resistance Flammability Very
Good Fresh Water Very Good Organic
Solvents Very Good Oxidation at 500C Good Sea
Water Very Good Strong Acid Good Strong
Alkalis Good UV Very Good Wear Average Weak
Acid Very Good Weak Alkalis Very Good
Notes Typical Uses Aircraft turbine blades
general aerospace applications chemical
engineering heat exchangers bioengineering
medical. Warning In powder form very flammable
and an irritant if ingested
14
(No Transcript)
15
Structure d un problème de conception
Données Chargement DC
Données Géométriques DG
Variables Géométriques VG
Variables Matériaux VM
CONTRAINTES C(DC,DG,VG,VM )lt1
OBJECTIF O(DC,DG,VG,VM )
Conceptionltgt Déterminer VG et VM de façon que
O(DC,DG,VG,VM ) soit minimale
sous la contrainte C(DC,DG,VG,VM )lt1
16
Exemple1Barre raide de poids minimum
Concevoir la barre la plus légère possible, de
longueur l, dont lallongement sous traction à
force F soit inférieure à dm
Données Chargement DC(F, dm )
Données Géométriques DGl
Variables Géométriques VGS (section)
Variables Matériaux VM (?,E)
(Masse volumique et module dYoung)
CONTRAINTES(dltdm)
d F l /E S
C(F,dm,l,S,E) F l E-1 S-1dm-1 lt1
OBJECTIF O(l,S,?)m lS?
Conception
ltgt Déterminer S et (?,E) de façon que O(l,S, ?)
soit minimale sous la contrainte C(F,l,S,E)lt1
17
Il faut tenter de simplifier le problème
mécanique pour que la forme générale des
fonctions contraintes et objectif soit
C(DC,DG,VG,VM) O(DC,DG,VG,VM)
Réécriture
cnlog(Cn)
olog(O)
cn(dC,dG,vG,vG)lt0 linéaire
o(dC,dG,vG,vG) linéaire
Minimisation de o sous les contraintes
cn(dC,dG,vG,vG)lt0 gt Programmation linéaire (par
exemple simplex)
18
Méthode pratique de choix du matériau
1/ Premier cas (très courant)
1 contrainte et 1 variable géométrique
On élimine alors la variable géométrique entre
la contrainte et la fonction objectif.
Cela donne une fonction objectif réduite
IM est lindice de performance du matériau pour
le problème donné
19
Exemple1Barre raide de poids minimum
Concevoir la barre la plus légère possible, de
longueur l, dont lallongement sous traction à
force F soit inférieure à dm
Données Chargement DC(F, dm )
1 contrainte 1 variable géométrique
Données Géométriques DGl
Variables Géométriques VGS (section)
Variables Matériaux VM (?,E)
(Masse volumique et module dYoung)
CONTRAINTES(dltdm)
d F l /E S
1/ on isole S dans la contrainte
C(F,dm,l,S,E) F l E-1 S-1dm-1 lt1
S gt dm-1F l E-1
2/ on élimine S dans lobjectif
OBJECTIF O(l,S,?)m lS?
mgt dm-1F l2 E-1?
Oréduit (dm,F,l,?,E) dm-1F l2 E-1?
doit être minimale
IME/?
doit être maximal
20
IM E /?
21
Exemple1.2Barre résistante de poids minimum
Concevoir la barre la plus légère possible,
résistante à la traction F et de longueur l
Données Chargement DC F
1 contrainte 1 variable géométrique
Données Géométriques DGl
Variables Géométriques VGS (section)
Variables Matériaux VM (?,sr)
(Masse volumique et résistance à la traction)
CONTRAINTES(slt sr)
s F/S
1/ on isole S dans la contrainte
C(F,S,sr ) F sr-1 S-1 lt1
S gt F sr-1
2/ on élimine S dans lobjectif
OBJECTIF O(l,S,?)m lS?
mgt F l sr-1?
Oréduit (F,l,?,sr) F l sr-1?
doit être minimale
IM sr /?
doit être maximal
22
IM ?r /?
23
Exemple1.3 Poutre raide de coût minimum Section
carrée, coté à déterminer
Concevoir la poutre la moins chère possible, de
longueur l donnant une flèche inférieure à dm
sous la charge F en flexion trois points.
DGl
VGa
DC (F, dm )
VM (CR?,E)
24
d F l3 /(4E a4)
25
Exemple1.3 Poutre raide de coût minimum Section
carrée, coté à déterminer
Concevoir la poutre la moins chère possible, de
longueur l donnant une flèche inférieure à dm
sous la charge F en flexion trois points.
Données Chargement DC (F, dm )
1 contrainte 1 variable géométrique
Données Géométriques DGl
Variables Géométriques VGa
Variables Matériaux VM (CR?,E)
(coût volumique et module dYoung)
CONTRAINTES(dltdm)
d F l3 /(4E a4)
1/ on isole a dans la contrainte
C(F,dm,l,a,E) F l3 E-1 a-4dm-14-1 lt1
a gt (F l3 E-1 dm-14-1 )1/4
2/ on élimine a dans lobjectif
OBJECTIF O(l,a,CR?)c la2CR?
c gt (F1/2 dm-1/2 l5/2 CR? E-1/2)/2
Oréduit (F,dm,l,CR?,E)(F1/2 dm-1/2
l5/2CR?E-1/2)/2
doit être minimale
IM E1/2 /CR?
doit être maximal
26
IM E1/2/ CR?
27
Exemple1.4 Poutre raide de coût minimum Section
rectangulaire, hauteur à déterminer
Concevoir la poutre la moins chère possible, de
longueur l et d épaisseur a donnant une flèche
inférieure à dm sous la charge F en flexion trois
points.
DGl,a
VGb
DC (F, dm )
VM (CR?,E)
28
Exemple1.4 Poutre raide de coût minimum Section
rectangulaire, hauteur à déterminer
Concevoir la poutre la moins chère possible, de
longueur l et d épaisseur a donnant une flèche
inférieure à dm sous la charge F en flexion trois
points.
Données Chargement DC (F, dm )
1 contrainte 1 variable géométrique
Données Géométriques DG(l,a)
Variables Géométriques VGb
Variables Matériaux VM (CR?,E)
(coût volumique et module dYoung)
CONTRAINTES(dltdm)
d F l3 /(4E ab3)
1/ on isole b dans la contrainte
C(F,dm,l,a,b,E) F l3 E-1 a-1b-3dm-14-1 lt1
b gt (F l3 E-1a-1 dm-14-1 )1/3
2/ on élimine b dans lobjectif
OBJECTIF O(l,a,b,CR?)c labCR?
c gt (F1/3dm-1/3 l2a2/3 CR? E-1/3)2-2/3
Oréduit (F,dm,l,a,CR?,E) (F1/3dm-1/3 l2a2/3 CR?
E-1/3)2-2/3
doit être minimale
IM E1/3 /CR?
doit être maximal
29
IM E1/3/ CR?
30
Exemple1.5 Poutre raide de coût minimum Section
rectangulaire, largeur à déterminer
Concevoir la poutre la moins chère possible, de
longueur l et de hauteur b donnant une flèche
inférieure à dm sous la charge F en flexion trois
points.
DGl,b
VGa
DC (F, dm )
VM (CR?,E)
31
Exemple1.5 Poutre raide de coût minimum Section
rectangulaire, largeur à déterminer
Concevoir la poutre la moins chère possible, de
longueur l et de hauteur b donnant une flèche
inférieure à dm sous la charge F en flexion trois
points.
Données Chargement DC (F, dm )
1 contrainte 1 variable géométrique
Données Géométriques DG(l,b)
Variables Géométriques VGa
Variables Matériaux VM (CR?,E)
(coût volumique et module dYoung)
CONTRAINTES(dltdm)
d F l3 /(4E ab3)
1/ on isole a dans la contrainte
C(F,dm,l,a,b,E) F l3 E-1 a-1b-3dm-14-1 lt1
a gt (F l3 E-1b-3 dm-14-1 )
2/ on élimine a dans lobjectif
OBJECTIF O(l,a,b,CR?)c lbaCR?
c gt (Fdm-1 l4b-2 CR? E-1)4-1
Oréduit (F,dm,l,b,CR?,E) (Fdm-1 l4b-2 CR? E-1)4-1
doit être minimale
doit être maximal
IM E /CR?
32
IM E/ CR?
33
Exemple1.6 Poutre résistante de coût
minimum Section rectangulaire, hauteur à
déterminer
Concevoir la poutre la moins chère possible, de
longueur l et d épaisseur a résistante à la
charge F en flexion trois points.
DGl,a
VGb
DC F
VM (CR?,sr)
34
Exemple1.6 Poutre résistante de coût
minimum Section rectangulaire, hauteur à
déterminer
Concevoir la poutre la moins chère possible, de
longueur l et d épaisseur a résistante à la
charge F en flexion trois points.
Données Chargement DC F
1 contrainte 1 variable géométrique
Données Géométriques DG(l,a)
Variables Géométriques VGb
Variables Matériaux VM (CR?,sr)
(coût volumique et résistance)
CONTRAINTES(slt sr)
s 3F l /(2 ab2)
1/ on isole b dans la contrainte
C(F,l,a,b, sr) F l sr -1 a-1b-2(3/2) lt1
b gt (F l sr -1a-1(3/2))1/2
2/ on élimine b dans lobjectif
OBJECTIF O(l,a,b,CR?)c labCR?
c gt (F1/2l3/2a1/2 CR? sr -1/2)(3/2)1/2
Oréduit (F,l,a,CR?, sr ) (F1/2l3/2a1/2 CR? sr
-1/2)(3/2)1/2
doit être minimale
IM ?r1/2/ CR?
doit être maximal
35
IM ?r1/2/ CR?
36
Méthode pratique de choix du matériau
2/ Deuxième cas
nombre n de contraintes indépendantes nombre n
de variables géométriques indépendantes
On peut souvent éliminer les n variables
géométriques entre les n contraintes et la
fonction objectif.
Cela donne une fonction objectif réduite (sans
variable géométrique)
La fonction objectif réduite donne un indice de
performance matériau IM
On retient le matériau qui a la valeur maximale
de lindice
37
Exemple2.1 Bande de traction, rayon minimum
Concevoir la bande de traction de largeur l
donnée permettant de tirer avec une force F
donnée et pouvant senrouler après utilisation
sur le mandrin de plus faible diamètre possible.
DCF
DGl
VG(R,e)
VM (sr,E)
CONTRAINTES
C1(F,e,l,sr) F/elsrlt1
Résistance à la traction slt sr
sF/el
C2(R,e,E,sr) Ee/2Rsrlt1
Résistance à lenroulement slt sr
s Ee/2R
OBJECTIF
O(R) R
Nous avons 2 contraintes et 2 variables
géométriques
38
Exemple2.1 Bande de traction, rayon minimum
CONTRAINTES
C1(F,e,l,sr) F/elsrlt1
gt Log(F/lsr )-Log(e)lt0
C2(R,e,E,sr) Ee/2Rsrlt1
gt Log(E/2sr )Log(e)- Log(R)lt0
O(R) R
39
IM ?r2/E
40
Exemple2.2 Bande de traction, poids minimum
Concevoir la bande de traction permettant de
tirer avec une force F donnée et pouvant
senrouler sur le mandrin de rayon R de masse la
plus faible possible.
VM (sr,E,?)
DCF
DGR
VGe,l
CONTRAINTES
C1(F,e,l,sr) F/elsrlt1
Résistance à la traction slt sr
sF/el
C2(R,e,E,sr) Ee/2Rsrlt1
Résistance à lenroulement slt sr
s Ee/2R
OBJECTIF
à minimiser
O(R,e,l,?) ?elR
Nous avons 2 contraintes et 2 variables
géométriques
41
Exemple2.2 Bande de traction, poids minimum
CONTRAINTES
C1(F,e,l,sr) F/elsrlt1
gt Log(F/sr )-Log(e)-Log(l )lt0
C2(R,e,E,sr) Ee/2Rsrlt1
gt Log(E/2sr R)Log(e)lt0
O(R,e,l,?) ?elR
Il faut minimiser Log e Log l
42
IM ?r/ ?
43
Malheureusement, cela ne se passe pas toujours
aussi bien!
44
Exemple2.3 Poutre raide et résistante de coût
minimum
Concevoir la poutre la moins chère possible, de
longueur l et résistante à la charge F en flexion
trois points et donnant une flèche inférieure à
?m.
DC(F, ?m)
DGl
VGa,b
VM (CR?? ?r,E)
45
Exemple2.3 Poutre raide et résistante de coût
minimum
Concevoir la poutre la moins chère possible, de
longueur l et résistante à la charge F en flexion
trois points et donnant une flèche inférieure à
?m.
DC(F, ?m)
DGl
VGa,b
VM (CR?? ?r,E)
CONTRAINTES(dltdm)
dF l3 /(4E ab3)
C1 (F,dm,l,a,b,E) F l3 E-1 a-1b-3dm-14-1 lt1
(slt sr)
s 3F l /(2 ab2)
C2 (F,l,a,b, sr) F l sr -1 a-1b-2(3/2) lt1
OBJECTIF O(l,a,b,CR?)c labCR?
a,b et le matériau doivent être choisis pour
minimiser O(l,a,b,CR?)
Nous avons 2 contraintes et 2 variables
géométriques
46
Exemple2.3 Poutre raide et résistante de coût
minimum
C1 (F,dm,l,a,b,E) F l3 E-1 a-1b-3dm-14-1 lt1
gt Log(F l3 E-1 dm-14-1 )-Loga-3Logblt0
C2 (F,l,a,b, sr) F l sr -1 a-1b-2(3/2) lt1
gtLog(F l sr -1 (3/2) )-Loga-2Logblt0
O(l,a,b,CR?) labCR?
Il faut donc minimiser
Domaine des géométries admissibles
LogaLogb
47
Exemple2.3 Poutre raide et résistante de coût
minimum
C1 (F,dm,l,a,b,E) F l3 E-1 a-1b-3dm-14-1 lt1
C2 (F,l,a,b, sr) F l sr -1 a-1b-2(3/2) lt1
O(l,a,b,CR?) labCR?
Posons abe aussi petit que lon veut, il
existe toujours b tel que
F l3 E-1 dm-14-1 ltab3
et F l sr -1 (3/2) ltab2
On peut donc rendre le coût nul en respectant les
deux contraintes
Lorsque lon obtient ce type de résultats, cest
généralement que lon a pas su poser
correctement le problème mécanique.
48
Exemple2.3 Poutre raide et résistante de coût
minimum
Ici, Il y a un risque de flambement latéral de la
poutre si a est  trop petit . Nous y
reviendrons plus loin.
49
Méthode pratique de choix du matériau
3/ troisième cas
nombre n de contraintes indépendantes gt nombre p
de variables géométriques indépendantes
On peut souvent éliminer les p variables
géométriques à laide de p contraintes choisies
parmi les n et la fonction objectif.
Cela donne un ensemble de minorants nécessaires
de la fonction objectif (sans variable
géométrique)
La fonction objectif réduite sexprimera comme
le sup de ces minorants. Ceci donne un indice de
performance matériau IM complexe.
On retient le matériau qui a la valeur maximale
de lindice
50
Exemple3.1Poteau léger résistant en compression
Concevoir le poteau cylindrique de révolution le
plus léger possible, résistant à la compression F
et de longueur l
DCF
DGl
VGR
VM (???r,E)
CONTRAINTES
1/résistance du matériau
C1(F,R,sr)F/(pR2 sr)lt1
slt sr
2/résistance au flambement
FltFcrit
avec Fcrit p2EI/l2 p3ER4 /4l2
C2(F,R,l,E)4Fl2/(p3ER4 )lt1
OBJECTIF
O(R,l,?) p?lR2
à minimiser
Nous avons 2 contraintes et 1 variable géométrique
51
Exemple3.1Poteau léger résistant en compression
CONTRAINTES
1/ on isole R dans chaque contrainte
C1(F,R,sr)F/(pR2 sr)lt1
Rgt (F/(p sr)1/2
C2(F,R,l,E)4Fl2/(p3ER4 )lt1
R gt(4Fl2/(p3E )1/4
O(R,l,?) mp?lR2
2/ on élimine R dans l objectif pour obtenir
deux minorants de l objectifs
mgt lF?sr-1 et m gt2 p -1/2 F1/2l2 E-1/2?
mgtSup(lF?sr-1 , 2 p -1/2 F1/2l2 E-1/2?)
à minimiser
Dun point de vue pratique, on commence par
étudier les deux indices
IM1 ?-1 sr
IM2 E1/2?-1
52
IM1 ?r /?
53
IM2 E1/ 2/?
54
LogIM2-Log 2p1/2F1/2l2
m gt2 p -1/2 F1/2l2 E-1/2?
IM2 E1/2?-1
LogIM1-Log Fl
Droite de Log(1/m)
Plan Log(1/m)
55
LogIM2-Log 2p1/2F1/2l2
m gt2 p -1/2 F1/2l2 E-1/2?
IM2 E1/2?-1
LogIM1-Log Fl
Plan (IM1, IM2)
Droite de 1/m
Plan 1/m
56
Exemple3.2 Bande de traction, poids minimum
Concevoir la bande de traction de largeur l
donnée permettant de tirer avec une force F
donnée et pouvant senrouler sur le mandrin de
rayon R de masse la plus faible possible.
DCF
DGR,l
VGe
VM (?r ?E,?)
CONTRAINTES
C1(F,e,l,sr) F/elsrlt1
Résistance à la traction slt sr
sF/el
C2(R,e,E,sr) Ee/2Rsrlt1
Résistance à lenroulement slt sr
s Ee/2R
OBJECTIF
à minimiser
O(R,e,l,?) ?elR
Nous avons 2 contraintes et 1 variable géométrique
57
Exemple3.2 Bande de traction, poids minimum
C1(F,e,l,sr) F/elsrlt1
e gtF/lsr
C2(R,e,E,sr) Ee/2Rsrlt1
elt 2Rsr /E
Condition nécessaire Il doit exister un matériau
tel que
F/ 2 l R lt sr 2/E
Indice de sélection
sr 2/E
O(R,e,l,?) ?elR gt FR??r-1
Indice de performance IM sr /?
IM doit être maximisé parmi les matériaux
sélectionnés
58
Indice de sélection ?r2 / E
Matériaux sélectionnés
F/ 2 l R lt ?r2 / E
59
IM?r/ ?
Matériaux sélectionnés
60
Exemple3.3 Poutre raide et résistante de coût
minimum
Concevoir la poutre la moins chère possible, de
longueur l , résistante à la charge F en flexion
trois points et donnant une flèche inférieure à
?m.
DC(F, ?m)
DGl
VGa,b
VM (CR?? ?r,E)
61
Exemple3.3 Poutre raide et résistante de coût
minimum
Concevoir la poutre la moins chère possible, de
longueur l , résistante à la charge F en flexion
trois points et donnant une flèche inférieure à
?m.
DC(F, ?m)
DGl
VGa,b
VM (CR?? ?r,E)
CONTRAINTES(dltdm)
d F l3 /(4E ab3)
C1 (F,dm,l,a,b,E) F l3 E-1 a-1b-3dm-1(1/4) lt1
(slt sr)
s 3F l /(2 ab2)
C2 (F,l,a,b, sr) F l sr -1 a-1b-2(3/2) lt1
OBJECTIF O(l,a,b,CR?)c labCR?
a,b et le matériau doivent être choisis pour
minimiser O(l,a,b,CR?)
62
Exemple3.3 Poutre raide et résistante de coût
minimum
C1 (F,dm,l,a,b,E) F l3 E-1 a-1b-3dm-1(1/4) lt1
C2 (F,l,a,b, sr) F l sr -1 a-1b-2(3/2) lt1
O(l,a,b,CR?) labCR?
Posons abe aussi petit que lon veut, il
existe toujours b tel que
F l3 E-1 dm-1(1/4) ltab3
et F l sr -1 (3/2) ltab2
On peut donc rendre le coût nul en respectant les
deux contraintes
Lorsque lon obtient ce type de résultats, cest
généralement que lon a pas su poser
correctement le problème mécanique.
63
Exemple3.3 Poutre raide et résistante de coût
minimum
Ici, Il y a un risque de flambement latéral de la
poutre si a est  trop petit .
64
Exemple3.3 Poutre raide et résistante de coût
minimum
Flambement latéral des poutres de section
rectangulaire (Prandtl 1899)
Fcr17.2 (GIT EIz)1/2/(2l)2
Izba3/12
ITba3/3
Fcr(17.2/24) ba3E (G/E)1/2/l 2
65
Exemple3.3 Poutre raide et résistante de coût
minimum
CONTRAINTES
d F l3 /(4E ab3)
Flèche
(dltdm)
C1 (F,dm,l,a,b,E) F l3 E-1 a-1b-3dm-1(1/4) lt1
(slt sr)
s 3F l /(2 ab2)
Résistance
C2 (F,l,a,b, sr) F l sr -1 a-1b-2(3/2) lt1
Stabilité vis à vis du flambement latéral
Flt K ba3E /l 2
gt C3(F,l,a,E) Fl2/(KEba3) lt1
Nous avons 3 contraintes et 2 variables
géométriques
66
Exemple3.3 Poutre raide et résistante de coût
minimum
Premier cas de figure
C1 (F,dm,l,a,b,E) F l3 E-1 a-1b-3dm-1(1/4) lt1
-Loga-3LogbLog(F l3 E-1 dm-1(1/4)) lt0
C2 (F,l,a,b, sr) F l sr -1 a-1b-2(3/2) lt1
-Loga-2Logblog(F l sr -1 (3/2)) lt0
C3(F,l,a,b,E) Fl2K-1E-1b-1 a-3 lt1
-3Loga-LogbLog(Fl2K-1 E-1 ) lt0
O(l,a,b,CR?) labCR?
Domaine des géométries admissibles
Il faut donc minimiser
Loga Logb
Fl2K-1E-1b-1 a-3 1
F l sr -1 a-1b-2(3/2)1
67
Exemple3.3 Poutre raide et résistante de coût
minimum
Second cas de figure
C1 (F,dm,l,a,b,E) F l3 E-1 a-1b-3dm-1(1/4) lt1
-Loga-3LogbLog(F l3 E-1 dm-1(1/4)) lt0
C2 (F,l,a,b, sr) F l sr -1 a-1b-2(3/2) lt1
-Loga-2Logblog(F l sr -1 (3/2)) lt0
C3(F,l,a,b,E) Fl2K-1E-1b-1 a-3 lt1
-3Loga-LogbLog(Fl2K-1 E-1 ) lt0
Domaine des géométries admissibles
O(l,a,b,CR?) labCR?
Il faut donc minimiser
Loga Logb
F l3 E-1 a-1b-3dm-1(1/4) 1
Fl2K-1E-1b-1 a-3 1
68
Exemple3.3 Poutre raide et résistante de coût
minimum
Premier cas de figure
F l sr -1 a-1b-2(3/2)1
Fl2K-1E-1b-1 a-3 1
ab2F l sr -1 (3/2)
a3b Fl2K-1E-1
a5Fl3K-2E-2 sr 2/ 3
b5F2 lKE sr-3 (3/2)3
O(l,a,b,CR?) labCR?
Oréduit (l,E, sr,CR?) K-1/5 F3/5 l9/5 E -1/5
sr-2/5 CR? (3/2)2/5
69
Exemple3.3 Poutre raide et résistante de coût
minimum
Second cas de figure
F l3 E-1 a-1b-3dm-1(1/4) 1
Fl2K-1E-1b-1 a-3 1
ab3 F l3 E-1 dm-1(1/4)
a3b Fl2K-1E-1
a8F2 l3K-3E-2 dm4
b8F2 l7 KE-2 dm-3(1/4)3
O(l,a,b,CR?) labCR?
Oréduit (l,E, CR?) K-1/4 F1/2 dm-1/4l9/4 E -1/2
CR? (1/2)1/2
70
Exemple3.3 Poutre raide et résistante de coût
minimum
Premier cas de figure
C1 (F,dm,l,a,b,E) F l3 E-1 a-1b-3dm-1(1/4) lt1
-Loga-3LogbLog(F l3 E-1 dm-1(1/4)) lt0
C2 (F,l,a,b, sr) F l sr -1 a-1b-2(3/2) lt1
-Loga-2Logblog(F l sr -1 (3/2)) lt0
C3(F,l,a,b,E) Fl2K-1E-1b-1 a-3 lt1
-3Loga-LogbLog(Fl2K-1 E-1 ) lt0
O(l,a,b,CR?) labCR?
Domaine des géométries admissibles
Il faut donc minimiser
Loga Logb
O(l,a1 ,b1 ,CR?)gt O(l,a2 ,b2 ,CR?)
71
Exemple3.3 Poutre raide et résistante de coût
minimum
Second cas de figure
C1 (F,dm,l,a,b,E) F l3 E-1 a-1b-3dm-1(1/4) lt1
-Loga-3LogbLog(F l3 E-1 dm-1(1/4)) lt0
C2 (F,l,a,b, sr) F l sr -1 a-1b-2(3/2) lt1
-Loga-2Logblog(F l sr -1 (3/2)) lt0
C3(F,l,a,b,E) Fl2K-1E-1b-1 a-3 lt1
-3Loga-LogbLog(Fl2K-1 E-1 ) lt0
Domaine des géométries admissibles
O(l,a,b,CR?) labCR?
Il faut donc minimiser
Loga Logb
O(l,a2 ,b2 ,CR?)gt O(l,a1 ,b1 ,CR?)
72
Exemple3.3 Poutre raide et résistante de coût
minimum
Dans les deux cas de figure, le coût minimum pour
respecter contraintes est le sup de
Oréduit (l,E, sr,CR?) K-1/5 F3/5 l9/5 E -1/5
sr-2/5 CR? (3/2)2/5
Oréduit (l,E, CR?) K-1/4 F1/2 dm-1/4l9/4 E -1/2
CR? (1/2)1/2
Le meilleur matériau est celui pour lequel
est le plus petit possible
IM Inf(K1/5 F-3/5 l-9/5 E 1/5 sr2/5
CR?-1(3/2)-2/5 , K1/4 F-1/2 dm1/4l-9/4 E 1/2
CR?-1 (1/2)-1/2)
à maximiser
73
-Log(K-1/4F1/2dm-1/4l9/4E -1/2CR?(1/2)1/2)
Plan Log(1/c)
-Log(K-1/5F3/5l9/5E-1/5sr-2/5CR?(3/2)2/5)
Droite de Log(1/c)
IM Inf(K1/5 F-3/5 l-9/5 E 1/5 sr2/5
CR?-1(3/2)-2/5 , K1/4 F-1/2 dm1/4l-9/4 E 1/2
CR?-1 (1/2)-1/2)
74
-Log(K-1/4F1/2dm-1/4l9/4E -1/2CR?(1/2)1/2)
IM1 E1/5sr2/5CR?-1
IM2 E-1/2CR?-1
Log(E 1/2CR?-1)
-Log(K-1/5F3/5l9/5E-1/5sr-2/5CR?(3/2)2/5)
Log(E1/5sr2/5CR?-1)
Plan (IM1, IM2)
Droite de 1/c
Plan 1/c
75
Méthode pratique de choix du matériau
4/ Quatrième cas
nombre n de contraintes indépendantes lt nombre p
de variables géométriques indépendantes
On ne peut plus éliminer les p variables
géométriques à laide de n contraintes et la
fonction objectif.
Cela donne généralement des résultats
triviaux et sans intérêt.
Lorsque lon obtient ce type de résultats, cest
généralement que lon a pas su poser
correctement le problème mécanique ou que lon a
des illusions sur les degrés de liberté
géométriques.
76
Exemple4.1 Deux variables géométriques et une
contrainte
C1(., .,.,a,b,.)lt1
Domaine des géométries admissibles
Le problème admet probablement d autres
contraintes géométriques ou mécaniques